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Abi 2015 Stochastik TeilB AG2


Aufgabe 1

Die beiden Diagramme zeigen für die Bevölkerungsgruppe der über 14-Jährigen in Deutschland Daten zur Altersstruktur und zum Besitz von Mobiltelefonen.

Abi 2015 Stochastik TeilB AG2 - Abbildung 1Abi 2015 Stochastik TeilB AG2 - Abbildung 2

Aus den über 14-Jährigen in Deutschland wird eine Person zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:
M: „Die Person besitzt ein Mobiltelefon.“ 
S: „Die Person ist 65 Jahre oder älter.“
E: „Mindestens eines der Ereignisse M und S tritt ein.“

a) Geben Sie an, welche zwei der folgenden Mengen \(I\) bis \(VI\) jeweils das Ereignis E beschreiben.

\(\begin{array}\\ I& M\cap S&&II& M\cup S\\ III&\overline{M\cup S}&&IV&(M\cap \overline S)\cup(\overline M \cap S)\cup(\overline M\cap \overline S)\\ V&(M\cap S)\cup(M \cap \overline S)\cup(\overline M\cap S)&&VI &\overline{M\cap S} \end{array}\)

(2 BE)

b) Entscheiden Sie anhand geeigneter Terme und auf der Grundlage der vorliegenden Daten, welche der beiden folgenden Wahrscheinlichkeiten größer ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung. 

(3 BE)

\(p_1\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person ein Mobiltelefon besitzt, wenn bekannt ist, dass sie 65 Jahre oder älter ist. 

\(p_2\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person 65 Jahre oder älter ist, wenn bekannt ist, dass sie ein Mobiltelefon besitzt.

c) Erstellen Sie zu dem beschriebenen Sachverhalt für den Fall, dass das Ereignis E mit einer Wahrscheinlichkeit von \(98\ \%\) eintritt, eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel. Bestimmen Sie für diesen Fall die Wahrscheinlichkeit \(P_S(M)\)

(5 BE)

Lösung

Betrachtet werden folgende Ereignisse:

M: „Die Person besitzt ein Mobiltelefon.“

S: „Die Person ist 65 Jahre oder älter.“

E: „Mindestens eines der Ereignisse M und S tritt ein.“

a)

Mengen, die das Ereignis E beschreiben

Die Terme \(II\) und \(V\) geben die Wahrscheinlichkeit von E an:

\(II\quad M\cup S \qquad \qquad V \quad(M\cap S)\cup(M\cap\overline S)\cup(\overline M\cap S)\)

Anmerkung: „Mindestens eines“ heißt: entweder beide oder nur M oder nur S. Genau das ist in Term \(V\) ausgedrückt. Das „oder“ (ohne „entweder“) in Term \(II\) drückt ebenfalls diese Logik aus.

Eine Begründung ist bei der Fragestellung nicht erforderlich.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

b)

Term für p1 aufstellen

\(p_1=P_S(M)=\frac{P(M\cap S)}{P(S)}=\frac{P(M\cap S)}{24\ \%}\)

Term für p2 aufstellen

\(p_2=P_M(S)=\frac{P(M\cap S)}{P(M)}=\frac{P(M\cap S)}{90\ \%}\)

Terme vergleichen

Die beiden Terme haben den gleichen (unbekannten) Zähler. \(p_1\) hat den kleineren Nenner und deshalb den größeren Wert. \(p_1>p_2\).

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c)

Vierfeldertafel erstellen

\(P(E)=P(M\cup S)= 98\ \%\)

\(\Rightarrow P(\overline E)=P(\overline M\cap S)=2\ \% \rightarrow\)in der Vierfeldertafel blau eingetragen.

\(\begin{array}{|c|c|} \hline &S&\overline S&\\ \hline M&\color{orange}{16\ \%}&\color{orange}{74\ \%}&\color{red}{90\ \%}\\ \hline \overline M&\color{orange}{8\ \%}&\color{blue}{2\ \%}&\color{red}{10\ \%}\\ \hline &\color{red}{24\ \%}&\color{red}{76\ \%}&\color{red}{100\ \%}\\ \hline \end{array}\)

Die roten Werte in der Vierfeldertafel stammen aus den Angaben. Die orangenen Werte ergeben sich dann durch die Summen.

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PS(M) bestimmen

Einsetzen der Werte aus der Vierfeldertafel in die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit liefert:

\(P_S(M)=\frac{P(M \ cap S)}{P(S)}=\frac{16\ \%}{24\ \%}=\frac 2 3\)

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  • Punkte:  10

Aufgabe 2

Zwei Drittel der Senioren in Deutschland besitzen ein Mobiltelefon. Bei einer Talkshow zum Thema „Chancen und Risiken der digitalen Welt“ sitzen \(30\) Senioren im Publikum.

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter \(30\) zufällig ausgewählten Senioren in Deutschland mindestens \(17\) und höchstens \(23\) ein Mobiltelefon besitzen.

(3 BE)

b) Von den \(30\) Senioren im Publikum besitzen \(24\) ein Mobiltelefon. Im Verlauf der Sendung werden drei der Senioren aus dem Publikum zufällig ausgewählt und nach ihrer Meinung befragt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei dieser Senioren ein Mobiltelefon besitzen.

(3 BE)

Lösung

a)

Wahrscheinlichkeit bestimmen

Dieses Zufallsexperiment kann auf Basis des Gesetzes der großen Zahlen als „Ziehen mit Zurücklegen“ angesehen werden. Es handelt sich dann um eine Bernoullikette der Länge \(30\) mit Treffer = „besitzt Handy“ und \(p=\frac 2 3\).

\(P_{\frac 2 3}^{30}(17\leq X\leq 23)=P_{\frac 2 3}^{30}(X\leq23)-P_{\frac 2 3}^{30}(X\leq16)\\\approx0,91616-0,08977=0,82639\approx 82,6\ \%\)

(Werte laut Tafelwerk)

Ergebnis

Mit \(82,6\ \%\)iger iger Wahrscheinlichkeit besitzen mindestens \(17\) und höchstens \(23\) unter \(30\) zufällig ausgewählten Senioren in Deutschland ein Mobiltelefon.

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b)

Wahrscheinlichkeit bestimmen

Hier wird dreimal ohne Zurücklegen gezogen. \(n = 30\) ist zu klein, als dass man das Gesetz der großen Zahlen anwenden könnte. Das Ergebnis kann mittels Pfadregeln oder der Lottoformel berechnet werden.

\(P(\text{"genau 2 von 3 Senioren besitzen ein Handy"})=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\cdot\frac {24}{30}\cdot\frac {23}{29}\cdot\frac {6}{28}\\=\frac {414}{1015}\approx40,8\ \%\)

oder: \(P=\frac{\begin{pmatrix}24\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}30\\3\end{pmatrix}}\approx40,8\ \%\)

Ergebnis

Mit \(40,8\ \%\)iger Wahrscheinlichkeit besitzen genau zwei der drei ausgewählten Senioren ein Mobiltelefon.

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  • Punkte:  6

Aufgabe 3

Eine Handelskette hat noch zahlreiche Smartphones des Modells Y3 auf Lager, als der Hersteller das Nachfolgemodekk Y4 auf den Markt bringt. Der Einkaufspreis für das neue Y4 beträgt 300€, während die Handelskette für das Vorgängermodell Y3 im Einkauf nur 250€ bezahlen musste. Um die Lagerbestände noch zu verkaufen, bietet die Handelskette ab dem Verkaufsstart des Y4 die Smartphones des Typs Y3 für 199€ an. Aufgrund früherer Erfahrungen geht die Handelskette davon aus, dass von den verkauften Smartphones der Modelle Y3 und Y4 trotz des Preisnachlasses nur 26% vom Typ Y3 sein werden. Berechnen Sie unter dieser Voraussetzung, zu welchem Preis die Handelskette das Y4 anbieten muss, damit sie voraussichtlich pro verkauftem Smartphone der Modelle Y3 und Y4 im Mittel 97€ mehr erhält, als sie beim Einkauf dafür zahlen musste.

(4 BE)

Lösung

Verkaufspreis für Handy-Modell Y4 bestimmen

Betrachtet werden muss die Zufallsvariable \(X\)=„Gewinn pro verkauftem Handy“ auf der Grundmenge \(\Omega=\{Y3,Y4\}\).

Es ist \(x_1=X(Y3)=-51\) €, nämlich \(199\) €-\(250\) €.

\(x_2=X(Y4)=z\)€ ist gesucht.

\(\begin{array}{|c|c|} \hline \omega_i&Y3&Y4\\ \hline x_i[€]&-51&z\\ \hline p_i&26\ \%&74\ \%\\ \hline \end{array}\)

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Der Erwartungswert ist vorgegeben, er soll \(97\) € Gewinn pro verkauftem Handy betragen:

\(E(X)= x_1\cdot p_1+x_2\cdot p_2=-51\cdot 0,26 + z\cdot 0,74=97\ €\\\Rightarrow z=\frac{97+0,26\cdot 51}{0,74}=149\ €\)

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Ergebnis 

Das Modell Y4 muss mit mindestens \(149\) € Gewinn verkauft werden, also für \(449\) €.

  • Punkte:  4
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