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Bernoulli-Ketten und Binomialverteilung (GTR) (1)


Aufgabe 1

Bestimme die Binomialkoeffizienten \(\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\)\(\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\) und \(\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\).

Zeige, dass \(\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\).

Lösung

\(\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)=\frac{3!}{1!\ \cdot\ 2!}=3\)

\(\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)=\frac{6!}{4!\ \cdot\ 2!}=15\)

\(\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)=\frac{5!}{5!}=1\)

 

\(\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)=\frac{4!}{1!\cdot3!}=4\)

\(\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)=\frac{4!}{3!\ \cdot\ 1!}=4\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 2

Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit den Parametern \(n = 15\) und \(p = 0,2\).

a) \(P(X=4)\)

b) \(P(X\leq 4)\)

c) \(P(X\geq4)\)

Lösung

a) \(P(X=4)=0,1876\)

b) \(P(X\leq 4)= 0,8358\)

c) \(P(X\geq4)=1-P(X\leq3)=0,3518\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 3

In einer Urne liegen 3 schwarze und 3 weiße Kugeln. Es wird dreimal gezogen.

a) Wie muss man ziehen, damit das Zufallsexperiment einer Bernoulli-Kette entspricht?

b) Wie groß ist der Erwartungswert für die Anzahl der schwarzen Kugeln?

Lösung

a) Damit die Ziehungen unabhängig sind, muss mit Zurücklegen gezogen werden. Dann bleibt bei jedem Ziehen die Wahrscheinlichkeit gleich und es liegt eine Bernoulli-Kette vor.

b) Ist X die Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln, dann ist X binomialverteilt mit \(n = 3\) und \(p = 0,5\). Der Erwartungswert ergibt sich dann wie folgt:

\(E(x)=3\cdot0,5=1,5\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  10

Aufgabe 4

Eine Umfrage des Verlags hat ergeben, dass 15 % aller Befragten eine verlagseigene Zeitschrift abonniert haben.

Zur Kontrolle befragt ihr 20 beliebige Personen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von diesen 20 befragten Personen

a) höchstens 5 eine Zeitschrift des Verlags abonniert haben?

b) mindestens 3 eine Zeitschrift des Verlags lesen?

c) weniger als 3 oder mehr als 5 eine Zeitschrift des Verlags abonniert haben? 

Lösung

Zur Berechnung nehmen wir an, dass das Ereignis X die Anzahl der Befragten ist, die ein Abo besitzen.

Dann gilt: \(n = 20\) und \(p = 0,15\).

a) \(P(X\leq5)=0,9327\)

b) \(P(X\geq3)=1-P(X\leq2)=0,5951\)

c) \(P(X<3\ oder >5)) = P(X\leq2)+1-P(X\leq5)=0,4722\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2 3
  • Zeit:  15 Minuten
  • Punkte:  10

Aufgabe 5

Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt und hat die Parameter \(n\) für die Anzahl und \(p\) für die Wahrscheinlichkeit des Einzelereignisses.

Bestimme jeweils den Erwartungswert und die entsprechende Wahrscheinlichkeit.

a) \(n = 20\) und \(p = 0,3\)

b) \(n = 15\) und \(p = 0,4\)

c) \(n = 69\) und \(p = 0,9\)

Lösung

a) \(E(X)=20\cdot0,3=6\)     \(P(X=6)=0,1916\)

b) \(E(X)=15\cdot0,4=6\)     \(P(X=6)=0,2066\)

c) \(E(X)=69\cdot0,9=62,1\)     \(P(X=62)=0,1570\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  6
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