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Ableitung (2)


Aufgabe 1

Berechne die mittlere Änderungsrate von \(f(x)=3x-x²\) im Intervall [0;1].

Lösung

\(\frac{f(1)\ -\ f(0)}{1\ -\ 0}=\frac{2\ -\ 0}{1\ -\ 0}=2\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 2

Gib jeweils die Ableitungsfunktion an. Verwende im Ergebnis nur positive Exponenten.

  1. \(f(x)=-2x^{4}+2,5x^{2}-x+4\)
  2. \(g(x)=-\frac{4}{x²}+3\)
  3. \(h(x)=-\frac{1}{\sqrt{x}}\)
  4. \(i(x)=(1,5+x)(x-2)x\)

Lösung

  1. \(f'(x)=-8x^{3}+5x-1\)
  2. \(g(x)=-4x^{-2}+3\) \(\Rightarrow g'(x)=-4\cdot(-2\cdot x^{-3})=\frac{8}{x^{3}}\)
  3. \(h(x)=- x^{-\frac{1}{2}}\) \(\Rightarrow h'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}^{3}}\)
  4. \(i(x)=x^{3}-0,5x²-3x\) \(\Rightarrow i'(x)=3x²-x-3\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  12 Minuten
  • Punkte:  8

Aufgabe 3

Bestimme jeweils zu der gegebenen Ableitungsfunktion den Term der ursprünglichen Funktion.

  1. \(f'(x)=x^{2}+3x+5\)
  2. \(g'(x)=2x^{3}-\frac{1}{x^{2}}\)
  3. \(h'(x)=\frac{3}{\sqrt{x}}\)

Lösung

  1. \(f(x)=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+5x\)
  2. \(g(x)=\frac{1}{2}x^{4}+\frac{1}{x}\)
  3. \(h(x)=6\sqrt{x}\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 4

Ordne jedem Funktionsgraphen seine Ableitungsfunktion zu.

Funktionen

Ableitung (2) - Abbildung 1

Ableitungen

Ableitung (2) - Abbildung 2

Lösung

1. und c.

2. und b.

3. und a.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  9 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 5

Die Parabel \(f(x)= \frac{1}{3}x²-\frac{1}{3}\) soll an der Stelle \(x = 2\) ohne Knick in eine Gerade übergehen. Wie lautet die Gleichung dieser Geraden?

Lösung

Du musst die Tangente an \(f\) an der Stelle \(x = 2\) bestimmen.

\(f'(x)=\frac{2}{3}x\)

\(f(2)=\frac{1}{3}\cdot2²-\frac{1}{3}=1\)

\(f'(2)=\frac{2}{3}\cdot(2)=\frac{4}{3}=m\)

\(\Rightarrow t(x)=m\cdot x+n \Rightarrow 1=\frac{4}{3} \cdot (2)+n \Rightarrow n=-\frac{5}{3}\)

\(\Rightarrow t(x)=\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2 3
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  6
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