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Pythagoras (1)


Aufgabe 1

In einem rechtwinkligen Dreieck ABC ist die Hypotenuse c 12 cm lang und der Hypotenusenabschnitt q ist 8 cm lang.

  1. Fertige eine Skizze an!
  2. Berechne die Länge der Katheten, die Länge des anderen Hypotenusenabschnittes, die Höhe, Flächeninhalt des Dreiecks.

Aufgabe 1a.

Fertige eine Skizze an!

Schritt 1: Skizze anfertigen

Pythagoras (1) - Abbildung 1

Aufgabe 1b.

Berechne die Länge der Katheten, die Länge des anderen Hypotenusenabschnittes, die Höhe, Flächeninhalt des Dreiecks.

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst zuerst die Reihenfolge festlegen, in der du die Längen berechnen kannst.

  • Mit c und q kannst du den Hypotenusenabschnitt p mit \(c = q+p\) berechnen.
  • Mit p und q kannst du die Höhe h mit \(h^2 =p\cdot q\) bestimmen.
  • Mit c und q kannst du die Kathete b mit \(b^2 = c\cdot q\) bestimmen.

Zum Schluss fehlt nur noch die Kathete a.

  • Mit dem Pythagoras \(a^2+b^2=c^2\) ist das kein Problem.

Der Flächeninhalt ergibt sich mit \(A_{Dreieck}=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h=\frac{1}{2} \cdot c \cdot h\).

Schritt 2: Längen berechnen

\(c = q+p\) \(\Rightarrow\) \(12\ cm = 8\ cm+p \Leftrightarrow p=4\ cm\)

\(h^2 =p\cdot q\) \(\Rightarrow\) \(h^2 =4\ cm\cdot 8\ cm\Rightarrow h= \sqrt{32\ cm^2}= 5,66\ cm\)

\(b^2 = c\cdot q\) \(\Rightarrow\) \(b^2 = 12\ cm\cdot 8\ cm \Rightarrow b= \sqrt{96\ cm^2} =9,8\ cm\)

\(a^2+b^2=c^2\) \(\Rightarrow\) \(a^2+96\ cm^2=144\ cm^2 \Rightarrow a^2= 48\ cm^2 \Rightarrow a=6,93\ cm\)

\(A_{Dreieck}=\frac{1}{2} \cdot c \cdot h \Rightarrow A_{Dreieck}=\frac{1}{2} \cdot 12\ cm \cdot 5,66\ cm=33,96\ cm^2\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  8

Aufgabe 2

Berechne die Länge der horizontalen Diagonale d.

Schritt 1: Vorüberlegung

Der Drachen hat keinen rechten Winkel, also kannst du nur mit der zweiten Diagonale rechnen.

Du musst zweimal den Pythagoras anwenden: \((2,4\ cm)^2+(\frac{1}{2}d)^2=(3,8\ cm)^2\).

Schritt 2: Diagonale berechnen

\((2,4\ cm)^2+(\frac{1}{2}d)^2=(3,8\ cm)^2\) \(\Leftrightarrow\) \((\frac{1}{2}d)^2=(3,8\ cm)^2-(2,4\ cm)^2\) \(\Leftrightarrow\) \((\frac{1}{2}d)^2=8,68\ cm^2\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{1}{2}d=2,95\ cm\) \(\Rightarrow\) \(d=5,9\ cm\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 3

In einem gleichschenkligen Dreieck mit den Schenkeln a und der Grundseite c beträgt der Flächeninhalt 54 cm2. Die Grundseite c hat eine Länge von 6 cm.

  1. Welche Länge hat die Höhe hc?
  2. Welche Länge haben die Schenkel a?

Aufgabe 3a.

Welche Länge hat die Höhe hc?

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Höhe hc kannst du mithilfe des Flächeninhaltes bestimmen.

\(A_{Dreieck}=\frac{1}{2}gh \Rightarrow 54\ cm^2=\frac{1}{2}\cdot 6\ cm\cdot h_c\)

Schritt 2: Berechnung der Höhe hc

\(54\ cm^2=\frac{1}{2}\cdot 6\ cm\cdot h_c \Rightarrow h_c =18\ cm\)

Aufgabe 3b.

Welche Länge haben die Schenkel a?

Schritt 1: Vorüberlegung

Da das Dreieck gleichschenklig ist, teilt die Höhe hc das Dreieck ABC in zwei kongruente Dreiecke. Mit dem Pythagoras folgt: \({h_c}^2+(\frac{1}{2}c)^2=a^2 \Rightarrow (18\ cm)^2 +(3\ cm)^2 =a^2\).

Schritt 2: Schenkel a berechnen

\((18\ cm)^2 +(3\ cm)^2 =a^2 \Leftrightarrow a^2=333\ cm^2 \Rightarrow a=18,25\ cm\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 4

Prüfe, ob das Dreieck ABC einen rechten Winkel hat.

  1. a = 12 cm,  b = 5 cm, c = 13 cm
  2. a = 6 cm,  b = 12 cm, c = 7 cm

Aufgabe 4a.

a = 12 cm,  b = 5 cm, c = 13 cm

Schritt 1: Vorüberlegung

Die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck muss die Hypotenuse sein. Wenn das Dreieck ABC einen rechten Winkel haben soll, muss gelten: \(a^2+b^2=c^2\).

Schritt 2: Rechtwinkligkeit prüfen

\((12\ cm)^2+(5\ cm)^2=144\ cm^2+25\ cm^2=169\ cm^2=(13\ cm)^2\)   (wahre Aussage)

Das Dreieck ABC hat einen rechten Winkel.

Aufgabe 4b.

a = 6 cm,  b = 12 cm, c = 7 cm

Schritt 1: Vorüberlegung

Die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck muss die Hypotenuse sein. Wenn das Dreieck ABC einen rechten Winkel haben soll, muss gelten: \(a^2+c^2=b^2\).

Schritt 2: Rechtwinkligkeit prüfen

\((6\ cm)^2+(7\ cm)^2=36\ cm^2+49\ cm^2=85\ cm^2 \neq 144\ cm^2=(12\ cm)^2\)   (falsche Aussage)

Das Dreieck ABC hat keinen rechten Winkel.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 5

Ein Zelt hat die Form einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Das Zelt ist 1,80 m hoch. Von der Spitze des Zeltes verläuft ein Reißverschluss zum Mittelpunkt einer Grundseite. Der Reißverschluss ist 2,20 m lang.

  1. Fertige eine Skizze an und trage die gegebenen Längen ein.
  2. Welche Grundfläche hat das Zelt?

Aufgabe 5a.

Fertige eine Skizze an und trage die gegebenen Längen ein.

Schritt 1: Skizze anfertigen

Pythagoras (1) - Abbildung 2

Aufgabe 5b.

Welche Grundfläche hat das Zelt?

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Flächeninhaltsformel \(A_{Quadrat}=a^2\). Du musst also die Kantenlänge a bestimmen.

Schritt 2: Kantenlänge a bestimmen

Die Höhe des Zeltes, der Reißverschluss und die halbe Kantenlänge a bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Du kannst mit dem Pythagoras arbeiten.

\((1,8\ m)^2+(\frac{1}{2}a)^2=(2,2\ m)^2 \Leftrightarrow 3,24\ m^2+(\frac{1}{2}a)^2=4,84\ m^2 \Leftrightarrow (\frac{1}{2}a)^2=1,6\ m^2\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2}a=1,26\ m \Rightarrow a=2,52\ m\)

Schritt 3: Flächeninhalt berechnen

\(A_{Quadrat}=(2,52\ m)^2=6,4\ m^2\)

Schritt 4: Antwortsatz

Der Flächeninhalt des Zeltes beträgt 6,4 m2.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  9 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 6

Zwei Käfer haben sich in ein Wohnzimmer verirrt. Das Zimmer ist würfelförmig mit der Seitenkante s. Der eine Käfer krabbelt auf direktem Weg von der vorderen, unteren Ecke die Wände entlang zur oberen, hinteren Ecke (siehe Skizze). Der andere Käfer fliegt auf direktem Weg entlang der Raumdiagonale.

  1. Berechne die Länge der Krabbelstrecke sowie die Länge der Flugstrecke in Abhängigkeit von s.
  2. Um wie viel Prozent ist die Krabbelstrecke länger als die Flugstrecke?

Aufgabe 6a.

Berechne die Länge der Krabbelstrecke sowie die Länge der Flugstrecke in Abhängigkeit von s.

Schritt 1: Vorüberlegung

Wand: Der Käfer an der Wand bewegt sich auf direktem Weg. Stell dir also vor, du würdest das Zimmer aufklappen. Dann krabbelt der Käfer über zwei Wände.

Pythagoras (1) - Abbildung 3

Mit dem Pythagoras ergibt sich: \((w_1)^2=(2s)^2+s^2\).

Flug: Die Raumdiagonale kannst du bestimmen, indem du zweimal den Pythagoras benutzt.

\(s^2+s^2=d^2\) und  \(d^2+s^2=(w_2)^2 \Rightarrow(s^2+s^2)+s^2=(w_2)^2\)

Pythagoras (1) - Abbildung 4

Schritt 2: Krabbel- und Flugstrecke berechnen

Wand: \((w_1)^2=(2s)^2+s^2=4s^2+s^2=5s^2 \Rightarrow w_1=\sqrt{5}\cdot s \)

Flug: \((w_2)^2=(s^2+s^2)+s^2=3s^2 \Rightarrow w_2=\sqrt{3} \cdot s\)

Aufgabe 6b.

Um wie viel Prozent ist die Krabbelstrecke länger als die Flugstrecke?

Schritt 1: Vergleich der Strecken

Verwende die Prozentformel: \(p=\frac{W\ \cdot\ 100}{G}\).

\(p = \frac{\sqrt{5}\ \cdot\ 100}{\sqrt{3}}=129,01\ \%\)

Die Krabbelstrecke ist ca. 29 % länger als die Flugstrecke.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  6
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