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Exponentielles Wachstum (1)


Aufgabe 1

Stelle jeweils die zugehörige exponentielle Wachstumsfunktion \(f(x) = a·b^x\) auf.

  1. Der Anfangsbestand beträgt 30 und verdoppelt sich jedes Jahr.
  2. Der Anfangsbestand beträgt 4000 und wächst jedes Jahr um 7 %.
  3. Der Anfangsbestand beträgt 10.000 und wird jedes Jahr um 5 % kleiner.

Aufgabe 1a.

Der Anfangsbestand beträgt 30 und verdoppelt sich jedes Jahr.

Schritt 1: Vorüberlegung

Die allgemeine Funktionsgleichung für exponentielles Wachstum lautet: \(f(x)=a \cdot b^x\). a ist der Anfangsbestand und b der Wachstumsfaktor.

Schritt 2: Anfangsbestand a und Wachstumsfaktor b bestimmen

a = 30 und b = 2, da es sich um eine Verdoppelung handelt.

Schritt 2: Wachstumsfunktion angeben

Lösung: \(f(x) =30\cdot 2^{x}\)

Aufgabe 1b.

Der Anfangsbestand beträgt 4000 und wächst jedes Jahr um 7 %.

Schritt 1: Anfangsbestand a und Wachstumsfaktor b bestimmen

a = 4000 und b = \(1+\frac{7}{100}\) = 1,07, da es sich um ein prozentuales Wachstum handelt.

Schritt 2: Wachstumsfunktion angeben

Lösung: \(f(x) =4000\cdot 1,07^{x}\)

Aufgabe 1c.

Der Anfangsbestand beträgt 10.000 und wird jedes Jahr um 5 % kleiner.

Schritt 1: Anfangsbestand a und Wachstumsfaktor b bestimmen

a = 10.000 und b = \(1-\frac{5}{100}\) = 0,95, da es sich um einen prozentualen Zerfall handelt.

Schritt 2: Wachstumsfunktion angeben

Lösung: \(f(x) =10.000\cdot 0,95^{x}\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  3 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 2

Helge und Simone haben beide 2000 Euro von ihren Großeltern erhalten. Helge will sein Geld bei der Bank für 9 Jahre fest anlegen. Er erhält 3,5 % Zinsen pro Jahr. Simone erhält sogar 4 % Zinsen für 9 Jahre Laufzeit, aber ihr werden die Zinsen jährlich ausgezahlt.

Wer von beiden hat das bessere Angebot von seiner Bank erhalten?

Schritt 1: Vorüberlegung

Bei dieser Aufgabe musst du lineares und exponentielles Wachstum miteinander vergleichen. Die allgemeinen Funktionsgleichungen lauten:

  • \(f(x) = a\cdot b^x\) (Exponentielles Wachstum)
  • \(f(x) = a\cdot x + b\) (Lineares Wachstum)

Schritt 2: Funktionsgleichungen aufstellen und Werte einsetzen

Helge: Exponentielles Wachstum mit a = 2000 (Anfangsbestand), b = \(1 + \frac{3,5}{100} =1,035\) (Wachstumsfaktor) und x = 9 (Anzahl der Jahre).

\(f(9) = 2000\cdot 1,035^9 = 2725,79 \Rightarrow\) Helge erhält nach 9 Jahren 2725, 79 Euro.

Simone: Lineares Wachstum mit a = 2000 (Anfangsbestand), b = \(2000\cdot \frac{4}{100} =80\) (jährlich ausgezahlte Zinsen) und x = 9 (Anzahl der Jahre).

\(f(9) = 9\cdot 80 + 2000 = 2720 \Rightarrow\) Simone hat nach 9 Jahren insgesamt 2720 Euro erhalten.

Schritt 3: Antwortsatz

Obwohl Simone mehr Zinsen pro Jahr erhält, hat sie nach 9 Jahren etwas weniger Geld als Helge. Dennoch kann man sagen, dass die beiden Angebote ungefähr gleich gut sind.

  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 3

Gegeben sei die Funktion f mit \(f(x) = 3^{x}\).

  1. Zeichne den Graphen der Funktion f mithilfe einer Wertetabelle in ein Koordinatensystem ein.
  2. Skizziere in dasselbe Koordinatensystem die Graphen zu \(g(x) = \log_{3}{(x)}\) und \(h(x) =\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\). Erläutere die Lage der drei Graphen f, g, h zueinander.

Aufgabe 3a.

Zeichne den Graphen der Funktion f mithilfe einer Wertetabelle in ein Koordinatensystem ein.

Schritt 1: Wertetabelle erstellen

Wähle die x-Werte so, dass du die Funktion anschließend gut zeichnen kannst. Du solltest Werte zwischen –3 und +3 benutzen, da die Funktionswerte ansonsten zu groß oder zu klein werden und du sie dann nicht in das Koordinatensystem einzeichnen kannst. Setze die x-Werte jeweils in die Funktionsgleichung ein und berechne so die y-Werte.

Beispiel: \(f(1) = 3^{1} = 3\)

x –3 –2 –1 0 +1 +2 +3
y 0,04 0,1 0,3 1 3 9 27

Schritt 2: Funktionsgraphen zeichnen

Wähle für die Koordinatenachsen 1 cm (2 Kästchen in deinem Heft) pro Einheit. Beschrifte die Koordinatenachsen.Übertrage die Punkte aus der Wertetabelle möglichst genau und verbinde die Punkte sinnvoll.

Exponentielles Wachstum (1) - Abbildung 1

Aufgabe 3b.

Skizziere in dasselbe Koordinatensystem die Graphen zu \(g(x) = \log_{3}{(x)}\) und \(h(x) =\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\). Erläutere die Lage der drei Graphen f, g, h zueinander.

Schritt 1: Lage der Graphen bestimmen

Der Graph der Funktion \(g(x) = \log_{3}{(x)}\) entsteht durch die Spiegelung des Graphen der Funktion \(f(x) = 3^{x}\) an der Winkelhalbierenden im I. Quadranten des Koordinatensystems.

Der Graph der Funktion \(h(x) =\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) entsteht durch die Spiegelung des Graphens der Funktion \(f(x) = 3^{x}\) an der y-Achse.

Schritt 2: Graphen zeichnen

Exponentielles Wachstum (1) - Abbildung 2

  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  12 Minuten
  • Punkte:  8

Aufgabe 4

Ein See wird von drei Instituten auf Algenbefall untersucht. Die Ausbreitung der Algen wird mit folgenden Funktionen beschrieben:

  • Institut I: \(f(x) = 5· 1,3^x\)
  • Institut II: \(f(x) = 5,01· 1,3^x\)
  • Institut III: \(f(x) = 5· 1,31^x\)

Der Landrat äußert sich: „Die Ergebnisse von allen drei Instituten stimmen überein.“

Der Umweltbeauftragte stellt dagegen fest: „Das Ergebnis eines Institutes weicht deutlich von den anderen ab.“

  1. Bestimme das Institut, welches wohl von dem Umweltbeauftragten gemeint war.
  2. Nimm kurz zu den Aussagen des Landrates und des Umweltbeauftragten Stellung.

Aufgabe 4a.

Bestimme das Institut, welches wohl von dem Umweltbeauftragten gemeint war.

Schritt 1: Funktionen vergleichen

Setze große Werte ein, damit du Unterschiede entdecken kannst.

  • Institut I: f(50) = 5 · 1,350 = 2.489.646
  • Institut II: f(50) = 5,01 · 1,350 = 2.494.625
  • Institut III: f(50) = 5 · 1,3150 = 3.652.033

Schritt 2: Ergebnisse interpretieren

Bei großen Werten sieht man, dass die Zahlen des Institutes III von den anderen beiden Instituten abweichen.

Antwortsatz: Das Ergebnis von Institut III weicht ab.

Aufgabe 4b.

Nimm kurz zu den Aussagen des Landrates und des Umweltbeauftragten Stellung.

Schritt 1: Funktionsterme vergleichen

Die drei Funktionsterme unterscheiden sich nur geringfügig.Eine Abweichung im Anfangsbestand hat nur eine sehr geringe Veränderung der Funktionswerte zur Folge. Eine Abweichung im Wachstumsfaktor führt dagegen zu großen Veränderungen.

Schritt 2: Interpretation/Antwortsatz

Antwortsatz: Der Landrat hat nicht recht. Auch wenn die Funktionsterme sehr ähnlich sind, hat die Ungenauigkeit im Wachstumsfaktor des Institutes III große Auswirkungen. Das liegt daran, dass Exponentialfunktionen erst langsam wachsen, dann aber sehr schnell.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 5

Ralf ist fast 18 Jahre alt und hat sich fest vorgenommen, dass er sich mit 30 Jahren ein schickes Auto für mindestens 25.000 Euro kaufen will. Er plant sein Geburtstagsgeld und Abigeld auf ein Konto einzuzahlen und dann bis zu seinem 30. Geburtstag zu warten. Wie viel Geld muss Ralf an seinem 18. Geburtstag bei der Bank einzahlen, wenn er eine jährliche Verzinsung von 3,5 % von seiner Bank erhält, damit es tatsächlich 25.000 Euro werden?

Schritt 1: Angaben in der Textaufgabe ordnen

Gegeben:

  • Exponentielles Wachstum mit der allgemeinen Funktionsgleichung \(f(x) = a\cdot b^{x}\).
  • \(b = 1+\frac{3,5}{100}= 1,035\)
  • \(x = 12\), da Ralf vom 18. Geburtstag bis zum 30. Geburtstag sparen will.
  • \(y = 25.000\)

Gesucht:

  • Anfangsbestand a

Schritt 2: Anfangsbestand bestimmen

Setze alle Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein:

\(f(x) = a\cdot b^{x}\)\(25.000 = a\cdot 1,035^{12}\)\(a = \frac{25.000}{1,035^{12}} = 16.544,58\)

Schritt 3: Antwortsatz

Ralf muss mindestens 16.544,58 Euro auf das Konto einzahlen, damit er an seinem 30. Geburtstag 25.000 Euro erhält.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 6

Löse die folgenden Exponentialgleichungen.

  1.  \(2^{x\ +\ 1} = 8\)
  2.  \(9^{2x} = 4·3^x\)
  3. \( 0,5^{x^2} = 0,5^{-x}\)

Aufgabe 6a.

\(2^{x\ +\ 1} = 8\)

Schritt 1: Terme vereinfachen

Du musst das Potenzgesetz \(a^n \cdot a^m = a^{n\ +\ m}\) anwenden.

\(2^{x\ +\ 1}= 8 \Leftrightarrow 2^{x}\cdot 2^1 = 8 \).

Schritt 2: Lösung bestimmen mithilfe der Logarithmengesetze

Um die Lösung bestimmen zu können, musst du das Logarithmengesetz \(\log_{b}{a^{x}}=x\cdot log_{b}{a} \) anwenden.

\(2^{x}\cdot 2^1 = 8 \Leftrightarrow 2^x = 4 \Leftrightarrow \log_{2}{2^{x}}=\log_{2}{4} \Leftrightarrow x\cdot log_{2}{2}=\log_{2}{4} \Leftrightarrow x = 2\)

Lösung: \(x = 2\)

Aufgabe 6b.

\(9^{2x} = 4·3^x\)

Schritt 1: Terme vereinfachen

Du musst die Potenzgesetze \(a^{n\ \cdot\ m} = \left(a^{n}\right)^{ m}\) und \(\frac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\frac{a}{b}\right)^n\) anwenden.

\(9^{2\ \cdot\ x} = 4\cdot 3^{x}\Leftrightarrow \left(9^{2}\right)^{ x} = 4\cdot3^x\Leftrightarrow81^{x}=4\cdot 3^x\)\(\Leftrightarrow\frac{81^{x}}{3^x} =4 \Leftrightarrow\ 27^x = 4\)

Schritt 2: Lösung bestimmen mithilfe der Logarithmengesetze

Um die Lösung bestimmen zu können, musst du das Logarithmengesetz \(\log_{b}{a^{x}}=x\cdot log_{b}{a} \) anwenden:

\(27^x = 4 \Leftrightarrow\log_{27}{27^{x}}=\log_{27}{4} \Leftrightarrow x\cdot log_{27}{27}=\log_{27}{4} \Leftrightarrow \)\(x =\frac{\lg{4}}{\lg{}27} = 0,42\)

Lösung: \(x = 0,42\)

Aufgabe 6c.

\(0,5^{x^2} = 0,5^{-x}\)

Schritt 1: Logarithmengesetze anwenden

Um die Lösung bestimmen zu können, musst du diesmal zuerst das Logarithmengesetz \(\log_{b}{a^{x}}=x\cdot log_{b}{a} \) anwenden.

\(0,5^{ x^2} = 0,5^{-x}\Leftrightarrow x^{ 2} = - x\)

Schritt 2: Lösung einer quadratischen Gleichung bestimmen

\(x^2 = -x \Leftrightarrow x^2 + x = 0\) ist eine quadratische Gleichung.

Du kannst die Lösung mit der Lösungsformel (p-q-Formel) bestimmen. Schneller geht es durch Ausklammern.

\(x^2 + x = 0 \Leftrightarrow x(x+1) = 0\) \( \Rightarrow x_{1} = 0 \) und \(( x_{2} + 1) = 0 \Rightarrow x_{2} = -1 \).

Lösung: \(x_1 = 0;\ x_2 = -1\)

  • Schwierigkeitsgrad:  2 3
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  6
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