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Teilbarkeit (2)


Aufgabe 1

Löse die folgende Textaufgabe:

Herr Groß, Herr Klein und Herr Mittel sind Busfahrer. Herr Groß kommt alle 27, Herr Mittel alle 18 und Herr Klein alle 12 Tage nach Köln. In welchen zeitlichen Abständen treffen alle drei gleichzeitig dort ein?

Lösung

Um diese Aufgabe zu lösen, musst du das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der drei Tage berechnen:
Herr Groß, Herr Mittel und Herr Klein treffen sich alle 108 Tage in Köln.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  2

Aufgabe 2

Bestimme die Teilermenge für T98 bzw. für T70. Markiere alle gemeinsamen Teiler und gib den größten gemeinsamen Teiler (ggT) an.

Lösung

  1. T98 = {1, 2, 7, 14, 49, 98}
  2. T70 = {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70}

Der ggT von 98 und 70 ist 14.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier und hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  2

Aufgabe 3

Auf einer Großbaustelle gibt es zwei Gerüste. Für jedes Gerüst gibt es eine Leiter, deren unterste Sprosse jeweils auf gleicher Höhe ist. Bei dem einen Gerüst haben die Sprossen einen Abstand von 55 cm, bei dem anderen von 75 cm.

  1. Nach wie vielen Metern sind die Sprossen zum ersten Mal wieder auf gleicher Höhe?
  2. Wie viele Sprossen mussten die Bauarbeiter bis dahin jeweils hochsteigen?

Lösung

  1. Um zu wissen, wann sich die Sprossen wieder auf einer Höhe befinden, muss man das kgV berechnen: Nach 825 cm oder 8,25 m sind die Sprossen das erste Mal auf gleicher Höhe. 
  2. Hier musst du die 8,25 m durch den Abstand der jeweiligen Sprossen teilen: Die Bauarbeiter mussten auf der ersten Leiter 15 Sprossen und auf der zweiten Leiter 11 Sprossen steigen.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  15 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 4

Untersuchung von 616.

  1. Zerlege 616 in Primfaktoren.
  2. Untersuche, ob es zwei natürliche Zahlen a und b gibt, für die gilt: a ∙ b = 616 und ggT (a; b) = 3.
  3. Gibt es zwei natürliche Zahlen a und b, für die gilt: a ∙ b = 616 und ggT(a; b) = 2?

Lösung

  1. 616 =  2 · 2 · 2 · 7 · 11
    Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.
  2. Nein, da 616 nicht durch 3 teilbar ist.
    Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau 
    hier.
  3. 616 = 2 · 308 und ggT(2;308) = 2
    Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.
  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 5

Du kennst die Regeln für die Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen. Benutze sie, um zu erklären, wie du bei den folgenden Zahlenpaaren auf das kgV und den ggT kommst.

  1. 77 und 90: kgV (77; 90) = 77 ∙ 90; ggT (77; 90) = gibt es nicht
  2. 21 und 84: kgV (21; 84) = 84, ggT(21; 84) = 21

Lösung

  1. Da 77 und 90 keine gemeinsamen Primfaktoren haben, musst du alle Primfaktoren beider Zahlen zusammenrechnen. Aus diesem Grunde ergibt sich auch kgV (77; 90) = 77 ∙ 90. Da sie keine gemeinsamen Primzahlen in der Primfaktorzerlegung haben, gibt es kein ggT von 90 und 77.
  2. Da 84 ein Vielfaches von 21 ist, gilt: kgV(21;84) = 84 und ggT(21;84) = 21.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier und hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  4
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