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Dreieckskonstruktionen (2)


Aufgabe 1

Konstruiere ein beim Punkt C rechtwinkliges Dreieck ABC mit \(c=7\ cm\) und \(\alpha=55^°\).

Lösung

Dreieckskonstruktionen (2) - Abbildung 1

Du weißt nicht mehr, wie das geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 2

Die Dörfer Niederkirchen, Bergheim und Oberdorf wollen eine Schule bauen. Sie soll so gelegen sein, dass sie von allen Orten gleich weit entfernt ist. Bestimme die Lage der Schule mithilfe einer Konstruktion.

Dreieckskonstruktionen (2) - Abbildung 2

Lösung

Zuerst verbindest du die drei Punkte zu einem Dreieck. Die Schule liegt dann dort, wo sich die Mittelsenkrechten schneiden, also beim Mittelpunkt des Umkreises. Da sich alle Mittelsenkrechten in einem Punkt schneiden, reicht es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren.

Dreieckskonstruktionen (2) - Abbildung 3

Du weißt nicht mehr, wie das geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  9 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 3

Begründe, ob man mit folgenden Angaben entscheiden kann, ob die Dreiecke ABC und A'B'C' kongruent sind.

a) \(a=3\ cm\)     \(b=5\ cm\)     \(c=6\ cm\)

   \(a'=5\ cm\)    \(b'=6\ cm\)     \(c'=3\ cm\)

b) \(a=4\ cm\)     \(\beta=40^°\)     \(\gamma=50^°\)

   \(b'=4\ cm\)    \(\alpha=50^°\)     \(\gamma=40^°\)

c) \(a=7\ cm\)     \(b=5\ cm\)     \(\beta=50^°\)

   \(c'=7\ cm\)    \(b'=5\ cm\)     \(\beta=50^°\)

Lösung

a) Bei beiden Dreiecken sind alle drei Seiten gleich lang (SSS), deshalb sind sie kongruent.

b) Beide Dreiecke stimmen in der Länge einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln überein (WSW), deshalb sind sie kongruent.

c) Beide Dreiecke haben zwei gleich lange Seiten und einen Winkel, der der kleineren Seite gegenüberliegt. Sie müssen nicht kongruent sein.

Du weißt nicht mehr, wie das geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 4

Berechne \(\beta\), wenn \(\gamma=72^°\).

Dreieckskonstruktionen (2) - Abbildung 4

Lösung

1. Finde gleichschenklige Dreiecke

Da die Strecken [AD] und [DC] Radien desselben Kreises sind, sind sie gleich lang. Deshalb ist das Dreieck ADC gleichschenklig. Da die Strecken [CD] und [CB] gleich lang sind, ist auch das Dreieck DBC gleichschenklig.

2. Stelle geeignete Gleichungen auf

Wegen der Winkelsumme im Dreieck gilt:

I.  \(\gamma=180^°-\alpha-\beta\)

Der Winkel \(\gamma\) setzt sich außerdem aus den Winkeln \(\sphericalangle DCA\) und \(\sphericalangle BCD\) zusammen. Für sie gilt:

\(\sphericalangle DCA=\alpha\)

\(\sphericalangle BCD=180^°-2\beta\)

Damit gilt für \(\gamma\):

II.  \(\gamma=\alpha+180^°-2\beta\)

Löse nach \(\beta\) auf.

Setzt man nun für \(\gamma\) 72° ein und löst die I. Gleichung auf, erhält man aus I.:

\(\alpha=108^°-\beta\)

Setzt man diese Gleichung in die II. ein, ergibt sich:

\(72^°=108^°-\beta+180^°-2\beta\)

Löst man diese Gleichung nach \(\beta\) auf, erhält man:

\(-216^°=-3\beta\) und damit:

\(\beta=72^°\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  12 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 5

Konstruiere mit Planfigur und Konstruktionsplan ein Parallelogramm mit \(a = 6\ cm\), \(e = 9\ cm\) und \(f = 5,8\ cm\).

Lösung

1. Planfigur

Dreieckskonstruktionen (2) - Abbildung 5

2. Konstruktionsplan

  1. Ich zeichne die gegebene Strecke a mit den Eckpunkten A und B.
  2. Ich zeichne einen Kreis um A mit Radius 4,5 cm, der halben Länge von e. Auf diesem Kreis muss der Schnittpunkt der Diagonale M liegen.
  3. Ich zeichne einen Kreis um B mit Radius 2,9 cm, der halben Länge von f. Auch auf diesem Kreis muss M liegen. M ist also der Schnittpunkt der beiden Kreise.
  4. Ich zeichne die Halbgerade [AM ein, auf der C liegt, und die Halbgerade [BM, auf der D liegt.
  5. Ich zeichne einen Kreis um A mit Radius 9 cm ein. Dort, wo er die Halbgerade [AM schneidet, liegt C.
  6. Ich zeichne einen Kreis um B mit Radius 5,8 cm ein. Dort, wo er die Halbgerade [BM schneidet, liegt D.
  7. Zum Schluss verbinde ich die Eckpunkte des Vierecks.

3. Konstruktion

Dreieckskonstruktionen (2) - Abbildung 6

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  12 Minuten
  • Punkte:  9
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