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Trigonometrische Funktionen - Eigenschaften


Aufgabe 1

Bestimme zu den abgebildeten Graphen den Funktionsterm in der Form \(f(x)=a\cdot\sin(x)\).

Trigonometrische Funktionen - Eigenschaften - Abbildung 1

Lösung

\(f(x)=2\cdot\sin(x)\)

\(g(x)=\frac{1}{2}\cdot\sin(x)\)

\(h(x) = -\frac{3}{2}\cdot\sin(x)\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 2

Bestimme zu den abgebildeten Graphen den Funktionsterm in der Form \(f(x)=\sin(b\cdot x)\).

Trigonometrische Funktionen - Eigenschaften - Abbildung 2

Lösung

\(f(x)=\sin(\frac{1}{2}\cdot x)\)

\(g(x)=\sin(\frac{\Pi}{2}\cdot x)\)

\(h(x)=\sin(\frac{\Pi}{4}\cdot x)\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 3

Bestimme den Wertebereich (die Amplitude), die Periode und die Nullstellen der Funktion \(f(x)=3\cdot \cos(2\cdot x)\).

Lösung

Wertebereich: \(-3\leq f(x) \leq 3\)

Periode: \(p =\pi\)

Nullstellen: \(x_{0}=\frac{\pi}{4}+k\cdot \frac{\pi}{2}\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier und hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 4

Skizziere den Graphen der Funktion \(f(x)=\cos(3x)\) im Intervall \(0\leq x\leq 2\pi\) in dem Koordinatensystem unten.

Bestimme die Nullstellen und die Periode der Funktion.

Trigonometrische Funktionen - Eigenschaften - Abbildung 3

Lösung

Trigonometrische Funktionen - Eigenschaften - Abbildung 4

Nullstellen: \(x_0=\frac{\pi}{6}+k\cdot\frac{\pi}{3}\)

Periode: \(p=\frac{2}{3}\cdot \pi\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 5

Bestimme die erste Ableitung zu den folgenden Funktionen:

a) \(f(x)=2-\sin(x)\)

b) \(g(x)=\cos(x)-3\cdot \sin(x)\)

c) \(h(x)=2\cdot x^3+cos( x)\)

Lösung

a) \(f'(x)=-\cos(x)\)

b) \(g'(x)=-\sin(x)-3\cdot\cos(x)\)

c) \(h'(x)=6x^2-sin(x)\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier und hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 6

Bestimme den Schnittpunkt S der Graphen von \(f(x)=\sin(x)\) und \(g(x)=\cos(x)\) im Bereich \(0< x< \frac{\pi}{2}\).

Bestimme anschließend den Schnittwinkel im Punkt S, unter dem sich die Graphen von \(f \) und \(g\) schneiden.

Lösung

Die Stelle, an denen die Funktionswerte von \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) identisch sind, kann man z. B. aus Tabellen oder Graphen ablesen.

Man kann aber auch die folgende Gleichung lösen (unter der Voraussetzung \(0< x< \frac{\pi}{2}\)).

\(\sin(x)=\cos(x)\Leftrightarrow\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=1\Leftrightarrow\tan(x)=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4};\quad (0<x<\frac{\pi}{2})\)

Damit ergibt sich für den Schnittpunkt \(S(\frac{\pi}{4}|\frac{1}{2}\sqrt{2})\).

Für den Schnittwinkel bestimmt man den Winkel der Tangente in \(x_s=\frac{\pi}{4}\) an beide Graphen (Hinweis: \(m=\tan(\alpha)\)). Aus den beiden Schnittwinkeln lässt sich dann der gesuchte Winkel ermitteln.

\(\alpha\approx70^°\)

  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  13 Minuten
  • Punkte:  5
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