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Abi 2015 Stochastik Pflichtaufgabe GK


Jedes Jahr im Frühjahr gibt der DRV (Deutscher ReiseVerband e. V.) in einer Broschüre einen Kurzüberblick über die wichtigsten Daten der Tourismusbranche. Sofern nicht anders angegeben, beziehen sich die Zahlen dieser Aufgabe auf die von Deutschen durchgeführten Reisen im Jahr 2012.

Aufgabe 1

Für die Reiseziele der Reisen ab fünf Tagen Dauer hat der DRV folgende Zahlen ermittelt: 31 % der Reiseziele lagen in Deutschland, 7,2 % der Reisen waren Fernreisen. Der Rest verteilte sich auf Nah- und Mittelstreckenziele. 
Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die angegebenen Zahlen auch für das Jahr 2015 gleich bleiben. Es werden 100 von Deutschen durchgeführte Reisen ab fünf Tagen Dauer für das Jahr 2015 zufällig ausgewählt.

Bestimmen Sie jeweils unter Angabe einer Zufallsgröße \(X\) die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
Unter den 100 Reisen

  1. führen genau 31 zu einem Reiseziel innerhalb Deutschlands,
  2. führen mindestens 31 zu einem Reiseziel innerhalb Deutschlands,
  3. sind mindestens sechs, aber höchstens acht Fernreisen. 

Lösung

  1. Genau 31 Reisen (Einzelergebnis bei einer Binomialverteilung):
    \(P(X=31)=B_{100;\,0,31}(31)=\left(\begin{array}{c}100\\31\end{array}\right)\cdot(0,31)^{31}\cdot(0,69)^{69}=0,086\,\widehat{=}\,8,6\ \%\)
  2. Mindestens 31 Reisen:
    \(\begin{align} P(X\geq 31)&=1-P(X\leq30)=1-F_{100;\,0,31}(30) \\ &=1-\sum\limits_{j=0}^{30}\left(\begin{array}{c}100\\j\end{array}\right)\cdot(0,31)^{k}\cdot(0,69)^{100-k}=1-0,4624=0,5376\,\widehat{=}\,53,76\ \% \end{align}\)
  3. 6 bis 8 Fernreisen (zusammengesetztes Ereignis bei einer Binomialverteilung):
    \(P(6\leq X\leq 8)=P(X\leq 8)-P(X\leq 5)=F_{100;\,0,072}(8)-F_{100;\,0,072}(5)=0,4408\,\widehat{=}\,44,08\ \%\)
  • Punkte:  8

Aufgabe 2

Erläutern Sie die Bedeutung der folgenden Gleichung im Sachzusammenhang:

\(P(X=62)=\left(\begin{array}{c}100\\62\end{array}\right)\cdot(0,618)^{62}\cdot(0,382)^{38}=0,0819\)

Lösung

Es wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass eine binomialverteilte Zufallsvariable \(X\) bei 100-maligem „Ziehen“ 62-mal „Erfolg“ ergibt, wobei die Einzelerfolgswahrscheinlichkeit 61,8 % beträgt. Dies entspricht 100 % minus der Summe aus den beiden angegebenen Wahrscheinlichkeiten „Reise in D“ und „Fernreise“. Also beschreibt \(X\) das Elemtarereignis/Ergebnis „Nah- oder Mittelstreckenreise“ und die berechnete Wahrscheinlichkeit ist die des Ereignisses: „Es werden genau 62 Reisen auf Nah- oder Mittelstrecke gebucht.“

  • Punkte:  3

Aufgabe 3

Der DRV erfasst gesondert Kurzurlaube. Kurzurlaube sind Urlaube, deren Reisedauer unter fünf Tagen liegt. 76 % aller Kurzurlaube gingen ins Inland. 42,6 % aller Kurzurlaube ins Inland waren Städtereisen. 8 % aller Kurzurlaube waren Städtereisen ins Ausland. 

Stellen Sie den Sachverhalt mithilfe eines Baumdiagramms oder einer Vierfeldertafel dar.

Lösung

Baumdiagramm:

Abi 2015 Stochastik Pflichtaufgabe GK - Abbildung 1

Vierfeldertafel:

Kurzurlaub Inland Ausland  
Städtereise 32,4 % 8 % 40,4 %
keine Städtereise 43,6 % 16 % 59,6 %
  76 % 24 % = 100 %
  • Punkte:  5

Aufgabe 4

Es wurden insgesamt 74,5 Mio. Kurzreisen angetreten. Ermitteln Sie die Gesamtzahl der Städtereisen. 

Lösung

Aus der Vierfeldertafel ermittelt man, dass 40,4 % aller Kurzreisen in Städte gehen. Daraus folgt die absolute Anzahl an Kurzreisen in Städte:

\(74,5\ \text{Millionen} \cdot 0,404 = 30,06\ \text{Millionen}\)

  • Punkte:  2

Aufgabe 5

Bei den Kurzurlauben geht ein Reiseanbieter davon aus, dass sich das Reiseverhalten der Deutschen in den folgenden Jahren nicht ändert. Die ermittelten Zahlen aus dem Jahr 2012 werden daher übernommen. 
Dem Reiseanbieter liegt im Jahr 2015 eine Buchung einer Städtereise vor.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Auslandsreise handelt. 

Lösung

Diese bedingte Wahrscheinlichkeit ermittelt man über:

\(P(\text{Ausland}|\text{Städtereise})=\frac{P(\text{Ausland}\,\cap\,\text{Städtereise})}{P(\text{Städtereise})}=\frac{8\ \%}{40,4\ \%}=19,8\ \%\)

  • Punkte:  3

Aufgabe 6

Der DRV stellt in seiner Broschüre außerdem fest, dass im Jahr 2012 8 % der Pauschalreisen online gebucht wurden. Eine Reisebürokette vermutete, dass sich der Anteil der online gebuchten Pauschalreisen im Jahr 2013 erhöht habe. Um dies zu überprüfen, wurden 100 von Deutschen durchgeführte Pauschalreisen des Jahres 2013 zufällig ausgewählt und die betroffenen Reisenden nach ihrem Buchungsverhalten befragt. 

Die Reisebürokette testete die Nullhypothese: \(H_0: p ≤ 0,08\)
Entwickeln Sie im Sachzusammenhang eine Entscheidungsregel auf einem Signifikanzniveau von 5 %. 

Lösung

Es handelt sich um einen rechtsseitigen Binomialtest (Hypothesentest für eine binomialverteilte Zufallsvariable). Wenn die Nullhypothese stimmt, würden wir erwarten, dass höchstens wenig mehr als 8 Pauschalreisen online gebucht wurden. Also wählen wir für unsere Entscheidungsregel eine Zahl \(k > 8\), für die die Wahrscheinlichkeit gilt:

\(\begin{align} &P_{100;\,0,08}(X> k)=1-F_{100;\,0,08}(X\leq k)\leq 0,05\\ \Longleftrightarrow&F_{100;\,0,08}(X\leq k)>0,95 \end{align}\)

In der Tabelle liest man ab:

\(F_{100;\,0,08}(X\leq 12)=0,9441\)
\(F_{100;\,0,08}(X\leq 13)=0,9718\)

Wir wählen \( k = 13\), da bei \(k = 12\) die Wahrscheinlichkeit für eine fälschliche Ablehnung der Nullhypothese (Fehler 1. Art, s. u.) noch über dem Signifikanzniveau von 5 % liegen würde.

  • Punkte:  5

Aufgabe 7

Sollten Sie in Aufgabe 6 zu keiner Lösung gekommen sein, so verwenden Sie als kritische Zahl, d. h. als kleinsten Wert im Ablehnungsbereich der Nullhypothese, \(k = 13\).

Erläutern Sie den Fehler 1. Art und den Fehler 2. Art im Sachzusammenhang.

Lösung

Von einem Fehler 1. Art spricht man, wenn bei Vorliegen der Nullhypothese die Alternativhypothese angenommen wird (fälschliche Wahl der Alternative). Im Sachzusammenhang hieße das, dass die Onlinebuchungen 2013 so wahrscheinlich waren wie 2012, man aber eine Steigerung annimmt.

Ein Fehler 2. Art wird dagegen gemacht, wenn die Nullhypothese falsch ist, d. h. die Alternativhypothese zutrifft, man aber trotzdem die Alternative verwirft (fälschliches Beharren auf der Nullhypothese). Im Sachzusammenhang ginge man von gleichen Onlinebuchungsraten aus, obwohl sich in Wirklichkeit die Wahrscheinlichkeit dafür erhöht hat.

  • Punkte:  2

Aufgabe 8

Im Frühjahr 2014 gab der DRV bekannt, dass 15 % der von Deutschen im Jahr 2013 durchgeführten Pauschalreisen online gebucht wurden. 

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Reisebürokette bei ihrem Hypothesentest einen Fehler 2. Art beging. 

Lösung

Ein Fehler 2. Art würde bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit für Onlinebuchungen von 2012 auf 2013 auf über 8 % gestiegen ist, aber nach dem Hypothesentest trotzdem angenommen wird, es habe keine Zunahme gegeben.
Wir wissen jetzt, dass \(p = 15\ \%\). Die Frage ist, wie wahrscheinlich es war, dass der Test trotzdem nur maximal 13 Onlinebuchungen \((k = 13)\) ergeben hat.

Entscheidungsregel:

\(X ≤ 13\) → Entscheidung für \(H_0:\;p = 12\ \%\)
\(X > 13\) → Entscheidung für \(H_1:\;p = 15\ \%\)

Annahme: \(H_1:\;p = 15\ \%\)

\(\beta=P(\text{Entscheidung für }H_0,\text{ obwohl }H_1\text{ richtig})=P(X\leq 13;\;p=0,15)=F_{100;\,0,15}(X\leq 13)=0,3474\)

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art im beschriebenen Test beträgt, wenn tatsächlich \(p=15\ \%\) ist, \(34,74\ \%\).

  • Punkte:  2
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