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Pythagoras, Variante (2)


Aufgabe 1

Im Dreieck ABC (mit \(\gamma = 90^°\)) sind die Seiten b = 15 cm und q = 5 cm bekannt. Berechne die fehlenden Seitenlängen (siehe Skizze).

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst zuerst die Reihenfolge festlegen, in der du die Längen berechnen kannst.

  • Mit b und q kannst du die Hypotenuse c mit \(b^2 = c\cdot q\) bestimmen.
  • Mit c und q kannst du den Hypotenusenabschnitt p mit \(c = q+p\) berechnen.
  • Mit p und q kannst du die Höhe h mit \(h^2 =p\cdot q\) bestimmen.
  • Mit b und c kannst du die Kathete a mit \(a^2+b^2=c^2\) berechnen.

Schritt 2: Längen berechnen

\(b^2 = c\cdot q\)  \(\Leftrightarrow c= \frac{b^2}{q} = \frac{(15\ cm)^2}{5\ cm}=45\ cm\)  

\(c = q+p\) \(\Rightarrow\) \(45\ cm = 5\ cm+p \Leftrightarrow p=40\ cm\)

\(h^2 =p\cdot q\) \(\Rightarrow\) \(h^2 =40\ cm\cdot 5\ cm\Rightarrow h= \sqrt{200\ cm^2}= 14,14\ cm\)

\(a^2+b^2=c^2\) \(\Rightarrow\) \(a^2+225\ cm^2=2025\ cm^2 \Rightarrow a^2= 1800\ cm^2 \Rightarrow a=42,43\ cm\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 2

Auf einem See befindet sich eine Boje zur Markierung des Badebereiches. Die Boje hat eine 13 m lange Kette mit einem schweren Gewicht am Ende. Die Kette ist länger, als der See tief ist. Durch den Wind kann die Boje maximal 2,5 m auf der Seeoberfläche abgetrieben werden. Wie tief ist der See an der Verankerungsstelle der Boje?

Schritt 1: Vorüberlegung/Skizze

Fertige eine Skizze an, damit du den Sachverhalt besser erkennen kannst.

In der Skizze erkennst du das gesuchte rechtwinklige Dreieck. Mit dem Satz des Pythagoras und den Angaben im Text ergibt sich:

\(s^2+(2,5\ m)^2=(13\ m)^2\)

Schritt 2: Berechnung der Seetief

\(s^2+(2,5\ m)^2=(13\ m)^2\) \(\Leftrightarrow s^2=(13\ m)^2-(2,5\ m)^2=162,75\ m^2\Rightarrow a=12,76\ m\)

Schritt 3: Antwortsatz

Der See ist an der Verankerungsstelle 12,76 m tief.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 3

Eine Pyramide hat gleich lange Seitenkanten s und eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge a. Ida hat folgende Formeln zur Berechnung der Seitenlängen aufgestellt:

  1.  \(d^2 = 2\cdot a^{2} \)
  2.  \(s^{2} =\frac{1}{2} a^{2} + (h_{2})^{2}\)
  3. \((h_{1})^{2} =(h_{2})^{2} - \frac{1}{4} a^{2}\)
  4. \((h_{1})^{2} = (\frac{1}{2} d)^{2} + s^2\)
  1. Notiere diejenigen Formeln, die richtig sind.
  2. Benenne die Fehler bei denjenigen Formeln, die falsch sind.

Aufgabe 3a.

Notiere diejenigen Formeln, die richtig sind.

Schritt 1: Gleichungen mit Skizze vergleichen

Du musst zuerst die Dreiecke in der Skizze finden, die zu den Gleichungen passen.

\(d^2 = 2\cdot a^{2} \): Das Dreieck mit der Diagonale der Grundfläche d und zwei Grundkanten a.

\(s^{2} =\frac{1}{2} a^{2} + (h_{2})^{2}\): Das Dreieck mit der Seitenkante s, der halben Grundkante a und der Höhe einer Seitenfläche h2.

\((h_{1})^{2} =(h_{2})^{2} - \frac{1}{4} a^{2}\): Das Dreieck mit der Pyramidenhöhe h1, der Höhe einer Seitenfläche h2 und der Grundkante a.

\((h_{1})^{2} = (\frac{1}{2} d)^{2} + s^2\): Das Dreieck mit der Pyramidenhöhe h1, der Diagonale d  und der Seitenkante s.

Schritt 2: Pythagoras anwenden

Stelle für die Dreiecke die Pythagorasformel auf und vergleiche diese mit der Aufgabenstellung.

 \(d^2 = 2\cdot a^{2} \) ist richtig, da für das Dreieck gilt: \(d^2 = a^2+a^2\) \(=d^2 = 2\cdot a^{2} \).

\((h_{1})^{2} =(h_{2})^{2} - \frac{1}{4} a^{2}\) ist richtig, da für das Dreieck gilt: \((h_{1})^{2} =(h_{2})^{2} - (\frac{1}{2} a)^{2}=(h_{2})^{2} - \frac{1}{4} a^{2}\).

Aufgabe 3b.

Benenne die Fehler bei denjenigen Formeln, die falsch sind.

Schritt 1: Gleichungen mit Skizze vergleichen

Du musst wieder die Dreiecke in der Skizze finden, die zu den Gleichungen passen.

\(d^2 = 2\cdot a^{2} \): Das Dreieck mit der Diagonale der Grundfläche d und zwei Grundkanten a.

\(s^{2} =\frac{1}{2} a^{2} + (h_{2})^{2}\): Das Dreieck mit der Seitenkante s, der halben Grundkante a und der Höhe einer Seitenfläche h2.

\((h_{1})^{2} =(h_{2})^{2} - \frac{1}{4} a^{2}\): Das Dreieck mit der Pyramidenhöhe h1, der Höhe einer Seitenfläche h2 und der Grundkante a.

\((h_{1})^{2} = (\frac{1}{2} d)^{2} + s^2\): Das Dreieck mit der Pyramidenhöhe h1, der Diagonale d  und der Seitenkante s.

Schritt 2: Pythagoras anwenden

Stelle für die Dreiecke die Pythagorasformel auf und vergleiche diese mit der Aufgabenstellung.

\(s^{2} =\frac{1}{2} a^{2} + (h_{2})^{2}\) ist falsch, da für das Dreieck gilt: \(s^{2} =(\frac{1}{2} a)^{2} + (h_{2})^{2}=\frac{1}{4} a^{2} + (h_{2})^{2}\).

\((h_{1})^{2} = (\frac{1}{2} d)^{2} + s^2\) ist falsch, da für das Dreieck gilt: \(s^{2} = (\frac{1}{2} d)^{2} + {h_1}^2\)\(=(h_{1})^{2} =- (\frac{1}{2} d)^{2} + s^2\).

  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 4

In einem rechtwinkligen Dreieck mit einer 30 cm langen Hypotenuse ist eine Kathete dreimal so lang wie die andere. Wie lang sind die Katheten?

Schritt 1: Gleichung aufstellen

Gegeben sind:

  • Satz des Pythagoras: \(a^2+b^2=c^2\)
  • Hypotenuse c = 30 cm
  • erste Kathete a = 3b (dreimal so lang wie b)
  • zweite Kathete b

Damit kannst du die Gleichung \((30\ cm)^2=(3b)^2+b^2\) aufstellen.

Schritt 2: Gleichung lösen

\((30\ cm)^2=(3b)^2+b^2 \Leftrightarrow 900\ cm^2=9b^2+b^2=10b^2\)\( \Leftrightarrow b^2=90\ cm^2\)\( \Rightarrow b= \pm9,49\ cm\)

Der Wert –9,49 cm ist natürlich keine Lösung. Also gilt: b = 9,49 cm.

Schritt 3: Kathetenlänge a bestimmen

Da die Kathete a dreimal so lang ist, gilt: \(a=3 \cdot b\).

\(a=3\cdot9,49\ cm=28,47\ cm\)

Schritt 4: Antwortsatz

Die Katheten haben eine Länge von 28,47 cm und 9,49 cm.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 5

Eine Künstler gestaltet ein neues Kunstwerk. Von einem Holzwürfel mit der Kantenlänge 10 m wird ein Stück abgesägt. Die so entstandene dreieckige Fläche soll bemalt werden. Berechne den Flächeninhalt der Schnittfläche.

Schritt 1: Vorüberlegung

Da die Schnittfläche ein Dreieck ist, musst du mit der Flächenformel \(A_{Dreieck}=\frac{1}{2}gh\) rechnen.

Du brauchst also die Grundseite g und die Höhe des Dreiecks h.

Da die Schnittfläche sogar ein gleichseitiges Dreieck ist, ergibt sich die Höhe h mithilfe des Pythagoras aus der Grundseite g.

Schritt 2: Grundseite g bestimmen

Die Kante der Schnittfläche g bildet mit den Würfelkanten ein rechtwinkliges Dreieck.

\(g^2=(10\ cm)^2+(10\ cm)^2 \Leftrightarrow\) \(g^2=200\ cm^2 \Rightarrow g=14,14\ cm\).

Schritt 3: Höhe h bestimmen

Im gleichseitigen Dreieck gilt:

\(h^2=g^2-(\frac{1}{2}g)^2 =(\frac{3}{4})g^2=(\frac{3}{4})\cdot200\ cm^2=150\ cm^2\)\(\Rightarrow h=12,25\ cm\)

Schritt 4: Flächeninhalt berechnen

\(A_{Dreieck}=\frac{1}{2}gh=\frac{1}{2}\cdot14,14\ cm \cdot 12,25\ cm=86,61\ cm^2\)

Schritt 5: Antwortsatz

Die Schnittfläche hat einen Flächeninhalt von 86,61 cm2.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 6

Welche der folgenden Aussagen ist wahr, welche ist falsch? Begründe jeweils deine Antwort!

„Es gibt ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit a2 + b2 = c2.“

„Es gibt ein gleichseitiges Dreieck ABC mit a² + b² = c².“

Schritt 1: Vorüberlegung

Ein gleichschenkliges Dreieck hat identische Basiswinkel. Der dritte Winkel ist beliebig.

Ein gleichseitiges Dreieck hat drei identische Winkel. Alle Winkel betragen 60°.

Schritt 2: Antwortsatz

Ja, es gibt ein gleichschenkliges Dreieck mit \(a^2+b^2=c^2\). Zwei Winkel haben jeweils 45°, ein Winkel 90°.

Nein, es gibt kein gleichseitiges Dreieck mit \(a^2+b^2=c^2\), denn alle Winkel betragen 60°.

  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  4
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