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Exponentialfunktion und Logarithmus (2)


Aufgabe 1

Bestimme ohne Taschenrechner.

  1. \(\log_{2}{(1024)}\)
  2. \(\log_{3}{(3^4)}\)
  3. \(\log_{2}{(\sqrt[3]{16})}\)
  4. \(\log_{2}{(14)} + \log_{2}{(6)} - \log_{2}{(\frac{21}{4})}\)

Lösung

a. \(\log_{2}{(1024)} =\) \(\log_{2}{2^{10}} = 10\cdot \log_{2}{2} =10 \cdot 1 =10\)

b. \(\log_{3}{3^{4}} = 4\cdot \log_{3}{3} =4 \cdot 1 =4\)

c. \(\log_{2}{(\sqrt[3]{16})} = \log_{2}{(16^{\frac{1}{3}})} = \log_{2}{((2^4)^{\frac{1}{3}})} = \log_{2}{(2^{\frac{4}{3}})}\) \( = \frac{4}{3}\log_{2}{2} = \frac{4}{3}\cdot 1 =\frac {4}{3}\)

d. \(\log_{2}{(14)} + \log_{2}{(6)} - \log_{2}{(\frac{21}{4})}\)

    = \(\log_{2}{(14 \cdot 6)} - \log_{2}{(\frac{21}{4})} =\) \(\log_{2}{(14 \cdot 6:\frac{21}{4})}\)

    = \(\log_{2}{(16)} = \) \(\log_{2}{(2^4)} =\) \(4 \cdot\log_{2}{(2)} =4\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  8

Aufgabe 2

Gib für die folgenden Funktionen den Anfangsbestand a, den Wachstumsfaktor b sowie die prozentuale Wachstumsrate an.

  1. \(f(x) = 2^x\)
  2. \(f(x) = 5400\cdot 1,07^x\)
  3. \(f(x) = 2\cdot10^6\cdot0,83^x\)

Lösung

  1. \(a = 1\) und \(b = 2\). Das bedeutet ein Wachstum von 100 % (Verdopplung).
  2. \(a = 5400\) und \(b=1,07=1 + \frac{7}{100}\). Das bedeutet ein Wachstum von 7 %.
  3. \(a = 2.000.000\) und \(b=0,83=1 - \frac{17}{100}\). Das bedeutet ein negatives Wachstum (Zerfall bzw. Abnahme) von 17 %.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 3

Bestimme die Funktionsgleichung der Funktion f, deren Graph durch die Punkte A(1|4) und B(3|16) verläuft, für den Fall, dass es sich bei der Funktion f um eine Exponentialfunktion handelt.

Lösung

I)  A(1|4):    \(4 = a\cdot b^{1}\)

II) B(3|16): \(16 = a\cdot b^{3}\)

\(4 = a\cdot b^{1}\) ⇔ \(a=\frac{4}{b}\) in die Gleichung II) einsetzen:

\(16 = a\cdot b^{3}\) ⇔ \(16 =\frac{4}{b}\cdot b^{3}\) ⇔ \(16 = 4\cdot b^{2}\) ⇔ \(4 = b^{2}\) ⇒ \(b = 2\)

\(a=\frac{4}{b}\) ⇒ \(a=\frac{4}{2} = 2\)

Lösung: \(f(x) = 2\cdot 2^{x}\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 4

In einer Kleinstadt hat man in drei aufeinanderfolgenden Jahren den Bestand an Wildschweinen gezählt.

  • 2010 waren es 3006 Tiere,

  • 2011 waren es 3313 Tiere,

  • 2012 waren es 3625 Tiere.

Die Stadtverwaltung möchte die Vermehrung der Tiere vorhersagen, da Wildschweine in den Grünanlagen der Stadt jedes Jahr schwere Schäden verursachen. Der Bürgermeister geht von einem Anstieg um 300 Wildschweine pro Jahr aus. Der Förster geht dagegen von einem jährlichen Anstieg des Wildschweinbestandes von 10 % aus.

  1. Gib die Funktionsgleichungen der zugehörigen Wachstumsfunktionen je nach Berechnungsansatz (Bürgermeister, Förster) an.
  2. Wie groß ist der Unterschied zwischen den Vorhersagen des Bürgermeisters und des Försters für das Jahr 2020?

Lösung

a.

Lineares Wachstum: \(f(x) = a +b \cdot x \)

Exponentielles Wachstum: \(f(x) = a \cdot b^x\)

Bürgermeister: lineares Wachstum mit \(a = 3006\) (Anfangsbestand) und \(b = 300\) (jährlicher Zuwachs)
\(\Rightarrow f(x) = 3006 +300 \cdot x \)

Förster: exponentielles Wachstum mit \(a = 3006\) (Anfangsbestand) und \(b=1 + \frac{10}{100} = 1,1\)
\(\Rightarrow f(x) = 3006 \cdot 1,1^x\)

b.

Die Zeitspanne von 2010 (Beobachtungsbeginn) bis 2020 beträgt 10 Jahre (\(x = 10\)).

Bürgermeister: \(f(10) = 3006 +300 \cdot 10 = 6006 \)

Förster: \(f(x) = 3006 \cdot 1,1^{10} = 7796,79 \approx7797\)

Der absolute Unterschied ergibt sich aus der Differenz der beiden Vorhersagen:
\(7797 - 6006 = 1791\)

Du kannst aber auch den prozentualen Unterschied angeben (Grundwert: 6006):
\(\frac{1791\ \cdot\ 100}{6006} =29,82\ \%\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 5

Ein Wissenschaftler beobachtet die Vermehrung von Einzellern. Er dokumentiert seine Beobachtungen täglich in folgendem Protokoll:

Tag

0

1

2

Anzahl

300

420

590

  1. Bestimme die Wachstumsfunktion.
  2. Wie lange dauert es, bis der Anfangsbestand auf 1000 angestiegen ist?

Lösung

a.

\(590 - 420 = 170\) und \(420 - 300 = 120\)
\(\Rightarrow\) Es liegt kein lineares Wachstum vor.

\(590 : 420 = 1,4\) und \(420 : 300 = 1,4\)
\(\Rightarrow\) Es liegt exponentielles Wachstum mit dem Wachstumsfaktor \(b=1,4\) vor.

Tag 0: 300 Einzeller \(\Rightarrow a=300\)

Lösung: \(f(x)= 300 \cdot 1,4^{x}\)

b.

\(1000= 300 \cdot 1,4^{x} \Leftrightarrow 3,33=1,4^{x} \Rightarrow x =3,58\)

Nach ca. 3 Tagen und 14 Stunden ist der Bestand auf 1000 Einzeller angewachsen.

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 6

Löse die Exponentialgleichung \(2^{2x}-3 \cdot2^{x}=-16+7 \cdot2^{x}\).

Lösung

\(2^{2x}-3 \cdot2^{x}=-16+7 \cdot2^{x}\)

\(\Leftrightarrow (2^{x})^{2}-10 \cdot2^{x}+16=0\)

\(\Leftrightarrow z^{2}-10 \cdot z+16=0\)

\(\Rightarrow z_1 = 8;\ z_2 = 2\)

\(\Rightarrow 2^{x}=8 \Rightarrow x_1=3\)

und 

\( 2^{x}=2 \Rightarrow x_2=1\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  3
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