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Abi 2015 Stochastik TeilA AG1


Aufgabe 1

Bei der Wintersportart Biathlon wird bei jeder Schießeinlage auf fünf Scheiben geschossen. Ein Biathlet tritt bei einem einzelrennen zu einer Schießeinlage an, bei der er auf jede Scheibe einen Schuss abgibt. Diese Schießeinlage wird modellhaft durch eine Bernoullikette mit der Länge \(5\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) beschrieben.

a) Geben Sie für die folgenden Ereignisse A und B jeweils einen Term an, der die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in Abhängigkeit von p beschreibt. 

(3 BE)

A: „Der Biathlet trifft bei genau vier Schüssen.“ 
B: „Der Biathlet trifft nur bei den ersten beiden Schüssen.“ 

b) Erläutern Sie anhand eines Beispiels, dass die modellhafte Beschreibung der Schießeinlage durch eine Bernoullikette unter Umständen der Realität nicht gerecht wird.

(2 BE)

Lösung

a)

A: „Der Biathlet trifft bei genau vier Schüssen.“

Anwenden der Bernoulli-Formel liefert:

\(P(A)=P_p^5(X=4)=5\cdot p^4\cdot(1-p)\)   (andere Schreibweise: \(P(5; p; 4)\))

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier und hier.

B: „Der Biathlet trifft nur bei den ersten beiden Schüssen.“

Anwenden der Bernoulli-Formel liefert:

\(P(B)=P_p^2(X=2)\cdot P_p^3(X=0)=p^2\cdot(1-p)^3\)

Alternative Lösungsidee: Baumdiagramm. 

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Anmerkung: Die Aufgabe gibt an, dass die Bernoulli-Formel angewendet werden kann, bei Ereignis B allerdings nur auf zwei Teil-Ereignisse, weil die Plätze der Treffer festgelegt sind. Aufgrund der Fragestellung ist keine Herleitung nötig.

b)

Modell beurteilen

Die Trefferwahrscheinlichkeit könnte sich von Schuss zu Schuss ändern, wenn sich die Wetterverhältnisse ändern (Windstoß), oder weil der Biathlet nervös wird, wenn er beim ersten Schuss nicht trifft.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Punkte:  5

Aufgabe 2

Ein Moderator lädt zu seiner Talkshow drei Politiker, eine Journalistin und zwei Mitglieder einer Bürgerinitiative ein. Für die Diskussionsrunde ist eine halbkreisförmige Sitzordnung vorgesehen, bei der nach den Personen unterschieden wird und der Moderator den mittleren Platz einnimmt. 

a) 

Geben Sie einen Term an, mit dem die Anzahl der möglichen Sitzordnungen berechnet werden kann, wenn keine weiteren Einschränkungen berücksichtigt werden.

(1 BE)

b)

Der Sender hat festgelegt, dass unmittelbar neben dem Moderator auf einer Seite die Journalistin und auf der anderen Seite  einer der Politiker sitzen soll. Berechnen Sie unter Berücksichtigung dieser weiteren Einschränkung die Anzahl der möglichen Sitzordnungen. 

(4 BE)

Lösung

a)

Anzahl der möglichen Sitzordnungen

Bei der Anzahl der möglichen Sitzordnungen mit Unterscheidung der Personen handelt es sich um eine Permutation  verschiedener Elemente ohne Wiederholung. Anzahl Möglichkeiten für \(6\) Personen auf \(6\) Plätzen \(= 6!\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

b)

Anzahl der möglichen Sitzordnungen

Anzahl Möglichkeiten für Platz links oder rechts für die 

Journalistin wählen: \(2\)

Journalistin setzen: \(1\)

einen Politiker wählen: \(1\) aus \(3=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=3\)

vier restliche Personen auf vier Plätze verteilen: \(4!=24\)

insgesamt: Anzahl der Möglichkeiten \(=2\cdot 1 \cdot 3\cdot 24=144\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Punkte:  5
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