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Kombinatorik (1)


Aufgabe 1

Entscheide, ob es sich um ein Laplace-Experiment handelt. Begründe jeweils.

  1. Aus einem Skatkartenspiel wird zufällig eine Karte gezogen. Es wird notiert, welche Karte es ist.
  2. Aus einem Skatkartenspiel wird zufällig eine Karte gezogen. Es wird notiert, ob es eine Dame ist oder nicht.
  3. Das abgebildete Glücksrad wird gedreht und die Farbe notiert.
    Kombinatorik (1) - Abbildung 1
  4. Aus einer Urne mit 49 gleich großen Kugeln, die mit den Zahlen von 1 bis 49 beschriftet sind, wird zufällig eine Kugel gezogen.
  5. Beim Schießen eines Elfmeters in der Fußballbundesliga wird beobachtet, ob es ein Tor gibt oder nicht.
  6. Niklas fährt jeden Tag auf dem Schulweg an einer Ampel vorbei. Er schaut, ob die Ampel Grün, Gelb oder Rot zeigt.

Lösung

  1. Es ist ein Laplace-Experiment, da jede Karte mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen wird.
  2. Es ist kein Laplace-Experiment, da es in einem Skatkartenspiel weniger Damekarten als Nichtdamekarten gibt.
  3. Es ist kein Laplace-Experiment, da z. B. das blaue Feld größer ist als das grüne Feld. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für die Auswahl der Farbe Blau größer als für die der Farbe Grün.
  4. Es ist ein Laplace-Experiment, da jede Kugel mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen wird.
  5. Es ist kein Laplace-Experiment, da beim Elfmeterschießen in der Bundesliga die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Tor“ größer ist als für das Ereignis „kein Tor“.
  6. Es ist kein Laplace-Experiment, da die Ampel z. B. länger Grün zeigt als Gelb. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für Grün größer als für Gelb.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 2

Beim 100-m-Endlauf treten die besten acht 100-m-Läufer gegeneinander an. Berechne, wie viele Möglichkeiten es für die ersten drei Plätze gibt, die eine Gold-, eine Silber- und eine Bronzemedaille erhalten.

Lösung

Es gibt 8 Möglichkeiten dafür, wer die Goldmedaille bekommt. Wenn die Goldmedaille vergeben ist, bleiben für die Silbermedaille noch 7 mögliche Läufer, da einer bereits die Goldmedaille hat. Für die Bronzemedaille kommen dann, nachdem Gold- und Silbermedaille bereits vergeben sind, noch 6 Läufer infrage. Nach der Zählregel der Kombinatorik gibt es also für die ersten drei Plätze \(8\cdot7\cdot6=336\) Möglichkeiten.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  4 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 3

In einem Café gibt es neun verschiedene Fruchtcocktails. Sebastian möchte zwei davon probieren. Berechne, wie viele Möglichkeiten er hat, zwei Sorten auszuwählen.

Lösung

Nach der Formel für Ziehen mit einem Griff gibt es \(\binom{9}{2}=\frac{9\ \cdot\ 8}{2\ \cdot\ 1}=36\) Möglichkeiten.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  4 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 4

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Die Augenzahl des blauen Würfels wird vor die Augenzahl des roten Würfels geschrieben, sodass eine zweistellige Zahl entsteht.
Beispiel:

Kombinatorik (1) - Abbildung 2

Dieser Wurf ergibt die Zahl 53.
  1. Schreibe alle Ergebnisse auf, die für die folgenden Ereignisse günstig sind.
    Ereignis \(A\): Die zweistellige Zahl ist kleiner als 15.
    Ereignis \(B\): Die zweistellige Zahl ist ungerade und größer als 60.
    Ereignis \(C\): Die zweistellige Zahl ist durch 6 teilbar.
  2. Berechne die Wahrscheinlichkeiten der drei Ereignisse aus a.

Lösung

  1. Ereignis \(A\): 11, 12, 13, 14
    Ereignis \(B\): 61, 63, 65
    Ereignis \(C\): 12, 24, 36, 42, 54, 66
  2. Es handelt sich um ein Laplace-Experiment mit \(6\cdot6\) möglichen Ergebnissen.
    \(P(A)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\approx11,1\ \%\)
    \(P(B)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\approx8,3\ \%\)
    \(P(C)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\approx16,7\ \%\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  11 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 5

  1. Berechne, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Playlist mit 15 Musiktiteln drei auszuwählen.
  2. Nele startet die Playlist im Zufallsmodus, bei dem die 15 Musiktitel in zufälliger Reihenfolge gespielt werden. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten drei gespielten Titel genau die drei Lieblingstitel von Nele sind.
  3. Zufälligerweise sind die ersten beiden gespielten Titel zwei der drei Lieblingstitel von Nele. Bestimme nun die Wahrscheinlichkeit, dass als Nächstes auch noch der dritte Lieblingstitel folgt.

Lösung

  1. Nach der Formel für Ziehen mit einem Griff gibt es \(\binom{15}{3}=\frac{15\ \cdot\ 14\ \cdot\ 13}{3\ \cdot\ 2\ \cdot\ 1}=455\) Möglichkeiten.
  2. Auf die Reihenfolge innerhalb der ersten drei Musiktitel kommt es laut Aufgabenstellung nicht an. Wie in Aufgabe a gezeigt, gibt es für die Auswahl der ersten drei Titel (wenn deren Reihenfolge egal ist) 455 Möglichkeiten. Da bei der zufälligen Auswahl alle 455 Möglichkeiten gleich wahrscheinlich sind, handelt sich um ein Laplace-Experiment. Wie viele günstige Ergebnisse gibt es, d. h. Ergebnisse, bei denen die ersten drei Musiktitel gerade die drei Lieblingstitel von Nele sind? Da die Reihenfolge der drei Stücke gleichgültig ist, gibt es nur ein günstiges Ergebnis.
    Beides setzen wir in die Formel für Laplace-Experimente ein:
    \(P(\mbox{zuerst die drei Lieblingstitel})=\frac{1}{455}\approx0,22\ \%\)
  3. Es sind noch 13 Musiktitel übrig, die alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit als Nächstes gespielt werden.
    \(P(\mbox{als Nächstes der dritte Lieblingstitel})=\frac{1}{13}\approx7,7\ \%\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  11 Minuten
  • Punkte:  9

Aufgabe 6

Berechne, wie viele Möglichkeiten es gibt, in einer Klasse mit 25 Schülern zwei gleichberechtigte Klassensprecher und zwei gleichberechtigte Vertreter auszuwählen.

Lösung

Wir unterteilen die Aufgabe in zwei Schritte.

  1. Nach der Formel für Ziehen mit einem Griff gibt es für die Wahl von zwei Klassensprechern \(\binom{25}{2}=\frac{25\ \cdot\ 24}{2\ \cdot\ 1}=300\) Möglichkeiten.
  2. Es bleiben 23 Schüler übrig. Dann gibt es nach der Formel für Ziehen mit einem Griff für die Wahl von zwei Stellvertretern \(\binom{23}{2}=\frac{23\ \cdot\ 22}{2\ \cdot\ 1}=253\) Möglichkeiten.

Nach der Zählregel der Kombinatorik müssen diese Anzahlen noch multipliziert werden. Insgesamt gibt es also \(300\cdot253=75.900\) Möglichkeiten.

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  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  9 Minuten
  • Punkte:  3
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