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Rationale Zahlen (4)


Aufgabe 1

Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Kreuze an.

Aussage  wahr  falsch
a) Wenn man in einem Bruch im Zähler und im Nenner (–1) addiert, ändert sich der Wert des Bruches nicht.    
b) Für alle rationalen Zahlen gilt: a : (b – c) = a : b – a : c .    
c) Es gibt keine Zahl, die gleich ihrem Kehrwert ist.    
d) Für alle rationalen Zahlen gilt: a · (b · c) = (a · b) · c .    
e) Es gibt keine rationale Zahl, bei der Kehrwert und Gegenzahl übereinstimmen.    
f) Für alle rationalen Zahlen gilt: (a + b) : c = a : c + b : c .    
g) Eine Potenz mit ungeradem Exponenten ist stets negativ.    
h) Ist der Kehrwert einer Zahl größer als 0, so ist die Zahl selbst kleiner als 0.    
i) Für alle rationalen Zahlen gilt: a · (b + c) = (a + b) · (a + c).    
j) Eine Potenz kann nur dann negativ sein, wenn der Exponent ungerade ist.    

 

Lösung

Aussage  wahr  falsch
a) Wenn man in einem Bruch im Zähler und im Nenner (–1) addiert, ändert sich der Wert des Bruches nicht.      x
b) Für alle rationalen Zahlen gilt: a : (b – c) = a : b – a : c .      x
c) Es gibt keine Zahl, die gleich ihrem Kehrwert ist.      x
d) Für alle rationalen Zahlen gilt: a · (b · c) = (a · b) · c .    x  
e) Es gibt keine rationale Zahl, bei der Kehrwert und Gegenzahl übereinstimmen.    x  
f) Für alle rationalen Zahlen gilt: (a + b) : c = a : c + b : c .    x  
g) Eine Potenz mit ungeradem Exponenten ist stets negativ.      x
h) Ist der Kehrwert einer Zahl größer als 0, so ist die Zahl selbst kleiner als 0.      x
i) Für alle rationalen Zahlen gilt: a · (b + c) = (a + b) · (a + c).      x
j) Eine Potenz kann nur dann negativ sein, wenn der Exponent ungerade ist.    x  

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  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  12 Minuten
  • Punkte:  10

Aufgabe 2

Vergleiche. Ergänze <, > oder =.

a) \(\left(-3\right)^{26}\)            \(0\)
b) \(\left(-1\right)^{75}\)    \(\left(-1\right)^{73}\)
c) \(\left(-5\right)^{7}\)    \(\left(+5\right)^{7}\)
d) \(\left(-6\right)^{8}\)    \(\left(-6\right)^{7}\)
e) \(\left(-4\right)^{7}\)    \(\left(-5\right)^{7}\)
f) \(\left(-8\right)^{7}\)    \(\left(-8\right)^{9}\)
g) \(0,1^{13}\)    \(0,1^{12}\)
h) \(\left(-0,1\right)^{8}\)    \(\left(-0,1\right)^{7}\)
 

Lösung

a) \(\left(-3\right)^{26}\)      >  \(0\)
b) \(\left(-1\right)^{75}\)      =  \(\left(-1\right)^{73}\)
c) \(\left(-5\right)^{7}\)      <  \(\left(+5\right)^{7}\)
d) \(\left(-6\right)^{8}\)      >  \(\left(-6\right)^{7}\)
e) \(\left(-4\right)^{7}\)      >  \(\left(-5\right)^{7}\)
f) \(\left(-8\right)^{7}\)      >  \(\left(-8\right)^{9}\)
g) \(0,1^{13}\)      <  \(0,1^{12}\)
h) \(\left(-0,1\right)^{8}\)      >  \(\left(-0,1\right)^{7}\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  8

Aufgabe 3

Berechne schrittweise die folgenden Terme. Nutze, wenn möglich, Rechenvorteile.

  1. \(-3,5 - 4 \cdot \left(-0,6+1,3\right) \)
  2. \(\frac{3}{4} + 5,7 -\frac{9}{14} -5,7\)
  3. \(\left(-\frac{13}{18}\right) : \left(-\frac{6}{13}\right) \cdot \left(-\frac{9}{13}\right)\)
  4. \(\left(-1\frac{1}{2}\right)^{3} : \left(-2 -2\frac{1}{2}\right)^{2}\)
  5. \(-1 \left[-1-\left(-1\right) : \left(-1\right)\right]^{10}\)
  6. \(\frac{2\frac{1}{2}\ -\ 1\frac{2}{3}}{1\frac{1}{2}\ -\ 2\frac{2}{3}}\)

Lösung

​a) \(-3,5 - 4 \cdot \left(-0,6+1,3\right) = -3,5 -4 \cdot 0,7 = -3,5 - 2,8 = -6,3\)

b) \(\frac{3}{4} + 5,7 -\frac{9}{14} -5,7 = \frac{3}{14} - \frac{9}{14} = -\frac{6}{14} = - \frac{3}{7}\)

c)\(\left(-\frac{13}{18}\right) : \left(-\frac{6}{13}\right) \cdot \left(-\frac{9}{13}\right) =\left(-\frac{13}{18}\right) \cdot \left(-\frac{13}{6}\right) \cdot \left(-\frac{9}{13}\right) = \left(-\frac{13}{18}\right) \cdot \frac{3}{2} = -\frac{13}{12}=-1\frac{1}{12}\)

d) \(\left(-1\frac{1}{2}\right)^{3} : \left(-2 -2\frac{1}{2}\right)^{2} = \left(-\frac{3}{2}\right)^3 : \left(-\frac{9}{2}\right)^2 = \left(-\frac{27}{8}\right) \cdot \frac{4}{81} = -\frac{1}{6} \)

e) \(-1 \left[-1-\left(-1\right) : \left(-1\right)\right]^{10} = -\left(-1-1\right)^{10} = -\left(-2\right)^{10} = -1024\)

f) \(\frac{2\frac{1}{2}\ -\ 1\frac{2}{3}}{1\frac{1}{2}\ -\ 2\frac{2}{3}} = \frac{\frac{5}{2}\ -\ \frac{5}{3}}{\frac{3}{2}\ -\ \frac{8}{3}} = \frac{\frac{15\ -\ 10}{6}}{\frac{9\ -\ 16}{6}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{-7} = -\frac{5}{7}\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 4

Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen.

  1. \(-0,3 \cdot \left(x-7\right) +4 = 9,1\)
  2. Multipliziert man die Differenz aus \(x\) und \(\left(-2,5\right)\) mit \(\left(-0,4\right)\), so erhält man \(\left(-3\frac{2}{5}\right)\).

Lösung

a) \(Gleichung \longrightarrow \ -0,3 \cdot \left(x-7\right) + 4 = 9,1 \\ x=\left(9,1-4\right) : \left(-0,3\right) + 7 = 5,1 : \left(-0,3 \right) + 7 = -17 +7=-10\)

b) \(Gleichung \longrightarrow \ \left[x-\left(-2,5\right)\right] \cdot \left(-0,4\right) = \left(-3\frac{2}{5}\right) \\ x = \left(-3\frac{2}{5}\right) : \left(-0,4\right) -2,5 \\ \ \ = \left(-3,4\right) : \left(-0,4\right) - 2,5 \\ \ \ = 8,5 - 2,5 = 6\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  4
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