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Analytische Geometrie, erweitertes Anforderungsniveau (1)


Aufgabe 4

a)

Schritt 1: Allgemeinen Punkt \(P_A\) der Geraden \(OD\) bestimmen

Da \(0\) der Ursprung ist, wird kein Stützvektor gebraucht und der Ortsvektor von \(D\) kann als Richtungsvektor einer Parametergleichung von \(OD\) dienen.

\(OD: \overrightarrow{x} = \lambda \cdot \overrightarrow{OD} = \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1 \\ 0\end{array}\right)\)

Ein allgemeiner Punkt auf dieser Geraden hat also die Koordinaten \(P_{\lambda} \left(\lambda \mid \lambda \mid 0\right)\).

Schritt 2: Vektor \(\overrightarrow{BP}_{\lambda}\) bestimmen

Der Verbinungsvektor von \(B\) zum allgemeinen Punkt der Geraden \(OD\) ist:

\(\overrightarrow{BP}_{\lambda} = \overrightarrow{OP}_{\lambda} - \overrightarrow{OB} = \left(\begin{array}{c} \lambda\\ \lambda \\ 0\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 1 \\ 0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\lambda - \sqrt{2}\\ \lambda -1 \\ 0\end{array}\right)\)

Schritt 3: Skalarprodukt von Verbindungsvektor und Richtungsvektor gleich Null setzen

Die Verbindungsstrecke \(\overrightarrow{BP}_{\lambda}\) hat genau dann die minimale Länge, wenn \(\overrightarrow{BP}_{\lambda}\) auf dem Richtungsvektor \(\left(\begin{array}{c}1\\ 1 \\ 0\end{array}\right)\) der Geraden \(OD\) senkrecht steht. Die Bedingung dafür lautet:

\(\overrightarrow{BP}_{\lambda}\ \circ\ \left(\begin{array}{c}1\\ 1 \\ 0\end{array}\right) = 0 \\ \Longleftrightarrow \left(\begin{array}{c}\lambda -\sqrt{2}\\ \lambda - 1 \\ 0\end{array}\right)\ \circ\ \left(\begin{array}{c}1\\ 1 \\ 0\end{array}\right) =0 \\ \Longleftrightarrow \left(\lambda -\sqrt{2}\right) \cdot 1 + \left(\lambda -1\right) \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0 \\ \Longleftrightarrow 2\lambda - \sqrt{2} -1 =0 \\ \Longleftrightarrow \lambda = \ \frac{\sqrt{2}\ +\ 1}{2}\)

Schritt 4: Kürzesten Verbindungsvektor berechnen

Einsetzen des Parameters \(\lambda = \frac{\sqrt{2}\ +\ 1}{2} = 0,5 \left(\sqrt{2} +1\right)\) in den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{BP}_{\lambda}\) liefert den kürzesten Verbindungsvektor, nämlich von \(B\) zum Lotfußpunkt \(L\).

\(\overrightarrow{BP_{0,5\left(\sqrt{2}+1\right)}} = \left(\begin{array}{c} {0,5\left(\sqrt{2}+1\right) - \sqrt{2}} \\ {0,5\left(\sqrt{2}+1\right) - 1} \\ 0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {0,5\left(1-\sqrt{2}\right)} \\ {0,5\left(\sqrt{2}-1\right)} \\ 0\end{array}\right)\)

Schritt 5: Länge des kürzesten Verbindungsvektors berechnen

Der gesuchte Abstand ist:

\(d\left(B,OD\right) = \mid \overrightarrow{BP_L}\mid = \sqrt{\left(0,5\left(1-\sqrt{2}\right)\right)^2 + \left(0,5\left(\sqrt{2}-1\right)\right)^2 +0^2} \\ \qquad \qquad = \sqrt{1,5 -\sqrt{2}} \approx 0,293 \ [LE]\)

  • Punkte:  8

b)

1.

Schritt 1: Aufpunkt und zwei Richtungsvektoren bestimmen

Als Aufpunkt bietet sich der Punkt \(A\) an. \(E\) steht senkrecht auf der Drehachse \(\overline{OD}\), also werden für die Parametergleichung zwei Richtungsvektoren (Spannvektoren) gebraucht, die senkrecht auf \(\overline{OD}\) stehen.

Analytische Geometrie, erweitertes Anforderungsniveau (1) - Abbildung 1

Aus Abbildung 2 erkennt man den Punkt \(A'\left(0 \mid \sqrt{2} \mid 0\right)\), der in \(E\) liegt. Da \(\overline{AA'}\) Punkt und Spiegelpunkt bzgl. der Drehachse verbindet, steht dieser Vektor senkrecht auf der Drehachse, liefert also einen Richtungsvektor (Spannvektor) \(\overline{AA'}=\left(\begin{array}{c} -\sqrt{2}\\ \sqrt{2} \\ 0\end{array}\right)\) von \(E\).
Der Einfachheit halber bevorzugen wir den Richtungsvektor \(\frac{1}{\sqrt{2}}\overline{AA'} = \left(\begin{array}{c}-1\\ 1 \\ 0\end{array}\right)\) als ersten Richtungsvektor. Ein zweiter ist \(\left(\begin{array}{c}0\\ 0 \\ 1\end{array}\right)\), der senkrecht nach oben zeigt und somit senkrecht auf der ganzen \(x_1x_2\)-Ebene steht, in der \(\overline{OD}\) liegt.

Schritt 2: Parametergleichung der Ebene \(E\) aufstellen

Es ergibt sich aus diesen Daten die Parametergleichung \(E: \overrightarrow{x} = \left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 0 \\ 0\end{array}\right) + \lambda \left(\begin{array}{c}-1\\ 1 \\ 0\end{array}\right) + \mu \left(\begin{array}{c}0\\ 0 \\ 1\end{array}\right) \ .\)

Schritt 3: Normalenform der Ebene \(E\) herleiten

Da \(A\left(\sqrt{2} \mid 0 \mid 0 \right)\) ein Punkt auf \(E\) und \(\overrightarrow {n} = \overrightarrow {OD} = \left(\begin{array}{c}1\\ 1 \\ 0\end{array}\right)\) ein Normalenvektor von \(E\) ist, erhält man als Normalenform \(E: \left(\overrightarrow{x} - \overrightarrow{OA}\right)\ \circ\ \overrightarrow{n} = 0\), also \(E: \left(\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2 \\ x_3\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 0 \\ 0\end{array}\right)\right)\ \circ\ \left(\begin{array}{c}1\\ 1 \\ 0\end{array}\right) = 0\) bzw. ausmultipliziert und vereinfacht \(x_1 + x_2 - \sqrt{2} =0\).

2.

Schritt 1: Koordinaten des Schnittpunktes \(S\) bestimmen

Setzt man den allgemeinen Punkt \(P_{\lambda} \left(\lambda \mid \lambda \mid 0\right)\) der Geraden \(OD\) aus Teilaufgabe a) in die Koordinatengleichung von \(E\) ein, so erhält man \(\lambda + \lambda - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow \lambda = \frac{1}{2}\sqrt{2}\). Einsetzen dieses Parameters in den allgemeinen Geradenpunkt \(P_{\lambda} \left(\lambda \mid \lambda \mid 0\right)\) liefert den Schnittpunkt \(S\left(\frac{1}{2}\sqrt{2} \left \vert \frac{1}{2}\sqrt{2} \right \vert 0\right)\).

  • Punkte:  11

c)

1.

Schritt 1: Rechnerischer Nachweis

Einsetzen des allgemeinen Geradenpunkts \(P_{\lambda} \left( \lambda \mid \lambda \mid 0 \right)\) in die Gleichung der Ebene \(E_k\) liefert \(\lambda - \lambda + k \cdot 0 = 0\).

Diese Gleichung gilt für alle \(k \ \epsilon \ \mathbb{R}\) und alle \(\lambda \ \epsilon \ \mathbb{R}\), also liegt die Gerade \(OD\) in allen Ebenen der Schar \(E_k\).

2.

Schritt 1: Begründung

Die Ebenen \(E\) und \(E_k\) stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihre jeweiligen Normalenvektoren senkrecht aufeinanderstehen. Ein Normalenvektor für \(E\) wurde bereits bestimmt, nämlich \(\overrightarrow{n} = \left(\begin{array}{c}1\\ 1 \\ 0\end{array}\right)\). Ein Normalenvektor für \(E_k\) setzt sich aus den Koeffizienten der Koordinatengleichung zusammen: \(\overrightarrow{n_k} = \left(\begin{array}{c}1\\ -1 \\ k\end{array}\right) \ .\)

Es gilt \(\left(\begin{array}{c}1\\ 1 \\ 0\end{array}\right)\ \circ\ \left(\begin{array}{c}1\\ -1 \\ k\end{array}\right) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot \left(-1\right) +0 \cdot k = 0\) für alle \(k \ \epsilon \ \mathbb{R}\), also stehen die Normalenvektoren unabhängig von \(k\) senkrecht aufeinander, d. h., die Ebene \(E\) verläuft senkrecht auf alle Ebenen \(E_k\).

3.

Schritt 1: Berechnung des Parameters

Analytische Geometrie, erweitertes Anforderungsniveau (1) - Abbildung 2

In Abbildung 3 erkennt man, dass die Ebene \(E^*\) parallel zur \(x_3\)-Achse ist. Also bildet der zugehörige Normalenvektor \(\overrightarrow{n_k} = \left(\begin{array}{c}1\\ -1 \\ k\end{array}\right)\) mit der \(x_3\)-Achse einen rechten Winkel. Ein Richtungsvektor der \(x_3\)-Achse ist \(\left(\begin{array}{c}0\\ 0 \\ 1\end{array}\right)\), also lautet die Orthogonalitätsbedingung:

\(\left(\begin{array}{c}1\\ -1 \\ k\end{array}\right)\ \circ\ \left(\begin{array}{c}0\\ 0 \\ 1\end{array}\right) =0 \Leftrightarrow 1 \cdot 0 + \left(-1\right) \cdot 0 + k \cdot 1 = 0 \Leftrightarrow k = 0\)

Der passende Parameter ist also \(k=0\). Für diesen gilt \(E^* = E_k\).

4.

Schritt 1: Vektorgleichung für \(\overrightarrow{OA^*}\) aufstellen

Unter Benutzung des Punktes \(S\) aus Teilaufgabe b) (2.) erhält man unter Berücksichtigung von Abbildung 3 (siehe oben) die Gleichung \(\overrightarrow{OA^*} = \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{SA^*}\), wobei \( \overrightarrow{SA^*}\) senkrecht nach oben zeigt, d. h., es gibt ein \(\lambda \ \epsilon \ \mathbb{R}\) mit \( \overrightarrow{SA^*} = \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0 \\ 1\end{array}\right)\). Außerdem gilt: \(\mid \overrightarrow{SA^*}\mid =\mid \overrightarrow{SA}\mid\).

Schritt 2: Die Länge des Vektors \(\overrightarrow{SA}\) berechnen

\(\overrightarrow{SA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OS} = \left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 0 \\ 0\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}0,5\sqrt{2}\\ 0,5\sqrt{2} \\ 0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0,5\sqrt{2}\\ -0,5\sqrt{2} \\ 0\end{array}\right) \\ \Rightarrow \mid \overrightarrow{SA}\mid = \sqrt{\left(0,5 \sqrt{2}\right)^2 + \left(-0,5 \sqrt{2}\right)^2 +0^2} = 1 \\ \Rightarrow \mid \overrightarrow{SA}\mid = 1\)

Schritt 3: Koordinaten des Punktes \(A^*\) berechnen

\(\overrightarrow{OA^*} = \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{SA^*} = \left(\begin{array}{c}0,5\sqrt{2}\\ 0,5\sqrt{2} \\ 0\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}0\\ 0 \\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0,5\sqrt{2}\\ 0,5\sqrt{2} \\ 1\end{array}\right) \\ \Rightarrow A^* \left(0,5 \sqrt{2}\mid 0,5 \sqrt{2}\mid 1\right)\)

  • Punkte:  18

d)

1.

Schritt 1: Vorüberlegung

Der Punkt \(A''\left(a''_1 \mid a''_2 \mid a''_3\right)\) erfüllt die folgenden drei Bedingungen:

  1. Er liegt in der Ebene \(E\) aus Teilaufgabe b).
  2. Er liegt in der Ebene \(x_2 = 1\).
  3. Er hat vom Punkt \(S\) denselben Abstand wie \(A\), nämlich 1.

Schritt 2: Bedingungen als Gleichungen schreiben und lösen

Bedingung 1 liefert mit der Ebenengleichung \(x_1 + x_2 - \sqrt{2} = 0\) die Beziehung \(a''_1 + a''_2 - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow a''_1 = \sqrt{2} - a''_2\).

Bedingung 2 liefert \(a''_2 = 1\) und somit \(a''_1 = \sqrt{2} - a''_2 = \sqrt{2} -1\).

Bedingung 3 liefert \(\color {green} { \mid \overrightarrow{SA''} \mid = 1 }\), wobei:

\(\overrightarrow{SA''} = \overrightarrow{OA''} - \overrightarrow{OS} = \left(\begin{array}{c}\sqrt{2}-1\\ 1 \\ a''_3\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}0,5\sqrt{2}\\ 0,5\sqrt{2} \\ 0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0,5 \sqrt{2} -1\\ 1- 0,5\sqrt{2} \\ a''_3\end{array}\right)\)

Durch Quadrieren beider Seiten der grünen Gleichung und Einsetzen der Koordinaten von \(\overrightarrow{SA''}\) erhält man:

 \(\left \vert \left(\begin{array}{c}0,5\sqrt{2} -1\\ 1-0,5\sqrt{2} \\ a''_3\end{array}\right) \right \vert^2 = \left(0,5\sqrt{2} -1\right)^2 + \left(1 -0,5\sqrt{2}\right)^2 + \left(a''_3\right) = 1 \\ \Rightarrow 0,5 - \sqrt{2} + 1 + 1 - \sqrt{2} + 0,5 + \left(a''_3\right) = 1 \\ \Rightarrow 2 - 2\sqrt{2} + \left(a''_3\right)^2 = 0 \\ \Rightarrow \left(a''_3\right)^2 = 2\sqrt{2} -2\)

In Abbildung 3 (siehe oben) ist zu erkennen, dass \(A''\) im ersten Oktanden liegt, also ist \(a''_3 > 0\). Aus der letzten Gleichung folgt somit \(a''_3 = \sqrt{2\sqrt{2}-2}\).

Damit ist \(\overrightarrow{OA''} = \left(\begin{array}{c}\sqrt{2} -1\\ 1 \\ a''_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\sqrt{2} -1\\ 1 \\ \sqrt{2\sqrt{2}-2}\end{array}\right)\), d. h. \(A'' \left(\sqrt{2} - 1 \mid 1 \mid \sqrt{2\sqrt{2}-2}\right)\).

2.

Schritt 1: Nachweis des rechten Winkels

Die Punkte \(C\) und \(A''\) liegen in der Ebene \(x_2 =1\), somit auch die Verbindungsstrecke \(CA''\). Die Punkte \(O\) und \(C\) liegen auf der \(x_2\)-Achse, die auf der Ebene \(x_2=0\) senkrecht steht. Deswegen ist der Winkel \(OCA''\) ein rechter Winkel.

Schritt 2: Nachweis, dass das Dreieck gleichschenklig ist

Die beiden Schenkel des rechten Winkel sind die Strecken \(\overline{CO}\) und \(\overline{CA''}\). Ihre Längen sind:

\(\mid \overrightarrow{CA''} \mid = \left \vert \left(\begin{array}{c}\sqrt{2} -1\\ 1 \\ \sqrt{2\sqrt{2}-2}\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}0\\ 1 \\ 0\end{array}\right) \right \vert \\ \qquad \quad = \left \vert \left(\begin{array}{c}\sqrt{2} -1\\ 0 \\ \sqrt{2\sqrt{2}-2}\end{array}\right) \right \vert \\ \qquad \quad = \sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right) ^2 + 0^2 + 2\sqrt{2} - 2} \\ \qquad \quad = 1 \ [LE]\)

\(\mid \overrightarrow{CO} \mid = \left \vert -\left(\begin{array}{c}0\\ 1 \\ 0\end{array}\right) \right \vert = 1\)

Somit sind \(\overline{CO}\) und \(\overline{CA''}\) gleich lang, d. h., das Dreieck \(OCA''\) ist gleichschenklig.

  • Punkte:  13
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