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Dreieckskonstruktionen (1)


Aufgabe 1

Konstruiere im unten stehenden Dreieck die Mittelsenkrechte \(m_{[AB]}\) und die Winkelhalbierende \(w_{\beta}\).

Dreieckskonstruktionen (1) - Abbildung 1

Lösung

Dreieckskonstruktionen (1) - Abbildung 2

 

Du weißt nicht mehr, wie das geht? Dann schau hier und hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 2

Konstruiere ein Dreieck ABC. Fertige dafür auch Planfigur und Konstruktionsplan an.

\(a=6\ cm\)

\(c=7\ cm\)

\(A_{Dreieck}=15,75\ cm^2\)

Lösung

1. Berechne die Höhe \(h_c\)

\(A_{Dreieck}=\frac{1}{2}c\cdot h_c\)

\(h_c=\frac{2A_{Dreieck}}{c}=\frac{2\ \cdot\ 15,75 \ cm^2}{7\ cm}=4,5\ cm\)

2. Planfigur

Dreieckskonstruktionen (1) - Abbildung 3

3. Konstruktionsplan

  1. Ich zeichne die gegebene Strecke c mit den Eckpunkten A und B.
  2. Ich zeichne einen Kreis um B mit Radius 6 cm. Auf diesem Kreis muss mein Punkt C liegen.
  3. Ich zeichne eine Parallele zu c im Abstand 4,5 cm. Auch auf ihr muss C liegen.
  4. Ich zeichne beim Schnittpunkt von Parallele und Kreis den Punkt C ein und verbinde ihn mit A.

4. Konstruktion

Dreieckskonstruktionen (1) - Abbildung 4

Du weißt nicht mehr, wie das geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  12 Minuten
  • Punkte:  9

Aufgabe 3

Im Bild ist M die Mitte von [BC]. Beweise: Die Höhen \(h_1\) und \(h_2\) sind gleich lang.

Dreieckskonstruktionen (1) - Abbildung 5

Lösung

Wir betrachten das Dreieck, das von der Seite CM, \(h_1\) und der Verbindung zum Fußpunkt der Höhe \(h_1\) gebildet wird, und das Dreieck, das von MB, \(h_2 \) und der Verbindung zum Fußpunkt der Höhe \(h_2 \) gebildet wird. Die beiden Dreiecke sind kongruent, da sie in zwei Winkeln und einer Seite übereinstimmen. Denn sie besitzen die gleich langen Seiten CM und MB, da M die Seite CB in zwei gleich lange Teilstrecken teilt. Außerdem sind die beiden bei M liegenden Winkel gleich groß, da sie Scheitelwinkel sind. Da die Höhen außerdem senkrecht auf ihren Grundseiten stehen, haben beide Dreiecke einen 90°-Winkel.

Da diese beiden Dreiecke kongruent sind, müssen entsprechende Seiten gleich lang sein. Deshalb sind die Höhen \(h_1\) und \(h_2 \) gleich lang.

  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  9 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 4

Konstruiere ein Dreieck ABC mit \(a = 8\ cm\), \(b = 11\ cm\) und \(c = 9,2\ cm\). Konstruiere den Inkreis.

Lösung

1. Konstruiere das Dreieck

Dreieckskonstruktionen (1) - Abbildung 6

Du weißt nicht mehr, wie das geht? Dann schau hier.

2. Konstruiere den Inkreis

Dreieckskonstruktionen (1) - Abbildung 7

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  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  11 Minuten
  • Punkte:  8

Aufgabe 5

Im unten stehenden Dreieck ABC ist \(\overline{AC}=\overline{BC}\) und \(\overline{AB}=\overline{DB}\). Außerdem halbiert DB den Innenwinkel \(\beta\). Berechne \(\alpha\)\(\beta\) und \(\gamma\).

 - Abbildung 1

Lösung

Da das Dreieck ABC gleichschenklig ist und die Basis AB besitzt, gilt: 

\(\alpha=\beta\)

Da auch das Dreieck ABD gleichschenklig mit Basis AD ist und DB den Winkel \(\beta\) halbiert, gilt dort:

\(2\alpha+\frac{1}{2}\beta=180^°\)

Mit der 1.Gleichung gilt dann:

\(2,5\alpha=180^°\), also:

\(\alpha=\beta=72^°\)

Damit ist \(\gamma=180^°-2\cdot72^°=36^°\).

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  6
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