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Rechnen mit Wurzeln und Potenzen (2)


Aufgabe 1

Vereinfache.

  1. \((\sqrt{12}-\sqrt{11})(\sqrt{12}+\sqrt{11})+3\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}\)
  2. \(\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2})^{-6}\)
  3. \((\sqrt[5]{3^3}+8\cdot\sqrt[5]{3^3})\cdot3^{\frac{2}{5}}\)

Lösung

  1. \(12-11+18=19\)
  2. \(\sqrt[3]{8}+2^{-2}=2+0,25=2,25\)
  3. \((\sqrt[5]{3^3}+8\cdot\sqrt[5]{3^3})\cdot3^{\frac{2}{5}}=9\cdot\sqrt[5]{3^3}\cdot\sqrt[5]{3^2}=9\cdot\sqrt[5]{3^5} =27\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier und hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  9 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 2

Vereinfache und schreibe als Potenz mit rationalem Exponenten.

  1. \(5^{\frac{1}{2}}:5^{\frac{1}{3}}\)
  2. \(\sqrt2\cdot\sqrt[4]2\)
  3. \(\left(27^{\frac{7}{2}}\right)^{-\frac{2}{63}}\)
  4. \(\sqrt[2]{\sqrt[3]{49}}\)

Lösung

  1. \(5^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=5^{\frac{1}{6}}\)
  2. \(2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}=2^{\frac{3}{4}}\)
  3. \(27^{\frac{7}{2}\cdot\frac{-2}{63}}=27^{\ -\frac{1}{9}}=3^{\ -\frac{1}{3}}\)
  4. \(\left(49^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}=49^{\frac{1}{6}}=7^{\frac{1}{3 }}\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 3

Folgende Zahlen sind in wissenschaftlicher Schreibweise angegeben. Wandle sie in die Dezimalzahldarstellung um.

  1. \(3,91\cdot10^5\)
  2. \(5,78\cdot10^{-3}\)
  3. \(4,693\cdot10^2\)
  4. \(1,2\cdot10^{-6}\)

Lösung

  1. \(3,91\cdot10^5=391.000\)
  2. \(5,78\cdot10^{-3}=0,00578\)
  3. \(4,693\cdot10^2=46,93\)
  4. \(1,2\cdot10^{-6}=0,0000012\)
  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 4

Bestimme die Definitions- und die Lösungsmenge folgender Gleichungen.

  1. \(x^3=-27\)
  2. \(x^2\cdot(x^2-1)=(4-x)(4+x)\)
  3. \(\sqrt {x-1}=2\)

Lösung

          a) \(D=\mathbb{R}\)   \(L=\left\{-3\right\}\)

          b) \(D=\mathbb{R}\)

              \(x^4-x^2=16-x^2\) 

             \(x^4=16\)     \(L=\left\{ -2;2 \right\} \)

           c)  \(D=[1;\infty[\)

               \(x-1=4\)

               \(x=5\)   Probe: \(\sqrt {5-1}=\sqrt4=2\)

               \(L=\left\{5 \right\} \)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  9 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 5

Vereinfache ohne Taschenrechner. Gib deine Zwischenschritte an.

  1. \(\sqrt{50 x}+\sqrt{18 x}-\sqrt{2 x}\)
  2. \(\sqrt\frac{54a^2}{2a} \cdot\sqrt\frac{21}{7a}\)
  3. \(\sqrt {\sqrt {80}}\)

Lösung

  1. \(5\sqrt{2 x}+3\sqrt{2 x}-\sqrt{2 x}=7\sqrt{2 x}\)
  2. \(\sqrt{27a} \cdot\sqrt\frac{3}{a}=\sqrt{81}=9\)
  3. \(\sqrt {4\sqrt {5}}=2\sqrt[4] {5}\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 6

Beweise, dass \(a^0=1\) für \(a\neq0\), indem du das Potenzgesetz \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\) verwendest.

Lösung

Für jede Zahl \(a\neq0\) gilt:

\(\frac{a^n}{a^n}=1\)

Nach dem Potenzgesetz gilt außerdem:

\(\frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0\)

Damit ist \(a^0=1\).

  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  4 Minuten
  • Punkte:  3
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