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Funktionen und Gleichungen (1)


Aufgabe 1

Zeichne die Graphen dieser linearen Funktionen.

Hinweis: Zeichne beide Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem. Überlege zunächst, wie groß du das Koordinatensystem dazu anlegen musst.

a) \(f(x)=3x-1\)

b) \(g\) ist eine lineare Funktion mit der Steigung \(-\frac{1}{2}\) und dem y-Achsenabschnitt \(4\).

Lösung

Funktionen und Gleichungen (1) - Abbildung 1

Hinweise zur Lösung findest du hier:
https://learnattack.de/mathe/funktionsterme-aufstellen-und-darstellen/anleitungsvideo/wie-du-lineare-funktionen-als-graph-darstellst

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 2

Gib die Funktionsgleichungen zu folgenden Graphen an:

 - Abbildung 1

Lösung

\(f(x)=-2x+1\\ g(x)=\frac{1}{3}x+1\\ h(x)=x-2,5\)

Wie du Funktionsterme von linearen Funktionen aufstellst:
https://learnattack.de/mathe/funktionsterme-aufstellen-und-darstellen/anleitungsvideo/wie-du-funktionsterme-von-linearen-funktionen-aufstellst

Du kannst auch noch einmal schauen, wie man die Steigung mithilfe des Steigungsdreiecks berechnet:
https://learnattack.de/mathe/steigung-nullstellen-schnittpunkte/anleitungsvideo/wie-du-die-steigung-von-funktionen-mithilfe-des-steigungsdreiecks-angibst

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 3

Gegeben sind folgende Funktionen:

\(f(x)=-4x-6\\ g(x)=2x\)

a) Bestimme rechnerisch die Nullstelle von \(f\).

b) Bestimme rechnerisch, in welchem Punkt sich die Funktionen \(f\) und \(g\) schneiden.

c) Gib jeweils y-Achsenabschnitt und Steigung von \(f\) und \(g\) an.

Lösung

a)

\(f(x)=-4x-6\)

\(0=-4x-6\quad\quad \big\vert +4x\)

\(4x=-6\quad\quad \big\vert:4\)

\(x=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}=-1,5\)

Die Nullstelle von \(f\) liegt bei \(x=-\frac{3}{2}\).

b) Man setzt zunächst \(f(x)=g(x)\).

\(-4x-6=2x\quad\quad \big\vert +4x\)

\(-6=6x\quad\quad\big\vert :6\)

\(-1=x\)

Dann setzt man \(x=-1\) in eine der beiden Funktionsgleichungen ein, um den zugehörigen y-Wert zu bestimmen. Setzt du in \(g(x)\) ein, dann sieht das so aus:
\(y=g(-1)=2\cdot(-1)=-2\)

Der Schnittpunkt von \(f\) und \(g\) ist \(S(-1\big\vert -2)\).

c) Bei einer linearen Funktion der Form \(y=mx+b\) steht der Faktor \(m\) vor dem \(x\) für die Steigung, der konstante Summand \(b\) ist der y-Achsenabschnitt. Daher gilt für \(f\): Die Steigung beträgt \(-4\), der y-Achsenabschnitt ist \(-6\). Für \(g\) gilt: Die Steigung beträgt \(2\), der y-Achsenabschnitt ist \(0\).

So bestimmst du Nullstellen:
https://learnattack.de/mathe/steigung-nullstellen-schnittpunkte/anleitungsvideo/wie-du-nullstellen-linearer-funktionen-bestimmst

So bestimmst du den Schnittpunkt zweier Geraden:
https://learnattack.de/mathe/steigung-nullstellen-schnittpunkte/anleitungsvideo/wie-du-den-schnittpunkt-zweier-geraden-berechnest

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  10

Aufgabe 4

Bestimme \(x\).

a) \(17x-4=3x\)

b) \(3-\frac{2}{3}x=\frac{7}{12}x\)

c) \(\frac{18}{7}x=2x+\frac{9}{14}\)

Lösung

a)

\(17x-4=3x\quad\quad\big\vert -3x\)

\(14x-4=0\quad\quad\big\vert +4\)

\(14x=4\quad\quad\big\vert :14\)

\(x=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}\)

b)

\(3-\frac{2}{3}x=\frac{7}{12}x\quad\quad\big\vert +\frac{2}{3}x\)

\(3=\frac{7}{12}x+\frac{2}{3}x=(\frac{7}{12}+\frac{2}{3})x=(\frac{7}{12}+\frac{8}{12})x=\frac{15}{12}x=\frac{5}{4}x\quad\quad\big\vert :\frac{5}{4}\)

\(3:\frac{5}{4}=3\cdot\frac{4}{5}=\frac{12}{5}=x\)

c)

\(\frac{18}{7}x=2x+\frac{9}{14}\quad\quad\big\vert -2x\)

\(\frac{18}{7}x-2x=(\frac{18}{7}-2)x=(\frac{18}{7}-\frac{14}{7})x=\frac{4}{7}x=\frac{9}{14}\quad\quad\big\vert :\frac{4}{7}\)

\(x=\frac{9}{14}:\frac{4}{7}=\frac{9}{14}\cdot\frac{7}{4}=\frac{9}{8}\)

Hier kannst du dir das noch einmal Schritt für Schritt angucken:
https://learnattack.de/mathe/gleichungen-loesen/anleitungsvideo/wie-du-gleichungen-nach-x-aufloest

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  15 Minuten
  • Punkte:  8

Aufgabe 5

Sabine Klar betreibt einen Waschmaschinenreparaturservice. Für eine Standardreparatur nimmt sie 110 €. Pro Arbeits- und pro Fahrminute hat sie (mit allen Nebenkosten) Ausgaben von 1,50 €. Neben der Arbeits- und Fahrzeit muss sie als Kosten durschnittlich 44 € für Material einplanen. Bei welcher Arbeits- und Fahrzeit (in Minuten) macht sie bei einer Standardreparatur Gewinn? Stell eine passende Ungleichung auf, löse sie und beantworte die Frage.

Lösung

\(1,5x+45<110\quad\quad\big\vert -44\)

\(1,5x<66\quad\quad\big\vert :1,5\) bzw. \(:\frac{3}{2}\)

\(x<66:\frac{3}{2}=66\cdot\frac{2}{3}=44\)

\(\mathbb{L}=\{x\ \big\vert\ x<44\}\)

Frau Klar mach bei einer Standardreparatur Gewinn, wenn sie dafür weniger als 44 Minuten arbeitet und fährt.

Wie du zu einer Sachaufgabe eine Ungleichung aufstellst:
https://learnattack.de/mathe/ungleichungen-loesen/schritt-fuer-schritt-anleitung/wie-du-lineare-ungleichungen-aufstellst

Zum Lösen von Ungleichungen:
https://learnattack.de/mathe/ungleichungen-loesen/anleitungsvideo/wie-du-die-loesungsmenge-von-ungleichungen-bestimmst

  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  3
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