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Berechnungen am Kreis, Variante (2)


Aufgabe 1

Der große Zeiger einer Kirchturmuhr ist 3 Meter lang, der kleine Zeiger 2 Meter. Wie lang ist der Weg, den die Zeigerspitzen an einem Tag zusammen zurücklegen?

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst jeweils den Umfang des Kreises bestimmen, den die Zeigerspitze beschreibt. Benutze dazu die Umfangsformel \(U=2\pi r\). Der große Zeiger dreht sich am Tag 24-mal. Der kleine Zeiger dreht sich zwei Mal.

Schritt 2: Umfänge bestimmen

Großer Zeiger: \(U_{Großer Zeiger}=2\pi (3\text{ m})\approx18,85 \text{ m}\)

Kleiner Zeiger: \(U_{Kleiner Zeiger}=2\pi (2\text{ m})\approx12,57 \text{ m}\)

Schritt 3: Wegstrecke bestimmen

\(Strecke= 24 \cdot18,85 \text{ m}+2\cdot12,57 \text{ m}=477,54 \text{ m}\)

Schritt 4: Antwortsatz

Die Zeigerspitzen legen zusammen 477,54 m zurück.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 2

Berechne von den Größen \(A_{Kreisausschnitt}\) (Flächeninhalt eines Kreisausschnitts), \(b\) (Bogenlänge), \(r\) (Radius) und \(\alpha\) (Mittelpunktswinkel) jeweils die fehlenden Größen.

\(A_K\)   20 cm²  
\(b\)     5 m
\(r\) 5 cm   2 m
\(\alpha\) 30° 60°  

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst die Formel für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts \(A_K=\frac{\pi r^2}{360^°}\cdot \alpha\) und die Formel für den Kreisbogen \(b=\frac{\pi r}{180^°}\cdot \alpha\) verwenden. Wenn du zwei Größen in einer der beiden Formeln kennst, kannst du jeweils die dritte Größe berechnen.

Schritt 2: Größen bestimmen

Spalte 1

\(r = 5\text{ cm}\) und \(\alpha=30^°\) sind gegeben.

\(\Rightarrow\) \(A_K=\frac{\pi (5\text{ cm})^2}{360^°}\cdot 30^°\approx 6,54 \text{ cm}^2\) und \(b=\frac{\pi (5\text{ cm})}{180^°}\cdot 30^°\approx 2,62 \text{ cm}\)

Spalte 2

\(A_K=20\text{ cm}^2\) und \(\alpha=60^°\) sind gegeben.

\(\Rightarrow\) \(20 \text{ cm}^2=\frac{\pi r^2}{360^°}\cdot 60^° \Rightarrow r^2\approx 38,2 \text{ cm}^2 \Rightarrow r \approx6,18 \text{ cm}\) 

\(\Rightarrow\)  \(b=\frac{\pi (6,18\text{ cm})}{180^°}\cdot 60^°\approx 6,47 \text{ cm}\)

Spalte 3

\(b= 5\text{ m}\) und \(r= 2\text{ m}\) sind gegeben.

\(\Rightarrow\) \(5 \text{ m}=\frac{\pi (2\text{ m})}{180^°}\cdot \alpha \Rightarrow \alpha\approx 143,24^°\)

\(\Rightarrow\) \(A_K=\frac{\pi (2\text{ m})^2}{360^°}\cdot 143,24^°\approx 5,0 \text{ m}^2\)

Schritt 3: Tabelle ausfüllen

\(A_K\) 6,54 cm² 20 cm² 5,0 m²
\(b\) 2,62 cm 6,47 cm 5 m
\(r\) 5 cm 6,18 cm 2 m
\(\alpha\) 30° 60° 143,24°
  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 3

Zeige, dass die Flächeninhalte der dunklen Figur und des roten Kreises gleich groß sind.

Berechnungen am Kreis, Variante (2) - Abbildung 1

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst die Flächeninhalte berechnen und vergleichen. Benutze dazu die Flächeninhaltsformel \(A_{Kreis}= \pi r^2\). Die dunkle Figur besteht aus dem großen Halbkreis, aus dem die zwei kleinen Halbkreise ausgeschnitten sind, und aus dem mittelgroßen Halbkreis. Die Durchmesser der Halbkreise kannst du in der Skizze ablesen. Der Durchmesser des roten Kreises entspricht dem Radius des großen Halbkreises plus dem Radius des mittelgroßen Halbkreises.

Schritt 2: Flächeninhalt der dunklen Figur bestimmen

\(A_{Figur}=\frac{1}{2}\pi\cdot (4\text{ cm})^2-2\cdot\frac{1}{2}\pi\cdot (1\text{ cm})^2+\frac{1}{2}\pi\cdot (2\text{ cm})^2=9\pi \text{ cm}^2\)

Schritt 3: Flächeninhalt des roten Kreises bestimmen

Der Durchmesser ist 6 cm = 4 cm + 2 cm.

\(A_{Kreis}=\pi\cdot (3\text{ cm})^2 =9\pi \text{ cm}^2= A_{Figur}\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 4

  1. Berechne die Länge des Kreisbogens \(b\) für \(\alpha =65^°\) und \(r=1\).
  2. Für welchen Winkel ist der Kreisbogen des Kreissektors genauso lang wie der Radius \(r\) aus a)?
  3. Gib den Winkel auch im Bogenmaß an.

Berechnungen am Kreis, Variante (2) - Abbildung 2

Aufgabe 4a.

Berechne die Länge des Kreisbogens \(b\) für \(\alpha =65^°\) und \(r=1\).

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst die Formel für den Kreisbogen  \(b= \frac {\pi r}{180^°} \cdot \alpha\) verwenden.

Schritt 2: Kreisbogen bestimmen

\(b= \frac {65^°}{180^°} \cdot \pi=\frac{13}{36}\pi\approx 1,13 \)

Schritt 3: Antwortsatz

Für den Kreisbogen gilt \(\bf b\approx 1{,}13\).

Aufgabe 4b.

Für welchen Winkel ist der Kreisbogen des Kreissektors genauso lang wie der Radius \(r\) aus a)?

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst in der Formel \(b= \frac {\pi r}{180^°} \cdot \alpha\) für \(b=1\) einsetzen.

Schritt 2: Winkel \(\alpha\) bestimmen

\(\begin{align*} 1&= \frac{\alpha}{180^°} \cdot \pi \Longrightarrow \alpha = \frac {180^°}{\pi} \approx 57{,}3^° \end{align*}\)

Schritt 3: Antwortsatz

Für einen Winkel von ca. 57,3° ist der Kreisbogen \(b\) genauso groß wie der Radius des Kreises.

Aufgabe 4c.

Gib den Winkel auch im Bogenmaß an.

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst die Formel zur Umrechnung von Gradmaß in Bogenmaß anwenden. Die Umrechnungsformel lautet: \(\begin{align*} \alpha_{RAD}&= \pi \cdot \frac {\alpha}{180^°} \end{align*}\).

Schritt 2: Bogenmaß bestimmen

\(\begin{align}\alpha_{RAD}&= \pi\cdot\frac{\alpha}{180^°}\\&=\pi\cdot\frac{\frac{180^°}{\pi}}{180^°}\\&=1\end{align}\)

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 5

Ein Tischler muss eine Tischplatte anfertigen. Die Tischplatte entsteht durch eine Reihe von kreisrunden Schnitten. Die Mittelpunkte der zugehörigen Kreisbögen sind auf der Bauskizze markiert. Der Radius jedes Kreisbogens ist \(b\). Bestimme den Flächeninhalt des Tisches in Abhängigkeit von dem Kreisradius \(b\).

Berechnungen am Kreis, Variante (2) - Abbildung 3

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Tischplatte besteht aus 12 Quadraten, 4 Halbkreisen und 4 Restflächen (Quadrat minus Viertelkreis). Du musst in den Flächeninhaltsformeln den Radius durch \(b\) ersetzen. Auch die Kantenlänge im Quadrat ist \(b\).

Schritt 2: Flächeninhalt bestimmen

\(A = 12 \cdot b^2+4 \cdot\frac{1}{2} \pi b^2+4(b^2-\frac{1}{4} \pi b^2)\)

\(A = 16 b^2+ \pi b^2=(16+\pi)b^2\)

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 6

Aus einem \(60\) x \(71\) \( cm\) großen Blechbogen sollen so viele Kreise wie möglich mit je \(10\) \(cm \) Durchmesser ausgestanzt werden.

  1. Wie viele Kreise können ausgestanzt werden?
  2. Wie viel Abfall entsteht beim Ausstanzen der Kreise?

Aufgabe 6a.

Wie viele Kreise können ausgestanzt werden?

Schritt 1: Vorüberlegung

Berechnungen am Kreis, Variante (2) - Abbildung 4Variante 1

Berechnungen am Kreis, Variante (2) - Abbildung 5Variante 2

Wie die Skizzen zeigen, gibt es zwei Möglichkeiten, die Kreise anzuordnen. Bei Variante 2 hat jede zweite Reihe einen Kreis weniger, dafür gibt es aber eventuell eine Reihe mehr als bei Variante 1. Also musst du berechnen, wie viele Reihen es bei Variante 2 maximal gibt. Die Variante 1 ermöglicht das Ausstanzen von 6 x 7 = 42 Kreisen.

Schritt 2: Anordnung der Kreise bestimmen

Die Abstände der Reihen, auf denen die Kreismittelpunkte liegen, sind die Höhen der gleichseitigen Dreiecke mit der Seitenlänge 10 cm.

\(\begin{align} h&=\frac{a}{2}\sqrt{3} \\ &=5 \cdot \sqrt{3} \\ &\approx 8{,}66 \text{ cm} \end{align}\)

Die Höhe des Blechbogens ist 71 cm. Wenn Variante 2 die bessere Variante sein soll, dann müssen mindestens acht Reihen Platz haben, wobei bei der oberen Reihe die Kreismittelpunkte vom oberen Rand einen Abstand von mindestens 5 cm haben müssen. Also gilt für den Höhenbedarf des Blechbogens: \(h=5+7\cdot5\sqrt{3}+5\approx 70{,}62 \text{ cm}\). Die tatsächliche Höhe beträgt sogar 71 cm, also wählt man die Anordnung der Variante 2.

Schritt 3: Anzahl der Kreise bestimmen

Die Variante 2 ermöglicht das Ausstanzen von 4 x 6 + 4 x 5 = 44 Kreisen.

Schritt 4: Antwortsatz

Es können 44 Kreise ausgestanzt werden.

Aufgabe 6b.

Wie viel Abfall entsteht beim Ausstanzen der Kreise?

Schritt 1: Flächeninhalt der Kreise bestimmen

\(A=44 \cdot 5^2 \cdot \pi \approx 3455{,}75\,\text{cm}^2\)

Schritt 2: Abfall bestimmen

Der Blechbogen hat einen Flächeninhalt von \(60 \cdot 71 = 4260\,\text{cm}^2\).
Für den Verschnitt (\(v\)) gilt also:

\(v\approx4260 \text{ cm}^2-3455{,}75 \text{ cm}^2=804{,}25\,\text{cm}^2\)

Schritt 3: Antwortsatz

Es entstehen etwa \(804{,}25 \text{ cm}^2\) Abfall.

  • Schwierigkeitsgrad:  2 3
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  5
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