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Dreieckskonstruktionen (4)


Aufgabe 1

Von einem Haus soll eine möglichst kurze Zufahrtsstraße zu der Landstraße führen, die in der Nähe des Hauses verläuft. Konstruiere die Lage der Zufahrtsstraße in unten stehendem Kartenausschnitt.

Dreieckskonstruktionen (4) - Abbildung 1

Lösung

Um die Lage der Zufahrtsstraße zu konstruieren, musst du das Lot vom Haus auf die Zufahrtsstraße fällen.

Dreieckskonstruktionen (4) - Abbildung 2

Du weißt nicht mehr, wie das geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 2

Finde in jedem der gegebenen Vierecke Paare kongruenter Dreiecke. Begründe jeweils mit dem passenden Kongruenzsatz.

Dreieckskonstruktionen (4) - Abbildung 3Dreieckskonstruktionen (4) - Abbildung 4Dreieckskonstruktionen (4) - Abbildung 5

Lösung

Die erste Figur ist ein Rechteck. Bei einem Rechteck sind gegenüberliegende Seiten gleich lang, deshalb gilt: \(\overline{AB}=\overline{DC}\) und \(\overline{AD}=\overline{BC}\). Außerdem halbieren sich die Diagonalen. Somit ist \(\overline{AS}=\overline{SC}\) und \(\overline{DS}=\overline{SB}\). Somit sind die Dreiecke ASD und SBC kongruent, da sie in drei Seiten übereinstimmen (SSS). Das Gleiche gilt für die Dreiecke ABS und DSC. Da im Rechteck alle Innenwinkel 90° groß sind, sind außerdem die Dreiecke ABD und ABC kongruent. Sie stimmen in zwei Seiten und dem Zwischenwinkel überein (SWS). Gleiches gilt für die Dreiecke ACD und DBC.

Die zweite Figur ist ein gleichschenkliges Trapez, deshalb sind die Schenkel [AD] und [BC] gleich lang. Gleichschenklige Trapeze sind achsensymmetrisch. Die Strecken [AS] und [BS] und die Winkel \(\sphericalangle SAD\) und \(\sphericalangle CBS\) sind zueinander symmetrisch und damit gleich groß. Damit stimmen die Dreiecke ASD und SBC in zwei Seiten und dem Zwischenwinkel überein (SWS) und sind deshalb kongruent. Aus Symmetriegründen sind auch die Seiten [AC] und [DB] gleich lang. Damit sind die Dreiecke ABD und ABC kongruent. Das Gleiche gilt für die Dreiecke ACD und DBC.

Die dritte Figur ist ein Drachen. Auch Drachen sind achsensymmetrisch. Außerdem stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander. Die Strecken DS und SB sind symmetrisch zueinander und damit gleich lang. Deshalb sind die Dreiecke DSC und SBC kongruent (SWS), genauso wie die Dreiecke DAS und ABS (SWS). Da \(\overline{DC}=\overline{CB}\) und \(\overline{AD}=\overline{AB}\), sind auch die Dreiecke ACD und ABC kongruent (SSS).

Du weißt nicht mehr, wie das geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  11 Minuten
  • Punkte:  9

Aufgabe 3

Konstruiere ein Dreieck ABC mit \(a=4,7\ cm\), \(c=8,5\ cm\) und \(\gamma=110^°\). Fertige dafür zuerst eine Planfigur und einen Konstruktionsplan an.

Lösung

1. Planfigur

Dreieckskonstruktionen (4) - Abbildung 6

2. Konstruktionsplan

  1. Ich zeichne die gegebene Strecke a mit den Eckpunkten B und C.
  2. Ich zeichne den freien Schenkel bei C mit \(\gamma=110^°\). Auf diesem Schenkel muss mein Punkt A liegen.
  3. Ich zeichne einen Kreis um B mit Radius 8,5 cm. Auch auf ihm muss A liegen.
  4. Ich zeichne beim Schnittpunkt den Punkt A ein.

3. Konstruktion

Dreieckskonstruktionen (4) - Abbildung 7

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  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  8

Aufgabe 4

Bestimme die Winkel \(\alpha\)\(\beta\), \(\gamma\) und \(\delta\).

Dreieckskonstruktionen (4) - Abbildung 8

Lösung

Da C auf dem Thaleskreis um M liegt, ist \(\gamma=90^°\).

Da \(\sphericalangle MGB=90^°\), ist \(\delta=180^°-90^°-32^°=58^°\).

Da \(\sphericalangle EMA=180^°-58^°=122^°\) gilt und das Dreieck AME gleichschenklig ist, gilt:

\(2\alpha+122^°=180^°\) und damit:

\(\alpha=29^°\)

Da \(\sphericalangle DEG=\alpha\), ist \(\sphericalangle GDE=180^°-90^°-29^°=61^°\).

\(\beta\) ist der Scheitelwinkel zu \(\sphericalangle GDE\), also auch 61° groß.

Du weißt nicht mehr, wie das geht? Dann schau hier und hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  9 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 5

Beweise bzw. widerlege folgende Aussage:

Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und dem Umkreisradius übereinstimmen, sind kongruent.

Lösung

Die Aussage stimmt nicht. Am einfachsten kann man sie durch ein Gegenbeispiel widerlegen. Man zeichnet in einem Kreis eine Sehne, in diesem Fall [AC], und zeichnet um den Endpunkt C einen Kreis, der den ursprünglichen Kreis in zwei Punkten schneidet, hier in den Punkten B und D. Damit haben die Dreiecke ABC und ACD zwei gleich lange Seiten. Die Seite AC haben beide gemeinsam und die Seiten BC und DC sind gleich. Sie haben auch denselben Umkreis und damit den gleichen Umkreisradius. Die beiden Dreiecke sind aber offensichtlich nicht kongruent, da Dreieck ACD deutlich kleiner als Dreieck ABC ist.

Dreieckskonstruktionen (4) - Abbildung 9

  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  9 Minuten
  • Punkte:  3
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