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Berechnungen am Körper (1)


Aufgabe 1

Ein Prisma hat eine Höhe von 12 cm. Die Grundfläche besteht aus einem rechtwinkligen Dreieck mit den Seitenlängen a = 15 cm, b = 20 cm, c = 25 cm.

  1. Skizziere das Netz des Prismas und trage alle Längenangaben ein.
  2. Berechne das Volumen des Prismas.
  3. Berechne den Flächeninhalt der Mantelfläche.
  4. Berechne den Flächeninhalt der Oberfläche.

Aufgabe 1a.

Skizziere das Netz des Prismas und trage alle Längenangaben ein.

Schritt 1: Vorüberlegung

Das Netz eines Körpers ist die Darstellung des aufgeklappten Körpers als Fläche. Stell dir vor, du schneidest das Prisma an geeigneten Kanten auf und legst es flach vor dich auf den Tisch. Das Netz ist nicht eindeutig, da man den Körper an verschiedenen Kanten aufschneiden kann.

Schritt 2: Netz skizzieren und Längen eintragen

Berechnungen am Körper (1) - Abbildung 1

Aufgabe 1b.

Berechne das Volumen des Prismas.

Schritt 1: Vorüberlegung

Das Volumen eines Prismas berechnest du mit der Formel \(V_{Prisma}= A_{G} \cdot h\). Dabei ist \(A_{G}\) die Grundfläche des Prismas und \(h\) die Höhe des Prismas.

Da die Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck ist, kannst du die Formel \(A_{Dreieck}= \frac{1}{2}ab\) verwenden.

Schritt 2: Volumen bestimmen

\(V_{Prisma}= A_{G} \cdot h=\frac{1}{2}ab \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 15\ cm \cdot20\ cm \cdot 12\ cm = 150\ cm^2 \cdot 12\ cm=1800\ cm^3\)

Aufgabe 1c.

Berechne den Flächeninhalt der Mantelfläche.

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Mantelfläche eines Prismas berechnest du mit der Formel \(A_{Mantel}= U \cdot h\). Dabei ist \(U\) der Umfang der Grundfläche und \(h\) die Höhe des Prismas.

Schritt 2: Mantelfläche berechnen

\(A_{Mantel}= U \cdot h =(15\ cm+20\ cm+25\ cm) \cdot 12\ cm= 60\ cm \cdot 12\ cm= 720\ cm^2\)

Aufgabe 1d.

Berechne den Flächeninhalt der Oberfläche.

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Mantelfläche und die Oberfläche unterscheiden sich nur geringfügig. Du musst zum Mantelflächeninhalt noch den Flächeninhalt der Grundfläche und den Flächeninhalt der Deckfläche des Prismas addieren.

Schritt 2: Oberfläche bestimmen

\(A_{Oberfläche}= A_{Mantel}+2 \cdot A_G = 720\ cm^2+2 \cdot150\ cm^2=1020\ cm^2\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  7

Aufgabe 2

Ein runder Swimmingpool ist 1,10 m hoch und hat einen Durchmesser von 3,60 m. Er soll bis 10 cm unter den Rand mit Wasser gefüllt werden.

  1. Skizziere ein Schrägbild des Swimmingpools und übertrage die Längenangaben.
  2. Wie viel Liter Wasser benötigt man?

Aufgabe 2a.

Skizziere ein Schrägbild des Swimmingpools und übertrage die Längenangaben.

Schritt 1: Skizze mit Längen erstellen

Berechnungen am Körper (1) - Abbildung 2

Aufgabe 2b.

Wie viel Liter Wasser benötigt man?

Schritt 1: Vorüberlegung

Das Volumen eines Zylinders kannst du mit der Formel \(V_{Zylinder}= A_{G} \cdot h\) bestimmen. Dabei ist \(A_G\) die Grundfläche und \(h\) die Höhe des Zylinders. Beachte, dass das Becken nur bis 1 Meter gefüllt wird. 1 Liter entspricht 1000 cm³!

Schritt 2: Volumen berechnen

\(V_{Zylinder}= A_{G} \cdot h=(\pi \cdot r^2) \cdot h=(\pi \cdot (180\ cm)^2) \cdot 100\ cm=10.178.760,2\ cm^3\)

Das sind ca.10.179 Liter.

Schritt 2: Antwortsatz

Man benötigt ca. 10.179 Liter Wasser, um das Becken bis 10 cm unter den Rand zu füllen.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 3

Ein Kreis rotiert um seinen Durchmesser. Der Radius des Kreises beträgt 15 cm.

  1. Wie groß ist das Volumen der Kugel?
  2. Wie groß ist die Oberfläche?

Aufgabe 3a.

Wie groß ist das Volumen der Kugel?

Schritt 1: Vorüberlegung

Ein Kreis, der um seinen Durchmesser rotiert, bildet eine Kugel. Das Volumen einer Kugel kannst du mit der Formel \(V_{Kugel}= \frac{4}{3} \cdot \pi r^3\) bestimmen.

Schritt 2: Volumen bestimmen

\(V_{Kugel}= \frac{4}{3} \cdot \pi r^3= \frac{4}{3} \pi \cdot (15\ cm)^3=14.137,17\ cm^3\)

Aufgabe 3b.

Wie groß ist die Oberfläche?

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Oberfläche einer Kugel kannst du mit der Formel \(V_{Kugel}= 4 \pi r^2\) bestimmen.

Schritt 2: Oberfläche bestimmen

\(V_{Kugel}= 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot(15\ cm)^2 = 2827,43\ cm^2\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 4

Frau Gärtner bepflanzt ihren Balkon. Sie muss dazu vier 60 cm lange Blumenkästen (prismenförmig) mit dem unten aufgezeichneten Querschnitt mit Blumenerde auffüllen.

  1. Berechne, wie viele Säcke Blumenerde zu je 20 Liter Inhalt Frau Gärtner kaufen muss.
  2. Berechne die Kosten für die Blumenerde, wenn ein Sack Blumenerde 2,99 Euro kostet.

Aufgabe 4a.

Berechne, wie viele Säcke Blumenerde zu je 20 Liter Inhalt Frau Gärtner kaufen muss.

Schritt 1: Vorüberlegung

Der Blumenkasten entspricht einem Prisma mit einem Trapez als Grundfläche. Du musst das Volumen des Prismas bestimmen und in Liter umrechnen. Das Volumen kannst du mit der Formel \(V_{Prisma}=A_G \cdot h\) berechnen. Den Flächeninhalt der Grundfläche bestimmst du mit der Formel \(A_{Trapez}= \frac{1}{2}(a+c) \cdot h_{Trapez}\). Ein Liter entspricht 1000 cm³!

Schritt 2: Volumen bestimmen

\(V_{Blumenkasten}=A_G \cdot h =( \frac{1}{2}(a+c) \cdot h_{Trapez}) \cdot h= ( \frac{1}{2}(25\ cm+30\ cm) \cdot 20\ cm) \cdot 60\ cm=33.000\ cm^3\)

Schritt 3: Anzahl der Säcke mit Blumenerde bestimmen

Das Volumen eines Blumenkastens entspricht 33 Litern. Da Frau Gärtner vier Blumenkästen füllen will, braucht sie \(4 \cdot 33\ l= 132\ l\) Blumenerde. Sie braucht also (\(132l : 20\ l=6,6\)) mindestens 7 Säcke mit Blumenerde.

Schritt 4: Antwortsatz

Frau Gärtner benötigt 7 Säcke mit Blumenerde, um alle Blumenkästen füllen zu können.

Aufgabe 4b.

Berechne die Kosten für die Blumenerde, wenn ein Sack Blumenerde 2,99 Euro kostet.

Schritt 1: Kosten berechnen

Da ein Sack Blumenerde 2,99 Euro kostet, muss man für 7 Säcke \(7 \cdot 2,99\ €=20,93\ €\) bezahlen.

Schritt 2: Antwortsatz

Frau Gärtner muss für die Blumenerde 20,93 Euro bezahlen.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 5

Die Oberfläche eines geraden Zylinders beträgt 24 dm². Die Höhe des Zylinders ist doppelt so groß wie der Radius der Grundfläche. Berechne den Radius und die Höhe.

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Oberfläche eines Zylinders kannst du mit der Formel \(A_{Oberfläche}= 2\pi r^2+2 \pi r h\) bestimmen. Da die Höhe des Zylinders doppelt so groß ist wie der Radius der Grundfläche, gilt: \(h=2r\). Du musst die Höhe \(h\) in der Oberflächenformel ersetzen und dann die Gleichung nach \(r\) auflösen.

Schritt 2: Radius und Höhe bestimmen

\(A_{Oberfläche}= 2\pi r^2+2 \pi r h\) \(\Rightarrow\) \(24\ dm^2= 2\pi r^2+2 \pi r (2r)=2\pi r^2+4 \pi r^2=6 \pi r^2\)

\(\Rightarrow \frac{24\ dm^2}{6 \pi}=r^2 \Rightarrow r^2=1,27\ dm^2 \Rightarrow r=1,13\ dm\)

\(\Rightarrow h=2 \cdot 1,13\ dm=2,26\ dm\)

Schritt 3: Antwortsatz

Der Radius der Grundfläche ist 1,13 dm lang. Die Höhe des Zylinders beträgt 2,26 dm.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 6

Bei einem Quader werden alle Kanten verdoppelt.

  1. Wie verändert sich das Volumen?
  2. Wie verändert sich die Oberfläche?

Aufgabe 6a.

Wie verändert sich das Volumen?

Schritt 1: Vorüberlegung

Ein Quader ist ein Prisma mit rechteckiger Grundfläche. Du kannst das Volumen mit der Formel \(V_{Quader}=A_G \cdot h= a \cdot b \cdot h\) berechnen.

Schritt 2: Veränderung bestimmen

\(a_2 =2a_1\),     \(b_2 =2b_1\),     \(h_2 =2h_1\)

\(V_{Quader1}= a_2 \cdot b_2 \cdot h_2=2a_1 \cdot 2b_1 \cdot 2h_1=2 \cdot2 \cdot 2\cdot a_1 b_1 h_1=8a_1 b_1 h_1=8 \cdot V_{Quader1}\)

Das Volumen verachtfacht sich.

Aufgabe 6b.

Wie verändert sich die Oberfläche?

Schritt 1: Vorüberlegung

Du kannst die Oberfläche eines Quaders mit der Formel \(A_{Oberfläche}=2A_G \cdot +U \cdot h=2ab+Uh=2ab +(2a+2b)h\) berechnen.

Schritt 2: Veränderung bestimmen

\(a_2 =2a_1\),     \(b_2 =2b_1\),     \(h_2 =2h_1\)

\(A_{Oberfläche2}= 2a_2b_2 +(2a_2+2b_2)h_2=2 \cdot 2a_1 \cdot 2b_1+(2 \cdot2a_1+2 \cdot2b_1) \cdot 2h_1=4(2a_1b_1) +2(2a_1+2b_1) \cdot 2h_1\)\(=4(2a_1b_1) +4(2a_1+2b_1) \cdot h_1=4 \cdot(2a_1b_1+(2a_1+2b_1)h_1)=4 \cdot A_{Oberfläche2}\)

Die Oberfläche vervierfacht sich.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 7

Ein rechtwinkliges Dreieck rotiert um eine Kathete. Sie ist 20 cm lang. Wie lang ist die zweite Kathete, wenn in den durch die Rotation entstandenen Körper genau 0,5 Liter Wasser passen sollen?

Schritt 1: Vorüberlegung

Wenn ein rechtwinkliges Dreieck um eine Kathete rotiert, entsteht ein Kegel. Die erste Kathete ist die Höhe des Kegels und die zweite Kathete ist der Radius des Kegels. Das Volumen eines Kegels kannst du mit der Formel \(V_{Kegel}= \frac{1}{3}A_G \cdot h\) bestimmen. Ein Liter entspricht 1000 cm³.

Schritt 2: Berechnung der zweiten Kathete

\(V_{Kegel}= \frac{1}{3}A_G \cdot h\)  \(\Rightarrow\) \(500\ cm^3= \frac{1}{3}A_G \cdot h=\frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot h =\frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot 20\ cm\)

\(\Rightarrow\) \(500\ cm^3 =\frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot 20\ cm\) \(\Rightarrow r^2=\frac{3\ \cdot\ 500\ cm^3}{\pi\ \cdot\ 20\ cm}=23,87\ cm^2\) \(\Rightarrow r= 4,89\ cm\)

Schritt 3: Antwortsatz

Die zweite Kathete hat eine Länge von 4,89 cm.

  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  3
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