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Abi 2015 Stochastik/Analytische Geometrie eA


Aufgabe 3A

Jeder Einwohner von Phantasia entscheidet sich monatlich neu für eine der Haarfarben rot (r), schwarz (s), weiß (w) oder braun (b).
Die Übergangsmatrix \(M\) 
\(\qquad\quad\;\; r\,\quad\ s \qquad w\quad\ b\\M=\begin{pmatrix}1&0,5&0&0\\0&0&0,5&0\\0&0,5&0&0 \\0&0&0,5&1 \end{pmatrix}\begin{array}{c} r\\s\\w\\b\end{array}\)
beschreibt modellhaft dieses Wechselverhalten von einem Monat zum nächsten. Es wird vorausgesetzt, dass sich dieses Wechselverhalten nicht ändert. Die Anteile der Bevölkerung mit den verschiedenen Haarfarben werden durch folgenden Verteilungsvektor beschrieben: \(\vec{h}=\left(\begin{array}{c}r\\s\\w\\b\end{array}\right)\)

  1. Erläutern Sie die Bedeutung aller Werte in der 2. Spalte der Übergangsmatrix \(M\) im Sachzusammenhang.
    Begründen Sie ohne Rechnung, dass es in Phantasia langfristig nur Einwohner mit roten oder braunen Haaren geben wird.
  2. Angenommen, die Anteile der Bevölkerung mit den verschiedenen Haarfarben im Juni werden beschrieben durch:
    \(\vec{h}_J=\left(\begin{array}{c}0\\0,5\\0,5\\0\end{array}\right)\).
    Bestimmen Sie die Bevölkerungsanteile für August desselben Jahres.
    Entscheiden Sie, ob mit der Übergangsmatrix \(M\) die Bevölkerungsanteile für den Monat Mai desselben Jahres berechnet werden können.
    Bestimmen Sie einen Verteilungsvektor so, dass die Bevölkerungsanteile von Monat zu Monat gleich bleiben.
  3. Die Einwohner Phantasias ändern das monatliche Wechselverhalten für ihre Haarfarben entsprechend dem folgenden Übergangsgraphen.

    Abi 2015 Stochastik/Analytische Geometrie eA - Abbildung 1
    Zeigen Sie, dass die Haarfarbe rot (r) nur nach einer geraden Anzahl von Wechseln wieder erreicht werden kann.
    Erstellen Sie einen neuen Übergangsgraphen, der das Wechselverhalten der Einwohner im jeweils zweimonatigen Abstand darstellt.

(6 + 11 + 7 BE)

Lösung

  1. Bedeutung der Werte der Übergangsmatrix:
    Die zweite Spalte gibt das monatliche Wechselverhalten der Schwarzhaarigen an.
    Begründen, dass es langfristig nur Einwohner mit roten oder braunen Haaren geben wird:
    Wegen \(P(s\rightarrow s)=0\) und \(P(s\rightarrow b)=0\), behält keine schwarzhaarige Person ihre Haarfarbe bei oder wechselt zu braun.
    Da gilt: \(P(r\rightarrow r)=1\) und \(P(b\rightarrow b)=1\), ändern die Einwohner mit roter oder brauner Haarfarbe ihre Haarfarbe nicht.
    Weiterhin liest man ab: \(P(s\rightarrow r)=P(w\rightarrow b)=0,5\). Es wechselt die Hälfte, die Anzahl der weiß- und schwarzhaarigen Einwohner halbiert sich somit von Monat zu Monat. Die Folge ist, dass letztlich nur rot- oder braunhaarige Einwohner übrig bleiben.
  2. Bevölkerungsanteile für August bestimmen:
    Für die Verteilung im Monat Juni gilt:
    \(\vec{h}_\text{Juni}=\left(\begin{array}{c}0\\0,5\\0,5\\0\end{array}\right)\).
    Für den August folgt daraus:
    \(\vec{h}_\text{August}=M\cdot M\cdot\left(\begin{array}{c}0\\0,5\\0,5\\0\end{array}\right)=M^2\cdot\left(\begin{array}{c}0\\0,5\\0,5\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,375\\0,125\\0,125\\0,375\end{array}\right).\)
    Entscheiden, ob mit \(M\) Bevölkerungsanteil für Mai berechnet werden kann:
    Es gilt: \(\vec{h}_\text{Juni}=M\cdot \vec{h}_\text{Mai}\) und daraus folgt:
    \(\vec{h}_\text{Mai}=M^{-1}\cdot \vec{h}_\text{Juni}=\left(\begin{array}{c}-0,5\\1\\1\\-0,5\end{array}\right).\)
    Die Berechnung der Häufigkeiten für Mai ist mittels \(M\) nicht möglich, nur mit ihrer Inversen.

    Abi 2015 Stochastik/Analytische Geometrie eA - Abbildung 2

    Verteilungsvektor bestimmen:
    Die Verteilung ändert sich nicht mehr, wenn gilt: \(M\cdot \left(\begin{array}{c}r\\s\\w\\b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}r\\s\\w\\b\end{array}\right)\), wobei zusätzlich gilt: \(r+s+w+b=1.\)
    Die Verteilung ändert sich nicht mehr, wenn es nur noch Einwohner mit roten oder braunen Haaren gibt.

    Abi 2015 Stochastik/Analytische Geometrie eA - Abbildung 3
     
  3. Wechsel der Haarfarbe rot:
    Die zugehörige neue Übergangsmatrix \(A\) ist gegeben durch den Übergangsgraphen. Das Verhalten nach 2 Monaten wird durch \(A^2\) beschrieben. Diese Matrix ist Grundlage des zugehörigen Übergangsgraphen. Es sind folgende Wechsel möglich: 
    \(r\rightarrow s \rightarrow r \text{ und }r \rightarrow s \rightarrow b\rightarrow w\rightarrow r\)
    , wobei noch \(w\rightarrow b \rightarrow w\) beim Zustand weiß möglich ist. 

    Man sieht, dass der Zustand \(r\) nur nach einer geraden Anzahl wieder erfolgen kann.

    Abi 2015 Stochastik/Analytische Geometrie eA - Abbildung 4

    Übergangsgraph erstellen:
    Der Übergangsgraph, der das Verhalten im Abstand von zwei Monaten beschreibt, kann durch zwei Teilgraphen beschrieben werden.

    Abi 2015 Stochastik/Analytische Geometrie eA - Abbildung 5
    Abi 2015 Stochastik/Analytische Geometrie eA - Abbildung 6

Aufgabe 3B

Ein quaderförmiger Discoraum hat die Ausmaße 15 m, 20 m und 6 m.
Abi 2015 Stochastik/Analytische Geometrie eA - Abbildung 7
Am Ort \(L(3 | 2| 5)\) befindet sich ein Laser, der Laserlicht in verschiedene Richtungen aussenden kann. Die Richtungen des Laserlichts lassen sich einstellen. Alle Koordinaten haben die Einheit Meter.

  1. Das Laserlicht soll in der Disco im Punkt \(P(7| 20| 4)\) auf die rechte Wand auftreffen. Bestimmen Sie den für die Einstellung des Laserstrahls notwendigen Richtungsvektor.
    Wird die Richtung des Laserstrahls durch den Vektor \(\left(\begin{array}{c}4\\10\\-1\end{array}\right)\) eingestellt, so trifft das Laserlicht im Punkt \(Q\) auf die rechte Wand auf.
    Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes \(Q\). (Zur Kontrolle: \(Q(10,2| 20| 3,2) \))
    Berechnen Sie den Abstand des Punktes \(Q\) vom Laser.
    Der Laser wird so eingestellt, dass alle Laserstrahlen in der Ebene \(E\) mit
    \(E:\,\vec{x}=\left(\begin{array}{c}3\\2\\5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\0\\-0,5\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}0\\10\\0\end{array}\right)\) verlaufen.
  2. Alle vom Laserstrahl auf der rechten Wand getroffenen Punkte liegen auf einer Geraden. Zeigen Sie, dass diese Gerade durch \(g:\,\vec{x}=\left(\begin{array}{c}10\\20\\3,25\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\0\\1,25\end{array}\right)\) angegeben werden kann.
    Aus Sicherheitsgründen wird gefordert, dass der Laserstrahl die rechte Wand nicht unterhalb einer Höhe von 2 Metern treffen darf.
    Untersuchen Sie, ob diese Forderung eingehalten wird.
  3. Der Laserstrahl beschreibt bei geeigneter Einstellung auf der vorderen Wand eine Strecke, die vom Punkt \(A(15| 4| 2)\) bis zum Punkt \(B(15|18| 2)\) verläuft.
    Bestimmen Sie für den Richtungsvektor \(\left(\begin{array}{c}2k\\10\\-0,5k\end{array}\right)\) des Laserstrahls einen Wert für \(k\) so, dass der Laserstrahl mit der Strecke durch \(A\) und \(B\) einen Winkel von 60° einschließt.

(9 + 9 + 6 BE)

Lösung

  1. Bestimmung des Richtungsvektors:
    Die Gerade durch die Punkte \(L\) und \(P\) hat den Richtungsvektor \(\vec{LP}=\left(\begin{array}{c}7-3\\20-2\\4-5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\18\\-1\end{array}\right).\)
    Bestimmung der Koordinaten des Punktes \(Q\):
    Mit dem Richtungsvektor \(\left(\begin{array}{c}4\\10\\-1\end{array}\right)\) und dem Stützvektor \(\vec{OL}\) ergibt sich für das Laserlicht die Geradengleichung:
    \(\vec{x}=\left(\begin{array}{c}3\\2\\5\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}4\\10\\-1\end{array}\right)\) mit \(t\ge 0.\)

    Für die Punkte der rechten Wand gilt \(y = 20\) und damit folgt aus \( y = 2 + 10t = 20 \rightarrow t = 1,8\)Man erhält:
    \(\vec{OQ}=\left(\begin{array}{c}3\\2\\5\end{array}\right)+1,8\cdot \left(\begin{array}{c}4\\10\\-1\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}10,2\\20\\3,2\end{array}\right).\)
    Abstand des Punktes \(Q\) vom Laser:
    Der Punkt \(Q\) hat vom Laser \(L\) den Abstand (in m):
    \(\begin{align} |\vec{LQ}|&=\left|\left(\begin{array}{c}10,2\\20\\3,2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\2\\5\end{array}\right)\right|=\left|\left(\begin{array}{c}7,2\\18\\-1,8\end{array}\right)\right|\\ &=\sqrt{7,2^2+18^2+(-1,8)^2}\\ &\approx19,47. \end{align}\)
    Der Abstand des Punktes \(Q\) vom Laser beträgt etwa 19,47m.

    Abi 2015 Stochastik/Analytische Geometrie eA - Abbildung 8

  2. Nachweis der Geraden \(g\):
    Alle Punkte der Gerade \(g\) mit 
    \(g:\,\vec{x}=\left(\begin{array}{c}10\\20\\3,25\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\0\\1,25\end{array}\right)\)
    haben die y-Koordinate \(y = 20\), \(g\) liegt also in der Ebene der rechten Wand. Um zu zeigen, dass \(g\) auch in der Ebene \(E\) liegt, bestimmt man \(g \cap E\) durch Gleichsetzen:
    \(\left(\begin{array}{c}10\\20\\3,25\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\0\\1,25\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\2\\5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\0\\-0,5\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}0\\10\\0\end{array}\right)\).
    Der Wert für \(t\) ist frei wählbar, die Schnittfigur ist also die Gerade \(g\)\(g \cap E=g.\)

    Abi 2015 Stochastik/Analytische Geometrie eA - Abbildung 9

    Höhe des Laserstrahls auf der Wand bestimmen:
    Aus den Maßen des Raumes ergeben sich die Bereiche für die \(x\)- und \(z\)-Koordinate und aus diesen die möglichen Parameterwerte für \(t\)Da beide Ungleichungen erfüllt sein müssen, erhält man: \(-1\le t \le 2.\)
    Für \(t=-1\) sind die Koordinaten des Punktes mit der kleinsten \(z\)-Koordinate bestimmbar: \(R(15|20|2)\).
    Damit wird die Forderung eingehalten.

    Abi 2015 Stochastik/Analytische Geometrie eA - Abbildung 10
     
  3. Wert des Parameters \(k\) bestimmen:
    Gesucht ist der Wert von \(k\), bei dem der Laserstrahl durch \(\vec{AB}=\left(\begin{array}{c}15-15\\18-4\\2-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\14\\0\end{array}\right)\) mit \(\left(\begin{array}{c}2k\\10\\-0,5k\end{array}\right)\) einen Winkel von 60° einschließt.
    Dies ist für \(k\approx 8,4 \) der Fall, da für \(k<0\) die \(x\)-Koordinate negativ ist.
    Der Parameter \(k\) hat ungefähr den Wert 8,4.

    Abi 2015 Stochastik/Analytische Geometrie eA - Abbildung 11
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