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Exponentialfunktion und Logarithmus (1)


Aufgabe 1

Stelle jeweils die zugehörige exponentielle Wachstumsfunktion \(f(x) = a·b^x\) auf.

  1. Der Anfangsbestand beträgt 15 und verdreifacht sich jedes Jahr.
  2. Der Anfangsbestand beträgt 500 und wächst jedes Jahr um 9 %.
  3. Der Anfangsbestand beträgt 6000 und wird jedes Jahr um 3 % kleiner.

Lösung

  1. \(a = 15\) und \(b = 3\) \(\Rightarrow f(x)=15 \cdot 3^{x}\)
  2. \(a = 500\) und \(b=1+\frac{9}{100}=1,09\) \(\Rightarrow f(x)=500 \cdot 1,09^{x}\)
  3. \(a = 6000\) und \(b=1-\frac{3}{100}=0,97\) \(\Rightarrow f(x)=6000 \cdot 0,97^{x}\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 2

Gegeben sei die Funktion f mit \(f(x) = 3^{x}\).

  1. Zeichne den Graphen der Funktion f mithilfe einer Wertetabelle in ein Koordinatensystem ein.
  2. Skizziere in dasselbe Koordinatensystem die Graphen zu \(g(x) = 2^{x}\) und \(h(x) =\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\), ohne eine Wertetabelle zu erstellen. Erläutere die Lage der drei Graphen f, g, h zueinander.

Lösung

a.

x −3 −2 −1 0 1 2 3
y 0,04 0,1 0,3 0 3 9 27

Exponentialfunktion und Logarithmus (1) - Abbildung 1

b.

Der Graph der Funktion \(g(x) =2^{x}\) verläuft für negative x-Werte oberhalb des Graphen der Funktion \(f(x) = 3^{x}\) und für positive x-Werte unterhalb von \(f(x) = 3^{x}\).

Der Graph der Funktion \(h(x) =\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) entsteht durch die Spiegelung des Graphen der Funktion \(f(x) = 3^{x}\) an der y-Achse.

Exponentialfunktion und Logarithmus (1) - Abbildung 2

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  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  13 Minuten
  • Punkte:  9

Aufgabe 3

Andrea und Peter haben beide 5000 Euro von ihren Großeltern erhalten. Andrea will ihr Geld bei der Bank für 7 Jahre fest anlegen. Sie erhält 2,9 % Zinsen pro Jahr. Peter erhält sogar 3 % Zinsen für 7 Jahre Laufzeit, aber ihm werden die Zinsen jährlich ausgezahlt.

Wer von beiden hat das bessere Angebot von seiner Bank erhalten?

Lösung

Andrea:

 \(f(x) = a\cdot b^x\) (exponentielles Wachstum) 

\(a = 5000\) (Anfangsbestand)

\(b=1 + \frac{2,9}{100} =1,029\) (Wachstumsfaktor)

\(x = 7\) (Anzahl der Jahre)

\(f(7) = 5000\cdot 1,029^7 = 6107,70\)

Andrea erhält nach 7 Jahren 6107,70 Euro.

Peter:

 \(f(x) = a\cdot x + b\)  (lineares Wachstum) 

\(a = 5000\) (Anfangsbestand)

\(b=5000\cdot \frac{3}{100} =150\) (jährlich ausgezahlte Zinsen)

\(x = 7\) (Anzahl der Jahre)

 \(f(7) = 7\cdot 150 + 5000 = 6050\)

Peter hat nach 7 Jahren insgesamt 6050 Euro erhalten.

Obwohl Peter mehr Zinsen pro Jahr erhält, hat er nach 7 Jahren etwas weniger Geld als Andrea. Dennoch kann man sagen, dass die beiden Angebote ungefähr gleich gut sind.

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  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 4

Löse die folgenden Exponentialgleichungen, indem du die Exponentialgleichung in die Logarithmusschreibweise überführst.

  1.  \(2^{x\ +\ 1} = 8\)
  2.  \(9^{2x} = 4·3^x\)

Lösung

  1. \(2^{x\ +\ 1}= 8 \Leftrightarrow 2^{x}\cdot 2^1 = 8 \) \(\Leftrightarrow 2^x = 4 \Leftrightarrow x=\log_{2}{4} \Leftrightarrow x = 2\)
  2. \(9^{2\ \cdot\ x} = 4\cdot 3^{x}\Leftrightarrow \left(9^{2}\right)^{ x} = 4\cdot3^x\Leftrightarrow81^{x}=4\cdot 3^x\)\(\Leftrightarrow\frac{81^{x}}{3^x} =4 \Leftrightarrow\ 27^x = 4\) \(\Leftrightarrow x=\log_{27}{4} \Leftrightarrow \) \(x =\frac{\lg{4}}{\lg{}27} \approx 0,42\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 5

Bestimme die Basis folgender Logarithmen:

  1. \(log_a 2187=7\)
  2. \(log_b91,125=3\)

Lösung

  1. \(log_a 2187=7\Leftrightarrow a^{7}=2187\Rightarrow a=3\)
  2. \(log_b91,125=3 \Leftrightarrow b^{3}=91,125 \Rightarrow b= 4,5\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 6

Bestimme die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion, die gegenüber der folgenden Funktion um 2 Einheiten auf der y-Achse nach oben verschoben ist.

Exponentialfunktion und Logarithmus (1) - Abbildung 3

Lösung

Die Funktion, die du siehst, verläuft durch A(0|−2) und B(1|−3).

\(\Rightarrow -2= a \cdot b^{0}\)

\(\Rightarrow -3= a \cdot b^{1}\)

\(\Rightarrow f(x)= -2 \cdot 1,5^{x}\)

Die gesuchte Funktion ist noch um 2 Einheiten auf der y-Achse nach oben verschoben:
\(\Rightarrow f(x)= -2 \cdot 1,5^{x} + 2\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  3
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