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Rechnen mit Wurzeln und Potenzen (1)


Aufgabe 1

Schreibe den Ausdruck als Potenz, berechne dann den Wert.

  1. \(2^4\cdot2\)
  2. \(10^3:10^{-3}\)
  3. \(3^2\cdot6^2\)
  4. \((7^\frac{1}{2})^2\)
  5. \(0,02^{-2}:0,2^{-2}\)
  6. \((4^2)^{-2}\)

Lösung

  1. \(32\)
  2. \(1.000.000\)
  3. \(324\)
  4. \(7\)
  5. \(100\)
  6. \(\frac{1}{256}\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 2

Berechne die Terme.

  1. \(\sqrt[8]{28^8}\)
  2. \(\sqrt[6]{1}\)
  3. \(\sqrt[4]{\frac{1}{16}}\)
  4. \(\sqrt[3]{256}:\sqrt[3]{4}\)
  5. \(\sqrt[4]{5}\cdot\sqrt[4]{125}\)
  6. \(\sqrt[5]{\sqrt[3]{a^9}}\)

Lösung

  1. \(28\)
  2. \(1\)
  3. \(0,5\)
  4. \(4\)
  5. \(5\)
  6. \(\sqrt[5]{a^3}\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 3

Ziehe so weit wie möglich die Wurzel.

  1. \(\sqrt{252}\)
  2. \(\sqrt{72x^2y^3}\)
  3. \(\sqrt{\frac{8}{9}}\)

Lösung

  1. \(\sqrt{252}=\sqrt{4 \cdot 9 \cdot 7}=2 \cdot3 \cdot \sqrt{7}=6\sqrt{7}\)
  2. \(\sqrt{72x^2y^3}=\sqrt{2 \cdot 36 \cdot x^2y^2 \cdot y}=6xy \cdot \sqrt{2y}\)
  3. \(\sqrt{\frac{8}{9}}=\sqrt{\frac{2\ \cdot\ 4}{9}}=\frac{2}{3} \cdot \sqrt{2}\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 4

Zeige die Gültigkeit der folgenden Gleichung. Verwende die Potenzgesetze.

Rechnen mit Wurzeln und Potenzen (1) - Abbildung 1

Lösung

Rechnen mit Wurzeln und Potenzen (1) - Abbildung 2

  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 5

Gib die verschiedenen Größen in der wissenschaftlichen Schreibweise an.

  1. Masse eines Flohs: 0,002 g
  2. Entfernung Erde Mond: 383.900 km
  3. Durchmesser eines Haars: 0,084 mm
  4. Lichtgeschwindigkeit: 1.079.000.000 km/h
  5. Atomdurchmesser: 0,0000000001 m
  6. Durchschnittliches Bruttojahresgehalt in Deutschland (2014): 41.388 €

Lösung

  1. \(0,002\ g=2\cdot10^{-3}\ g\)
  2. \(383.900\ km=3,839\cdot10^{5}\ km\)
  3. \(0,084\ mm=8,4\cdot10^{-2}\ mm\)
  4. \(1.079.000.000\ km/h=1,079\cdot10^{9}\ km/h\)
  5. \(0,0000000001\ m=1\cdot10^{-10}\ m\)
  6. \(41.388\ €=4,1388\cdot10^{4}\ €\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 6

Bestimme die Definitions- und die Lösungsmenge folgender Gleichungen.

  1. \((x-1)^2-(2x-0,5)^2=0\)
  2. \(\frac{1}{3}(9-3a)=\sqrt{a^2-4a}\)

Lösung

           a)   \(D=\mathbb{R}\)

                \(x^2-2x+1-(4x^2-2x+0,25)=0\)

               \(x^2-2x+1-4x^2+2x-0,25=0\)

               \(-3x^2=-0,75\)

              \(x^2=0,25\)       \(L=\left\{-0,5;0,5\right\}\)

          b) \(a^2-4a>0\)

              \(a(a-4)>0\)

              \(a>0\)  und \(a-4>0:\)    \(a>4\)

               \(a<0\) und \(a-4<0:\)    \(a<0\)

               \(D=]-\infty;0]\cup[4;\infty[\)

                \(3-a=\sqrt{a^2-4a}\)

               \((3-a)^2=a^2-4a\)

               \(9-6a+a^2=a^2-4a\)

               \(9=2a\)

               \(a=4,5\)

              Probe:  \(\frac{1}{3}(9-3\cdot4,5)=\sqrt{4,5^2-4\cdot4,5}\)

                         \(-1,5=1,5\ \Rightarrow\)     \(L=\emptyset\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  14 Minuten
  • Punkte:  12
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