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Ähnlichkeit und Strahlensatz (1)


Aufgabe 1

  1. Führe eine zentrische Streckung (Streckfaktor k = 2) des Dreiecks ABC vom Streckzentrum Z aus durch. Bezeichne alle Punkte und Winkel.
  2. Was lässt sich über die folgenden Größenpaare aussagen?
  • Länge der Seite \(\overline{BC}\) und Länge der Seite \(\overline{B'C'}\)?
  • Länge der Seite \(\overline{ZB}\) und Länge der Seite \(\overline{Z'B'}\)?
  • \(\gamma \) und \(\gamma'\)?
  • \(\overline{AC}:\overline {AB}\) und \(\overline{A'C'}:\overline {A'B'}\)?
  • Flächeninhalt des Dreiecks ABC und Flächeninhalt des Dreiecks A'B'C'?

Aufgabe 1a.

Führe eine zentrische Streckung (Streckfaktor k = 2) des Dreiecks ABC vom Streckzentrum Z aus durch. Bezeichne alle Punkte und Winkel.

Schritt 1: Konstruktion

Du musst durch das Streckzentrum und die Ecken jeweils eine Halbgerade zeichnen. Anschließend musst du die Strecken Streckzentrum–Ecke messen und das Doppelte (k = 2) jeder Strecke auf den dazugehörigen Halbgeraden abtragen. Verbinde die neuen Ecken miteinander und beschrifte das neue Dreieck.

Schritt 2: Zentrische Strecke

Ähnlichkeit und Strahlensatz (1) - Abbildung 1

Aufgabe 1b.

Was lässt sich über die folgenden Größenpaare aussagen?

  • Länge der Seite \(\overline{BC}\) und Länge der Seite \(\overline{B'C'}\)?
  • Länge der Seite \(\overline{ZB}\) und Länge der Seite \(\overline{Z'B'}\)?
  • \(\gamma \) und \(\gamma'\)?
  • \(\overline{AC}:\overline {AB}\) und \(\overline{A'C'}:\overline {A'B'}\)?
  • Flächeninhalt des Dreiecks ABC und Flächeninhalt des Dreiecks A'B'C'?

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Dreiecke ABC und A'B'C' sind zueinander ähnlich.

Schritt 2: Aussagen bewerten

Da der Streckfaktor k = 2 ist, ist die Länge \(\overline{B'C'}\) doppelt so lang wie die Länge \(\overline{BC}\).

Da der Streckfaktor k = 2 ist, ist die Länge \(\overline{Z'B'}\) ebenfalls doppelt so lang wie die Länge \(\overline{ZB}\).

Die Winkel \(\gamma \) und \(\gamma'\) sind kongruent, d. h., sie sind gleich groß.

\(\overline{AC}:\overline {AB}\) und \(\overline{A'C'}:\overline {A'B'}\) sind gleich groß.

Der Flächeninhalt eines Dreiecks errechnet sich nach der Formel \(A_{Dreieck}= \frac{1}{2}gh\). Da alle Längen im Dreieck A'B'C' doppelt so lang sind wie im Dreieck ABC, geht der Faktor 2 zweimal in die Flächeninhaltsformel ein. Somit ist der Flächeninhalt des Dreiecks A'B'C' viermal so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 2

Zwei Vierecke ABCD und A'B'C'D' haben folgende Seitenlängen:

a = 5,4 cm, b = 4,2 cm, c = 3 cm, d = 3,2 cm,

a' = 8,1 cm, b' = 6,3 cm, c' = 4,5 cm, d' = 4,8 cm.

Sind die beiden Vierecke ähnlich? Begründe deine Antwort!

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Vierecke ABCD und A'B'C'D' sind zueinander ähnlich, wenn die Längenverhältnisse zweier Seiten des Vierecks ABCD mit den Längenverhältnissen der entsprechenden Seiten des Vierecks A'B'C'D' übereinstimmen und entsprechende Winkel gleich groß sind.

Schritt 2: Längenverhältnisse überprüfen

\(\frac{8,1\ cm}{5,4\ cm}=1,5 \); die Seite a ist 1,5-mal so lang wie a'.

\(4,5\ cm \cdot 1,5=6,3\ cm \); die Seite b ist auch 1,5-mal so lang wie b'.

\(3\ cm \cdot 1,5=4,5\ cm \); die Seite c ist auch 1,5-mal so lang wie c'.

\(3,2\ cm \cdot 1,5=4,8\ cm \); die Seite d ist auch 1,5-mal so lang wie d'.

Schritt 3: Winkel überprüfen

Da keine Angaben zu den Winkelgrößen vorhanden sind, kannst du keine Angaben über die Ähnlichkeit der Vierecke machen.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 3

Bestimme jeweils die Strecke a bzw. b.

a.

b.

c.

Aufgabe 3a.

Schritt 1: Vorüberlegung

Betrachte die Skizze und entscheide dich für einen Strahlensatz. Du musst hier die Erweiterung des 1. Strahlensatzes anwenden.

Schritt 2: Berechnung von a

\(\frac{a}{4,6\ cm}= \frac{5,6\ cm}{4\ cm} \Rightarrow a = \frac{5,6\ cm}{4\ cm} \cdot 4,6\ cm=6,44\ cm\)

Aufgabe 3b.

Ähnlichkeit und Strahlensatz (1) - Abbildung 2

Schritt 1: Vorüberlegung

Betrachte die Skizze und entscheide dich für einen Strahlensatz. Du musst hier für die Berechnung von a den 2. Strahlensatz anwenden und für die Berechnung von b die Erweiterung des 1. Strahlensatzes.

Schritt 2: Berechnung von a

\(\frac{a}{5\ cm}= \frac{2,5\ cm}{(2,5\ cm\ +\ 1\ cm)} \Rightarrow a = \frac{2,5\ cm}{3,5\ cm} \cdot 5\ cm=3,57\ cm\)

Schritt 3: Berechnung von b

\(\frac{b}{2\ cm}= \frac{2,5\ cm}{1\ cm} \Rightarrow b = \frac{2,5\ cm}{1\ cm} \cdot 2\ cm=5\ cm\)

Aufgabe 3c.

Ähnlichkeit und Strahlensatz (1) - Abbildung 3

Schritt 1: Vorüberlegung

Betrachte die Skizze und entscheide dich für einen Strahlensatz. Du musst hier für die Berechnung von a den 1. Strahlensatz anwenden und für die Berechnung von b den 2. Strahlensatz.

Schritt 2: Berechnung von a

\(\frac{a}{1\ cm}= \frac{3,5\ cm}{1,5\ cm} \Rightarrow a = \frac{3,5\ cm}{1,5\ cm} \cdot 1\ cm=2,34\ cm\)

Schritt 3: Berechnung von b

\(\frac{b}{3\ cm}= \frac{3,5\ cm}{1,5\ cm} \Rightarrow b = \frac{3,5\ cm}{1,5\ cm} \cdot 3\ cm=7\ cm\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  12 Minuten
  • Punkte:  10

Aufgabe 4

Wie hoch ist ein Baum, der einen 20 m langen Schatten wirft, wenn gleichzeitig der Schatten des 1,80 m großen Försters 1,20 m lang ist?

Schritt 1:Skizze anfertigen

Fertige eine Skizze an, die alle Längenangaben der Textaufgabe enthält.

Ähnlichkeit und Strahlensatz (1) - Abbildung 4

Schritt 2: Vorüberlegung

Betrachte die Skizze und entscheide dich für einen Strahlensatz. Du musst den 1. Strahlensatz anwenden.

Schritt 3: Baumhöhe bestimmen

Der 1. Strahlensatz ergibt: \(\frac{Baum}{1,8\ m}=\frac{20\ m}{1,2\ m} \Rightarrow Baum= \frac{20\ m}{1,2\ m} \cdot 1,8\ m =30\ m\).

Schritt 4: Antwortsatz

Der Baum hat eine Höhe von 30 m.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 5

Um die Höhe eines alten Wasserturms zu ermitteln, werden zwei Stäbe mit den Längen 0,70 m und 1,00 m so aufgestellt, dass man über die Spitzen der Stäbe die Spitze des Wasserturmes anpeilen kann. Der längere Stab steht 100 m vom Turm entfernt. Der kürzere Stab noch mal 1,5 m weiter. Wie hoch ist der Turm?

Schritt 1: Skizze beschriften

Um dir einen besseren Überblick über die Aufgabe zu verschaffen, solltest du die Längenangaben aus der Textaufgabe in die Skizze übertragen.

Ähnlichkeit und Strahlensatz (1) - Abbildung 5

Schritt 2: Vorüberlegung

Die Skizze zeigt dir, dass du den 2. Strahlensatz benutzen musst. Beachte dabei, dass der größere Stab 0,3 m länger ist als der kleinere Stab. Mit diesem Wert musst du rechnen. Dein Ergebnis bringt dir die Turmhöhe minus 0,7 m!

Schritt 3: Turmhöhe bestimmen

Der zweite Strahlensatz ergibt: \(\frac{Turmhöhe\ -\ 0,7\ m}{0,3\ m}= \frac{101,5\ m}{1,5\ m} \Rightarrow Turmhöhe - 0,7\ m = \frac{101,5\ m}{1,5\ m} \cdot 0,3\ m \)\(\Rightarrow Turmhöhe-0,7\ m = 20,3\ m \Rightarrow Turmhöhe = 21\ m\)

Schritt 4: Antwortsatz

Der Turm hat eine Höhe von 21 Metern.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 6

Um die Breite eines Flusses bestimmen zu können, hat man die in der Skizze angegebenen Längen gemessen.

  1. Erläutere das Vorgehen. Vervollständige dazu die Skizze.
  2. Wie breit ist der Fluss?

Aufgabe 6a.

Erläutere das Vorgehen. Vervollständige dazu die Skizze.

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst in die vorgegebene Skizze geschickt eine Strahlensatzfigur einzeichnen, die die Flussbreite enthält.

Schritt 2: Erläuterung

„Man muss eine Gerade durch die Punkte A und B legen und eine zweite Gerade durch die Punkte E und C. Diese Geraden treffen sich exakt am anderen Flussufer. Mithilfe des 2. Strahlensatzes kann man dann die Flussbreite bestimmen.Die Längenangabe 70 m kann man auch für die Strecke vom Punkt A zum Punkt C übernehmen.“

Schritt 3: Skizze

Ähnlichkeit und Strahlensatz (1) - Abbildung 6

Aufgabe 3b.

Wie breit ist der Fluss?

Schritt 1: Flussbreite berechnen

Der 2. Strahlensatz ergibt: \(\frac{Flussbreite}{Flussbreite\ +\ 40\ m}=\frac{70\ m}{105\ m} \Rightarrow Flussbreite =\frac{2}{3} \cdot (Flussbreite +40\ m)\)

\(\Rightarrow Flussbreite =\frac{2}{3} \cdot Flussbreite +26,7\ m \Rightarrow \frac{1}{3} \cdot Flussbreite =26,7\ m \)

\( \Rightarrow Flussbreite =80\ m \)

Schritt 2: Antwortsatz

Der Fluss ist 80 m breit.

  • Schwierigkeitsgrad:  2 3
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  5
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