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Exponentielles Wachstum (2)


Aufgabe 1

Gib für die folgenden Funktionen den Anfangsbestand a und den Wachstumsfaktor b an. Interpretiere dabei den Wachstumsfaktor.

  1. \(f(x) = 2^x\)
  2. \(f(x) = 5400\cdot 1,07^x\)
  3. \(f(x) = 2\cdot10^6\cdot0,83^x\)

Aufgabe 1a.

\(f(x) = 2^x\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Die allgemeine Funktionsgleichung lautet \(f(x) = a \cdot b^x\). a ist der Anfangsbestand, d. h., wie viel bei Beobachtungsbeginn vorhanden war. b ist der Wachstumsfaktor.

Schritt 2: Anfangsbestand und Wachstumsfaktor ablesen und interpretieren

a = 1 und b = 2

Das bedeutet eine Verdopplung.

Aufgabe 1b.

\(f(x) =5400\cdot 1,07^x\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Die allgemeine Funktionsgleichung lautet \(f(x) = a \cdot b^x\). a ist der Anfangsbestand, d. h., wie viel bei Beobachtungsbeginn vorhanden war. b ist der Wachstumsfaktor.

Schritt 2: Anfangsbestand und Wachstumsfaktor ablesen und interpretieren

a = 5400 und b = 1,07 = \(1 + \frac{7}{100}\)

Das bedeutet ein Wachstum von 7 %.

Aufgabe 1c.

\(f(x) =2\cdot 10^6\cdot0,83^x\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Die allgemeine Funktionsgleichung lautet \(f(x) = a \cdot b^x\). a ist der Anfangsbestand, d. h., wie viel bei Beobachtungsbeginn vorhanden war. b ist der Wachstumsfaktor.

Schritt 2: Anfangsbestand und Wachstumsfaktor ablesen und interpretieren

a = 2.000.000 und b = 0,83 = \(1 - \frac{17}{100}\)

Das bedeutet ein negatives Wachstum (Zerfall) von 17 %.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 2

Bestimme die Funktionsgleichung der Funktion f, deren Graph durch die Punkte A(1|4) und B(3|16) verläuft, für den Fall, dass es sich bei der Funktion f um eine Exponentialfunktion handelt.

Schritt 1: Gleichungssystem aufstellen

Die Punkte A und B müssen die Gleichung \(f(x) = a\cdot b^{x}\) erfüllen, d. h., du musst die Punkte A und B in die Funktionsgleichung einsetzen.

I)  A(1|4):    \(4 = a\cdot b^{1}\)

II) B(3|16): \(16 = a\cdot b^{3}\)

Schritt 2: Einsetzungsverfahren anwenden

Die Gleichung I) musst du nach a umstellen.

\(4 = a\cdot b^{1}\) ⇔ \(a=\frac{4}{b}\)

Jetzt \(a=\frac{4}{b}\) in die Gleichung II) einsetzen.

\(16 = a\cdot b^{3}\) ⇔ \(16 =\frac{4}{b}\cdot b^{3}\) ⇔ \(16 = 4\cdot b^{2}\)\(4 = b^{2}\)\(b = 2\)

 \(b = 2\) wieder in die Gleichung I) einsetzen.

\(a=\frac{4}{b}\)\(a=\frac{4}{2} = 2\)

Schritt 3: Funktionsgleichung angeben

a und b musst du nun in die Funktionsgleichung \(f(x) = a\cdot b^{x}\) einsetzen.

Lösung: \(f(x) = 2\cdot 2^{x}\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 3

Ein Vitaminpräparat baut sich nach der Einnahme im menschlichen Organismus nach der Formel \(f(t) = 60\cdot 0,95^t\) (t in Stunden, Masse in mg) ab.

  1. Wie viel von dem Vitaminpräparat ist nach zwei Stunden noch im menschlichen Körper?
  2. Wie lange dauert es, bis nur noch 10 mg des Vitaminpräparates im Körper sind?
  3. Wie groß ist ca. die Halbwertszeit dieses Vitaminpräparates im menschlichen Organismus?

Aufgabe 3a.

Wie viel von dem Vitaminpräparat ist nach zwei Stunden noch im menschlichen Körper?

Schritt 1: Funtionswert aus Stelle berechnen

Du musst den Funktionswert an der Stelle x = 2 bestimmen. Setze dazu die Stelle x = 2 in die Funktionsgleichung ein.

\(f(2) = 60\cdot 0,95^2 = 54,15\)

Schritt 2: Antwortsatz

Nach zwei Stunden sind noch 54,15 mg Vitaminpräparat im menschlichen Körper.

Aufgabe 3b.

Wie lange dauert es, bis nur noch 10 mg des Vitaminpräparates im Körper sind?

Schritt 1: Stelle aus Funktionswert berechnen

Du musst die Stelle bestimmen, an der die Funktion den Wert 10 annimmt. Setze dazu f(x) = 10 ein.

\(10 = 60\cdot 0,95^x \Leftrightarrow \frac{1}{6} =0,95^x \)

Schritt 2: Exponentialgleichung lösen

\( \frac{1}{6} =0,95^x \)     | log( )

\(log(\frac{1}{6}) = log(0,95^x)\)     | Benutze das Logarithmengesetz \(log(a^n) = n\cdot log(a)\)

\(log(\frac{1}{6}) = x\cdot log(0,95)\)     | \(: log(0,95)\)

\(x = \frac{log(\frac{1}{6})}{log(0,95)}\) = 34,93

Schritt 3: Antwortsatz

Nach 34,93 Stunden sind noch 10 mg Vitaminpräparat im menschlichen Körper.

Aufgabe 3c.

Wie groß ist ca. die Halbwertszeit dieses Vitaminpräparates im menschlichen Organismus?

Schritt 1: Vorüberlegung

Halbwertszeit bedeutet, dass nur noch die Hälfte des Anfangsbestandes vorhanden ist.

\(f(x) = \frac{1}{2}\cdot a \Rightarrow \) \(\frac{1}{2} \cdot 60 = 60\cdot 0,95^x \Leftrightarrow \frac{1}{2} =0,95^x \)

Dann geht es weiter wie bei 3b.!

Schritt 2: Exponentialgleichung lösen

\( \frac{1}{2} =0,95^x \)     | log( )

\(log(\frac{1}{2}) = log(0,95^x)\)     | Benutze das Logarithmengesetz \(log(a^n) = n\cdot log(a)\)

\(log(\frac{1}{2}) = x\cdot log(0,95)\)     | \(: log(0,95)\)

\(x = \frac{log(\frac{1}{2})}{log(0,95)}\) = 13,51

Schritt 3: Antwortsatz

Nach ca. 13,51 Stunden ist noch die Hälfte des Vitaminpräparates im menschlichen Körper.

  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 4

In einer Kleinstadt hat man in drei aufeinanderfolgenden Jahren den Bestand an Wildschweinen gezählt:

  • 2010 waren es 3006 Tiere,
  • 2011 waren es 3313 Tiere,
  • 2012 waren es 3625 Tiere.

Die Stadtverwaltung möchte die Vermehrung der Tiere vorhersagen, da Wildschweine in den Grünanlagen der Stadt jedes Jahr schwere Schäden verursachen. Der Bürgermeister geht von einem Anstieg um 300 Wildschweine pro Jahr aus. Der Förster geht dagegen von einem jährlichen Anstieg des Wildschweinbestandes von 10 % aus.

  1. Gib die Funktionsgleichungen der zugehörigen Wachstumsfunktionen je nach Berechnungsansatz (Bürgermeister, Förster) an.
  2. Wie groß ist der Unterschied zwischen der Vorhersage des Bürgermeisters und des Försters für das Jahr 2020?

Aufgabe 4a.

Gib die Funktionsgleichungen der zugehörigen Wachstumsfunktionen je nach Berechnungsansatz (Bürgermeister, Förster) an.

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst lineares Wachstum und exponentielles Wachstum vergleichen. Die allgemeinen Funktionsgleichungen lauten:

  • für lineares Wachstum: \(f(x) = a +b \cdot x \),
  • für exponentielles Wachstum: \(f(x) = a \cdot b^x\).

Schritt 2: Funtkionsgleichungen aufstellen

Du musst die Angaben aus dem Text in die jeweiligen Funktionsgleichungen einsetzen.

Bürgermeister: Lineares Wachstum mit a = 3006 (Anfangsbestand) und b = 300 (jährlicher Zuwachs)  \(\Rightarrow\) \(f(x) = 3006 +300 \cdot x \)

Förster: Exponentielles Wachstum mit a = 3006 (Anfangsbestand) und b = \(1 + \frac{10}{100} = 1,1\) \(\Rightarrow\) \(f(x) = 3006 \cdot 1,1^x\)

Aufgabe 4b.

Wie groß ist der Unterschied zwischen der Vorhersage des Bürgermeisters und des Försters für das Jahr 2020?

Schritt 1: Funktionswerte berechnen

Die Zeitspanne von 2010 (Beobachtungsbeginn) bis 2020 beträgt 10 Jahre. Du musst daher in beiden Funktionsgleichungen x = 10 setzen.

Bürgermeister: \(f(10) = 3006 +300 \cdot 10 = 6006 \)

Förster: \(f(x) = 3006 \cdot 1,1^{10} = 7796,79 \approx7797\)

Schritt 2: Unterschied in den Vorhersagen bestimmen

Der absolute Unterschied ergibt sich aus der Differenz der beiden Vorhersagen: 7797 – 6006 = 1791.

Der prozentuale Unterschied beträgt: \(\frac{1791\ \cdot\ 100}{6006} =29,82 \)

Schritt 3: Antwortsatz

Der Unterschied zwischen der Vorhersage des Bürgermeisters und der Vorhersage des Försters beträgt 1791 Wildschweine. Das ist ein Unterschied von fast 30 %.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 5

Bestimme ohne Taschenrechner.

  1. \(\log_{2}{(1024)}\)
  2. \(\log_{3}{(3^4)}\)
  3. \(\log_{2}{(\sqrt[3]{16})}\)
  4. \(\log_{2}{(14)} + \log_{2}{(6)} - \log_{2}{(\frac{21}{4})}\)

Aufgabe 5a.

\(\log_{2}{(1024)}\)

Schritt 1: Vorüberlegungen

Du musst den Numerus in eine Potenz umformen.

\(\log_{2}{(1024)} = \log_{2}{2^{10}}\)

Schritt 2: Logarithmengesetz anwenden

Du musst jetzt das Logarithmengesetz \(log(a^n) = n \cdot log(a)\) anwenden.

\(\log_{2}{2^{10}} = 10\cdot \log_{2}{2} =10 \cdot 1 =10\)

Aufgabe 5b.

\(\log_{3}{(3^4)}\)

Schritt 1: Logarithmengesetz anwenden

Du musst das Logarithmengesetz \(log(a^n) = n \cdot log(a)\) anwenden.

\(\log_{3}{3^{4}} = 4\cdot \log_{3}{3} =4 \cdot 1 =4\)

Aufgabe 5c.

\(\log_{2}{(\sqrt[3]{16})}\)

Schritt 1: Vorüberlegungen

Du musst den Numerus in eine Potenz umformen.

\(\log_{2}{(\sqrt[3]{16})} = \log_{2}{(16^{\frac{1}{3}})} = \log_{2}{((2^4)^{\frac{1}{3}})} = \log_{2}{(2^{\frac{4}{3}})}\)

Schritt 2: Logarithmengesetz anwenden

Du musst jetzt das Logarithmengesetz \(log(a^n) = n \cdot log(a)\) anwenden.

\( \log_{2}{(2^{\frac{4}{3}})} = \frac{4}{3}\log_{2}{2} = \frac{4}{3}\cdot 1 =\frac {4}{3}\)

Aufgabe 5d.

\(\log_{2}{(14)} + \log_{2}{(6)} - \log_{2}{(\frac{21}{4})}\)

Schritt 1:  Logarithmengesetze anwenden

Du musst die Logarithmengesetze \(log (a) + log(b) = log (a \cdot b)\)\(log (a) - log(b) = log (a:b)\)  und \(log(a^n) = n \cdot log(a)\) anwenden.

\(\log_{2}{(14)} + \log_{2}{(6)} - \log_{2}{(\frac{21}{4})}\)

= \(\log_{2}{(14 \cdot 6)} - \log_{2}{(\frac{21}{4})} =\) \(\log_{2}{(14 \cdot 6:\frac{21}{4})}\)

= \(\log_{2}{(16)} = \) \(\log_{2}{(2^4)} =\) \(4 \cdot\log_{2}{(2)} =4\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  7

Aufgabe 6

Zeige, dass \(\log_{4}{(5)}\) keine rationale Zahl ist.

Tipp: Gehe von dem Gegenteil (\(\log_{4}{(5)}=\frac{p}{q}\)) aus und folgere hieraus \(5^q = 4^p\). Zeige anschließend den Widerspruch.

Schritt 1: Annahme formulieren

Annahme: \(\log_{4}{(5)}\) wäre eine rationale Zahl, dann muss es einen Bruch \(\frac{p}{q}\) geben mit \(\log_{4}{(5)}=\frac{p}{q}\).

Schritt 2: Term umformen

\(\log_{4}{(5)}=\frac{p}{q}\)     | \(4^{()}\)

\(4^ {\log_{4}{(5)}}=4^{\frac{p}{q}}\)     | \(b^{\log_{b}(a)}= a\)

\(5 =4^{\frac{p}{q}}\)     | \(()^q\)

\(5^q = 4^p\)

Schritt 3: Widerspruch begründen

Betrachte nun alle Potenzen von 5: 51 = 5, 52 = 25, 53 = 125 ... Das sind alles ungerade Zahlen.

Betrachte nun alle Potenzen von 4: 41 = 4, 42 = 16, 43 = 64 ... Das sind alles gerade Zahlen.

Es kann also keine Exponenten p und q mit \(5^q = 4^p\) geben, da 5q immer ungerade ist und 4p immer gerade ist.

Schritt 4: Widerspruch und Folgerung

Da \(\log_{4}{(5)}=\frac{p}{q}\) zum Widerspruch führt, kann \(\log_{4}{(5)}\) keine rationale Zahl sein.

  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  3
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