In ein Staubecken oberhalb eines Bergdorfes fließen zwei Bäche. Nach Regenfällen unterschiedlicher Dauer und Stärke können die momentanen Zuflussraten1 aus den beiden Bächen durch Funktionen \( f_a\) für den Bach 1 und \( g_a \) für den Bach 2 und die Gesamtzuflussrate aus den beiden Bächen durch eine Funktion \(h_a \) für einen bestimmten Beobachtungszeitraum modelliert werden. Gegeben sind für \(a>0\) zunächst die Funktionsgleichungen: \(f_a(t) = \frac 1 4 t^3 - 3a \cdot t^2 + 9a^2 + 340;\quad t \in \mathbb R\) \(h_a(t) = \frac 1 4 t^3 - 7a \cdot t^2 + 24a^2 + 740;\quad t \in \mathbb R\)
Dabei fasst man \(t\) als Maßzahl zur Einheit \(1 \text{ h}\) und \(f_a(t)\), \(g_a(t)\) sowie \(h_a(t)\) als Maßzahlen zur Einheit \(1 \frac{ \text{m}^3}{ \text{h} }\) auf. Der Beobachtungszeitraum beginnt zum Zeitpunkt \(t=0\) und endet zum Zeitpunkt \(t=6a\). Die Graphen von \(f_4\), \(g_4\) und \(h_4\) sind in der Abbildung dargestellt.
Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.
Aufgabe 1
Dauer:50 Minuten21 Punkte
a)
Berechnen Sie die Gesamtzuflussrate aus den beiden Bächen zu Beginn und am Ende des Beobachtungszeitraums.
Zeigen Sie, dass für die Funktion \(g_a\), die die Zuflussrate aus Bach 2 beschreibt, gilt: \(g_a(t)= \frac 1 4 t^3 - 4a\cdot t^2 + 15 a^2 \cdot t + 400\)
Begründen Sie, dass unabhängig vom Parameter \( a\text{ }(a>0)\) die Zuflussrate aus Bach 2 für alle \(t\in [0;6a]\) größer ist als die Zufallsrate aus Bach 1.
Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \(a\) den Zeitpunkt \(t_m \in [0;6a]\), zu dem die Gesamtzuflussrate ihr Maximum annimmt.
Aufgabe 2
Dauer:36 Minuten15 Punkte
b)
Bestimmen Sie die Wendestelle der Funktion \(h_a\).
Bestimmen Sie den Zeitpunkt des Beobachtungszeitraums, zu dem sich die Gesamtzuflussrate am stärksten ändert.
Geben Sie nun die Bedeutung der Wendestelle aus (1) im Sachzusammenhang an.
Aufgabe 3
Dauer:34 Minuten14 Punkte
c)
Im Folgenden sei \(a=4\): \(h_4(t)= \frac 1 2 t^3 - 28 t^2 + 384t + 740\), \(t \in [0;24]\). Zum Zeitpunkt \(t=0\) kann das Staubecken noch \(20.000 \,\mathrm{m^3}\) Wasser aufnehmen.
Entscheiden Sie, ob das Staubecken das gesamte Wasser aus den beiden Bächen während der 24 Stunden des Beobachtungszeitraums aufnehmen könnte.
Die Gleichung \(\int_{0}^{b} h_4(t)\mathrm{d}t=20.000\) hat die (positive) Lösung \(b \approx 10{,}65\).
Geben Sie die Bedeutung dieser Lösung im Sachzusammenhang an.
Um ein Überlaufen des Staubeckens zu verhindern, wird zum Zeitpunkt \(t=10 \) ein vorher verschlossener Notablauf geöffnet. Durch diesen fließt Wasser mit einer konstanten Abflussrate von \(2.000\,\frac{ \text{m}^3}{ \text{h} }\) aus dem Staubecken ab. Der Notablauf bleibt bis zum Ende des Beobachtungszeitraums geöffnet. Ohne Nachweis darf verwendet werden, dass die Gesamtzuflussrate für \(10\leq 1 \leq 14\) größer und für \(14<t\leq 24\) kleiner als \(2.000\, \frac{ \text{m}^3}{ \text{h} }\) ist (vgl. Abbildung).
Untersuchen Sie, ob das Staubecken innerhalb des Beobachtungszeitraums überläuft.
Aufgabe 4
Dauer:1 Minute
1 Im Folgende . n wird zur besseren Lesbarkeit nur der Begriff Zuflussrate verwendet; darunter ist stets die momentane Zuflussrate zu verstehen.