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Funktionen: Symmetrie und Grenzwert (2)


Aufgabe 1

Bestimme die maximalen Intervalle, in denen der Graph von f streng monoton steigt.

\(f(x)=x^3-3x+2\)

Lösung

1. Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen

\(f'(x)=3x^2-3=0\)

\(3(x^2-1)=0\)

\(3(x-1)(x+1)=0\)

\(x_1 =1;\quad x_2=-1\)

2. Monotonietabelle erstellen

  \(x<\) −1 \(<x<\) 1 \(<x\)
\(f'(x)\) positiv   negativ   positiv
\(G_f\) steigt   fällt   steigt

3. Monotonieintervalle angeben

\(G_f\) ist für \(x \in\ ]-\infty;-1]\) und für \(x \in\ [1;\infty[\) streng monoton steigend.

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  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  8

Aufgabe 2

Begründe, ob die Funktion gerade, ungerade oder weder gerade noch ungerade ist.

a) \(f(x)=x^5-2x\)

b) \(f(x)=2x^4+x^3\)

c) \(f(x)=\frac{x^3\ -\ x}{x^2\ +\ 1}\)

d) \(f(x)=\frac{x^5\ -\ 3x}{2x^3\ +\ x}\)

Lösung

a) Da es sich um eine ganzrationale Funktion mit nur ungeraden Exponenten handelt, ist sie ungerade.

b) Da es sich um eine ganzrationale Funktion mit geraden und ungeraden Exponenten handelt, ist sie weder gerade noch ungerade.

c) \(f(-x)=\frac{(-x^3)\ -\ (-x)}{(-x^2)\ +\ 1}=\frac{-(x^3)\ +\ x}{x^2\ +\ 1}=-\frac{(x^3)\ -\ x}{x^2\ +\ 1}=-f(x)\)

    Die Funktion ist also ungerade.

d) \(f(-x)=\frac{(-x)^5\ -\ 3(-x)}{2(-x)^3\ +\ (-x)}=\frac{-x^5\ +\ 3x}{-2x^3\ -\ x}=\frac{-(x^5\ -\ 3x)}{-(2x^3\ +\ x)}=f(x)\)

   Die Funktion ist also gerade.

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  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 3

Gib den Term einer Funktion an, die folgende Eigenschaften besitzt: Ihr Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse und für \(x<0\) streng monoton steigend. Des Weiteren gilt: \(\lim\limits_ {x \rightarrow \infty}f(x)=-2\).

Skizziere auch den Graphen der Funktion.

Lösung

Zum Beispiel: \(f(x)=\frac{1}{x^2}-2\)

Funktionen: Symmetrie und Grenzwert (2) - Abbildung 1

  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 4

Gib die kleinstmögliche natürliche Zahl n an, sodass die Grenzwerte stimmen.

a) \(\lim\limits_ {x \rightarrow \ - \infty}x^n+2x^2-1=-\infty\)   

    \(\lim\limits_ {x \rightarrow \ \infty}x^n+2x^2-1=\infty\)

b) \(\lim\limits_ {x \rightarrow \ - \infty}-0,5x^n-1=-\infty\)

   \(\lim\limits_ {x \rightarrow \ \infty}-0,5x^n-1=-\infty\)

c) \(\lim\limits_ {x \rightarrow \ \infty}n^x=1\)   

d)  \(\lim\limits_ {x \rightarrow \ \infty}\frac{1}{x^n}-1=-1\)

e) \(\lim\limits_ {x \rightarrow \ \infty}\frac{x^4\ +\ 2x}{x^n\ -\ 7}=0\)

f) \(\lim\limits_ {x \rightarrow \ \infty}\frac{x^3\ +\ 2x}{2x^n\ -\ 5x}=0,5\)

g) \(\lim\limits_ {x \rightarrow \ \infty}\frac{x^n\ +\ 5x\ +\ 1}{2x^3\ +\ x^2\ -\ 3}=\infty\)

Lösung

a) \(n = 3\)

b)  \(n = 2\)

c) \(n = 1\)

d) \(n = 1\)

e) \(n = 5\)

f) \(n = 3\)

g) \(n = 4\)

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  11 Minuten
  • Punkte:  7

Aufgabe 5

Gib an, welcher Graph zu welcher Gleichung gehört.

A) \(y=0,5x^3\)

B) \(y=0,5(x-1)^3-2\)

C) \(y=-0,5(x-1)^3+2\) 

D) \(y=0,5(x+1)^3+2\)

E) \(y=-0,5(x+1)^3-2\)

Funktionen: Symmetrie und Grenzwert (2) - Abbildung 2

Beschreibe, wie man aus den Graphen den folgenden erhält: B aus A, C aus B, D aus C und E aus D.

Lösung

A) g

B) h

C) q

D) f

E) p

Graph B entsteht aus A durch Verschiebung um 1 nach rechts und 2 nach unten.

Graph C entsteht aus B durch Spiegelung an der x-Achse.

Graph D entsteht aus C durch Spiegelung an der y-Achse.

Graph E entsteht aus D durch Spiegelung an der x-Achse.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  8
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