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Trigonometrie (1)


Aufgabe 1

Berechne alle fehlenden Größen in der nachfolgenden Figur.

Trigonometrie (1) - Abbildung 1

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst

  • den Winkelsummensatz \(\alpha +\beta+\gamma =180^°\),
  • den Sinus eines Winkels \(sin (\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}\) und
  • den Tangens eines Winkels \(tan (\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von } \alpha}\) benutzen.

Die Reihenfolge der Berechnungen richtet sich nach den Angaben in der Figur. Du brauchst immer zwei Größen, um eine dritte Größe berechnen zu können.

Schritt 1: Größen bestimmen

\(\alpha +58^°+90^° =180^° \Rightarrow \alpha=32^°\)

\(\beta +43^°+90^° =180^° \Rightarrow \beta=47^°\)

\(tan (43^°)=\frac{c}{\text{60 cm}} \Rightarrow c = tan(43^°) \cdot \text{60 cm} \Rightarrow c=\text{55,95 cm}\)

\(sin (47^°)=\frac{\text{60 cm}}{d} \Rightarrow d=\frac{\text{60 cm}}{sin(47^°)} \Rightarrow d=\text{82,04 cm}\)

\(sin (58^°)=\frac{\text{55,95 cm}}{a} \Rightarrow a=\frac{\text{55,95 cm}}{sin(58^°)} \Rightarrow a=\text{65,98 cm}\)

\(tan (58^°)=\frac{\text{55,95 cm}}{b} \Rightarrow b=\frac{\text{55,95 cm}}{tan(58^°)} \Rightarrow b=\text{34,96 cm}\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  12 Minuten
  • Punkte:  7

Aufgabe 2

Berechne die fehlenden Winkel im Dreieck \(ABC\).

\(a=19,5\) cm          \(b =16,9\) cm          \(\alpha =67,38^°\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Da es sich nicht um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, musst du den Sinussatz \(\frac{a}{sin(\alpha)}=\frac{b}{sin(\beta)} = \frac{c}{sin(\gamma)}\) benutzen. Fertige zur besseren Übersicht eine Skizze an.

Trigonometrie (1) - Abbildung 2

Wenn du einen weiteren Winkel berechnet hast, kannst du den Winkelsummensatz benutzen.

Schritt 2: Winkel berechnen

\(\frac{a}{sin(\alpha)}=\frac{b}{sin(\beta)} \Rightarrow \frac{\text{19,5 cm}}{sin(67,38^°)}=\frac{\text{16,9 cm}}{sin(\beta)} \Rightarrow \text{21,13 cm}=\frac{\text{16,9 cm}}{sin(\beta)}\)

\(\Rightarrow sin(\beta)=\frac{\text{16,9 cm}}{\text{21,13 cm}}=0,8\) \(\Rightarrow \beta=53,11^°\)

\(\alpha + \beta+\gamma=180^° \Rightarrow 67,38^°+53,11^° + \gamma=180^° \Rightarrow \gamma=59,51^°\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 3

Gib die folgenden Winkel im Bogenmaß an:

\(\alpha_1 =15^°\),          \(\alpha_2 =60^°\),          \(\alpha_3 =-225^°\).

Gib den Wert jeweils als Vielfaches von \(\pi\) an!

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Formel zur Umrechnung von Gradmaß in Bogenmaß lautet: \(b = \pi \cdot \frac {\alpha}{180^°}\). Negative Winkelgrößen musst du umwandeln.

Schritt 2: Werte berechnen

 \(b_1 = \pi \cdot \frac {15^°}{180^°}= \bf \frac {1}{12}\pi\)           \(b_2 = \pi \cdot \frac {60^°}{180^°}= \bf \frac {1}{3}\pi\)           \(b_3 = \pi \cdot \frac {-225^°}{180^°}=\pi \cdot \frac {135^°}{180^°}= \bf \frac {3}{4}\pi\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 4

Bei einer Segelregatta muss ein Dreieckskurs abgefahren werden. Bei der Startboje A ist der Start, dann geht es 1,8 km zur Boje B. Dort erfolgt eine Kursänderung um 70° nach Backbord (links). Anschließend geht es 3,25 km zur Boje C. Dort erfolgt eine weitere Kursänderung nach Backbord, um dann auf direktem Weg ins Ziel zu segeln. Wie lang ist der gesamte Dreieckskurs?

Schritt 1: Vorüberlegung

Der Regattakurs bildet ein Dreieck. Da zwei Seiten und ein Innenwinkel gegeben sind, musst du den Kosinussatz \(a^2=b^2+c^2 -2bc \cdot cos(\alpha)\) anwenden, um die dritte Strecke zu berechnen.

Schritt 2: Strecke bestimmen

\(a^2=b^2+c^2 -2bc \cdot cos(\alpha)\) \(\Leftrightarrow a^2=\text{1,8 cm}^2+\text{3,25 km}^2 -2\cdot \text{1,8 km}\cdot \text{3,25 km} \cdot cos(70^°)\)

\(\Rightarrow a^2=\text {9,8 km}^2 \Rightarrow a=\text{3,13 }km\)

Schritt 3: Dreieckskurs bestimmen

\(u=a+b+c=\text{3,13 } km+\text{1,8 }km+\text{3,25 }km=\text{8,18 }km\)

Schritt 4: Antwortsatz

Der Dreieckskurs hat eine Länge von 8,18 km.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 5

Beschreibe die Graphen der folgenden Funktionen, indem du sie mit der Sinusfunktion \(f(x)=sin(x)\) vergleichst. Skizziere den Graphen jeweils in das nachfolgende Koordinatensystem.

  1. \(g(x) = 2 \cdot sin(2x)\)

Trigonometrie (1) - Abbildung 3

b. \(h(x) = \frac{1}{2}\cdot sin(x+1)\) 

Trigonometrie (1) - Abbildung 4

Aufgabe 5a.

\(g(x) = 2 \cdot sin(2x)\)

Schritt 1: Vorüberlegung

In der Funktion \(g(x)=a \cdot sin(bx)\) beschreibt \(a\) die Amplitude und \(b\) die Periodenlänge.

Schritt 2: Funktion beschreiben

Die Funktion ist eine mit dem Faktor 2 gestreckte Sinusfunktion mit der Periodenlänge \(\pi\).

Schritt 3: Funktion zeichnen

Trigonometrie (1) - Abbildung 5

Aufgabe 5b.

\(h(x) = \frac{1}{2}\cdot sin(x+1)\)

Schritt 1: Vorüberlegung

In der Funktion \(g(x)=a \cdot sin(x+c)\) beschreibt \(a\) die Amplitude und \(c\) die Verschiebung auf der x-Achse.

Schritt 2: Funktion beschreiben

Die Funktion ist eine mit dem Faktor 0,5 gestauchte und um eine Einheit nach links verschobene Sinusfunktion.

Schritt 3: Funktion zeichnen

Trigonometrie (1) - Abbildung 6

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  8

Aufgabe 6

Bei einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge \(c\) kann man den Flächeninhalt \(A\) nach der Formel \(A=\frac{c^2}{2} \cdot sin(60^°)\) berechnen. Erläutere, wie man diese Formel erhält.

Schritt 1: Vorüberlegung

Folgendes Wissen musst du benutzen:

Da in der Formel keine Höhe \(h\) vorkommt, musst du \(h\) noch geschickt ersetzen. Verwende dazu den Sinus in folgender Figur:

Trigonometrie (1) - Abbildung 7

Schritt 2: Höhe \(h\) bestimmen

\(sin(60^°)=\frac{h}{c} \Rightarrow h=sin(60^°) \cdot c\)

Schritt 3: Formel berechnen

\(A_{Dreieck}=\frac{1}{2} gh=\frac{1}{2} c \cdot sin(60^°) \cdot c=\frac{1}{2} c^2sin(60^°) =\frac{c^2}{2} sin(60^°)\)

  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  3
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