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Rationale Zahlen (5)


Aufgabe 1

SInd die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Kreuze an.

Aussage  wahr   falsch 
a) Für alle rationalen Zahlen gilt: a · (b · c) = (a · b) · c .    
b)  Wenn man in einem Bruch den Zähler mit (–1) multipliziert und den Nenner durch (–1) dividiert, ändert sich der Wert des Bruches nicht.    
c) Für alle rationalen Zahlen gilt: (a – b) : c = a : c – b : c .    
d) Es gibt keine Zahl, die gleich ihrem Kehrwert ist.    
e) Für alle rationalen Zahlen gilt: a · b + c = a + b · c .    
f)  Es gibt eine rationale Zahl, bei der Kehrwert und Gegenzahl übereinstimmen.    
g) Es gibt genau eine rationale Zahl, die gleich ihrem Kehrwert ist.    
h) Für alle rationalen Zahlen gilt: (a · b) : c = a : c · b : c .    
i) Eine Potenz mit ungeradem Exponenten ist stets negativ.    
j) Für alle rationalen Zahlen gilt: a · b : c = a : c · b .    
k) Ist der Kehrwert einer Zahl kleiner als 1, so ist die Zahl selbst größer als 1.    
l) Eine Potenz kann nur dann negativ sein, wenn der Exponent ungerade ist.    
m) Die Summe zweier rationaler Zahlen ist stets größer als jede der beiden rationalen Zahlen.    

 

Lösung

Aussage  wahr   falsch 
a) Für alle rationalen Zahlen gilt: a · (b · c) = (a · b) · c .     x  
b)  Wenn man in einem Bruch den Zähler mit (–1) multipliziert und den Nenner durch (–1) dividiert, ändert sich der Wert des Bruches nicht.     x  
c) Für alle rationalen Zahlen gilt: (a – b) : c = a : c – b : c .     x  
d) Es gibt keine Zahl, die gleich ihrem Kehrwert ist.        x
e) Für alle rationalen Zahlen gilt: a · b + c = a + b · c .        x
f)  Es gibt eine rationale Zahl, bei der Kehrwert und Gegenzahl übereinstimmen.        x
g) Es gibt genau eine rationale Zahl, die gleich ihrem Kehrwert ist.        x
h) Für alle rationalen Zahlen gilt: (a · b) : c = a : c · b : c .        x
i) Eine Potenz mit ungeradem Exponenten ist stets negativ.        x
j) Für alle rationalen Zahlen gilt: a · b : c = a : c · b .     x  
k) Ist der Kehrwert einer Zahl kleiner als 1, so ist die Zahl selbst größer als 1.        x
l) Eine Potenz kann nur dann negativ sein, wenn der Exponent ungerade ist.     x  
m) Die Summe zweier rationaler Zahlen ist stets größer als jede der beiden rationalen Zahlen.     x  
  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  13

Aufgabe 2

Vergleiche. Ergänze <, > oder =.

a) \(\left(-3\right)^{26}\)            \(0\)
b) \(\left(-1\right)^{75}\)    \(\left(-1\right)^{73}\)
c) \(\left(-2\right)^{7}\)    \(\left(+2\right)^{7}\)
d) \(\left(-2\right)^{8}\)    \(\left(-2\right)^{7}\)
e) \(\left(-2\right)^{7}\)    \(\left(-3\right)^{7}\)
f) \(\left(-3\right)^{7}\)    \(\left(-3\right)^{9}\)

 

Lösung

 

a) \(\left(-3\right)^{26}\)       >     \(0\)
b) \(\left(-1\right)^{75}\)       =  \(\left(-1\right)^{73}\)
c) \(\left(-2\right)^{7}\)       <  \(\left(+2\right)^{7}\)
d) \(\left(-2\right)^{8}\)       >  \(\left(-2\right)^{7}\)
e) \(\left(-2\right)^{7}\)       >  \(\left(-3\right)^{7}\)
f) \(\left(-3\right)^{7}\)       >  \(\left(-3\right)^{9}\)
  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 3

Berechne schrittweise die folgenden Terme. Nutze, wenn möglich, Rechenvorteile.

  1. \(-49 + 55 - 51\)
  2. \(\mid 1,5 - 2,5 \mid - \mid -2 -3 \mid\)
  3. \(-\left[\left(-12\right) \cdot \left(-2\right) - 15\right]\)
  4. \(-1,5 : \left(-0,3\right) -4,5\)
  5. \(-\frac{7}{8} : \left(-0,375\right)\)
  6. \(-\left[\left(-1\right)^3 : 0,1 \right]\)
  7. \(-6,4 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) : \left(-0,8\right)\)
  8. \(-1,75 \cdot \left(-\frac{7}{8}\right) - 0,25 \cdot \left(-\frac{7}{8}\right)\)
  9. \(-\frac{3}{5} : 0,2 - \frac{7}{5}:0,2\)

Aufgabe 3a)

\(-49 + 55 - 51\)

Lösung

\(-49 + 55 - 51 = -100+55=-45\)

Aufgabe 3b)

\(\mid 1,5 - 2,5 \mid - \mid -2 -3 \mid\)

Lösung

\(\mid 1,5 - 2,5 \mid - \mid -2 -3 \mid = -1- \mid -5 \mid = -1-5=-6\)

Aufgabe 3c)

\(-\left[\left(-12\right) \cdot \left(-2\right) - 15\right]\)

Lösung

\(-\left[\left(-12\right) \cdot \left(-2\right) - 15\right] = -\left[24-15\right]=-9\)

Aufgabe 3d)

\(-1,5 : \left(-0,3\right) -4,5\)

Lösung

\(-1,5 : \left(-0,3\right) -4,5 =5-4,5 =0,5\)

Aufgabe 3e)

\(-\frac{7}{8} : \left(-0,375\right)\)

Lösung

\(-\frac{7}{8} : \left(-0,375\right) = -\frac{7}{8} : \left(-\frac{3}{8}\right) = -\frac{7}{8} \cdot \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{7}{3} \)

Aufgabe 3f)

\(-\left[\left(-1\right)^3 : 0,1 \right]\)

Lösung

\(-\left[\left(-1\right)^3 : 0,1 \right] =-\left(-1:0,1\right)=-\left(-10\right)=10\)

Aufgabe 3g)

\(-6,4 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) : \left(-0,8\right)\)

Lösung

\(-6,4 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) : \left(-0,8\right) = \left(-6,4\right) : \left(-0,8\right) \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = 8 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -6\)

Aufgabe 3h)

\(-1,75 \cdot \left(-\frac{7}{8}\right) - 0,25 \cdot \left(-\frac{7}{8}\right)\)

Lösung

\(-1,75 \cdot \left(-\frac{7}{8}\right) - 0,25 \cdot \left(-\frac{7}{8}\right) = -2 \cdot \left(-\frac{7}{8}\right) = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}\)

Aufgabe 3i)

\(-\frac{3}{5} : 0,2 - \frac{7}{5}:0,2\)

Lösung

\(-\frac{3}{5} : 0,2 - \frac{7}{5}:0,2 = -2 : 0,2 = -10\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  15 Minuten
  • Punkte:  9

Aufgabe 4

Dividiere die Differenz aus \(-\frac{1}{2}\) und \(\frac{1}{3}\) durch die Summe aus \(\left(-0,2\right)\) und \(\left(-0,3\right)\).

Schritt 1: Term aufstellen

\(\left(\left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{3}\right)\right) : \left(\left(-0,2\right) + \left(-0,3\right)\right) \)

Lösung

\(\left(\left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{3}\right)\right) : \left(\left(-0,2\right) + \left(-0,3\right)\right) =\left(-\frac{1}{6}\right) : \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{3}\)

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 5

In Amerika misst man Temperaturen in „Grad Fahrenheit“ (°F).

Umrechnung von °C in °F: Multipliziere mit \(\frac{9}{5}\) und addiere dann 32. (Stelle jeweils einen Term auf.)

  1. Wie viel °F sind –14,5 °C?
  2. Wie viel °C sind 20 °F?

Aufgabe 5a)

Wie viel °F sind –14,5 °C?

Schritt 1: Pfeildiagramm erstellen

\(\qquad \qquad \cdot \frac{9}{5} \qquad \ \ \ \ +32 \\ -14,5 \ \ \longrightarrow \ \ \ \ ... \ \ \longrightarrow \ \ ... \\ \qquad \qquad \cdot \frac{9}{5} \qquad \ \ \ \ +32 \\ -14,5 \ \ \longrightarrow -26,1 \ \longrightarrow \ 5,9\\\)

Schritt 2: Term aufstellen

\(-14,5 \cdot \frac{9}{5} + 32 =5,9\)

Lösung

5,9 °F sind –14,5 °C.

Aufgabe 5b)

Wie viel °C sind 20 °F?

Schritt 1: Pfeildiagramm erstellen

\(\qquad \quad \ \cdot \frac{5}{9} \quad \ \ \ \ -32 \\ \ \ \ \ \ ... \ \longleftarrow \ \ ... \ \longleftarrow \ \ 20 \\ \qquad \quad \ \cdot \frac{5}{9} \quad \ \ \ \ -32 \\ -6,7 \ \longleftarrow -12 \ \ \longleftarrow \ 20\\\)

Schritt 2: Term aufstellen

\(\left(20-32\right) : \frac{9}{5} = -12 \cdot \frac{5}{9} \approx -6,7\)

Lösung

–6,7 °C sind 20 °F.

  • Schwierigkeitsgrad:  2 3
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  4
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