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Abi 2015 Stochastik HT5 LK


Im Folgenden betrachten wir die Entwicklung von Wolfspopulationen. Dabei beschränken wir uns ausschließlich auf die weiblichen Mitglieder einer Population, die aus Welpen (\(w\)), jungen Fähen (\(j\)) sowie ausgewachsenen Fähen (\(a\)) bestehen soll. Alle Fähen sind vermehrungsfähig. Die Welpen entwickeln sich ein Jahr nach der Geburt zu jungen Fähen und ein Jahr später zu ausgewachsenen Fähen. Die folgende Tabelle zeigt die Verteilung einer in der Wildnis lebenden Population für die Jahre 2013 und 2014:

  2013 2014
\(w\) 65 52
\(j\) 8 26
\(a\) 20 16

Modellhaft lässt sich die Entwicklung mit der Matrix \(A\) beschreiben.

\(\begin{matrix} & \text{von:} &w\quad\; j\qquad a\; \\ \text{nach:} & & \\ \begin{array}{c}w\\j\\b\end{array} & A= & \left(\begin{matrix} 0 & 1,5 & 2 \\ b & 0 &0 \\ 0 & 0,5 & 0,6 \end{matrix}\right) \end{matrix} \)

Aufgabe a)

  1. Begründen Sie mit den Daten aus der Tabelle, dass \(b=0,4\) gilt.
  2. Interpretieren Sie die weiteren von Null verschiedenen Einträge in der Matrix \(A\) im Sachzusammenhang.

(3 + 4 Punkte)

Lösung

  1. Eine junge Fähe kann nur ein Welpe des Vorjahres gewesen sein, da nur Welpen geboren werden. Deshalb hat der 2. Zeilenvektor der Übergangsmatrix die Form \((b, 0, 0)\). 2014 gab es 26 junge Fähen, ein Jahr vorher 65, das Verhältnis aus beiden Zahlen ist 0,4.
  2. Der 1. Zeilenvektor gibt an, woher neue Welpen kommen: Jede junge Fähe bringt im Jahr 1,5 Welpen auf die Welt, jede alte Fähe 2. Der 3. Zeilenvektor schließlich gibt die Überlebenschancen der jungen und alten Fähen an: 50 % der jungen Fähen sind im nächsten Jahr alte Fähen (und nicht tot), 60 % der alten Fähen sind im nächsten Jahr noch am Leben und damit alte Fähen geblieben. (Überlebende Welpen sind im nächsten Jahr junge und keine alten Fähen.)

Aufgabe b)

  1. Berechnen Sie die Verteilung, die nach diesem Modell im Jahr 2015 zu erwarten ist.
  2. Bestimmen Sie die Verteilung, die nach diesem Modell im Jahr 2012 vorgelegen hätte.
  3. Ein Biologe behauptet, dass weniger als 15 % aller Welpen mindestens ein Alter von drei Jahren erreichen.
    Prüfen Sie, ob nach der obigen Modellierung mit der Matrix \(A\) die Behauptung des Biologen zutrifft.

(3 + 5 + 4 Punkte)

Lösung

  1. Wenn \(X_{2014}\) den Verteilungsvektor für 2014 bezeichnet, dann haben wir:
    \(X_{2015}=A\cdot X_{2014}=\left(\begin{matrix} 0 & 1,5 & 2 \\ 0,4 & 0 & 0\\ 0 & 0,5 & 0,6 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}52\\26\\16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}71\\20,8\\22,6\end{array}\right)\)
  2. Hierfür muss die Inverse der Matrix \(A\) berechnet werden.
    \(X_{2012}=A^{-1}\cdot X_{2013}=\left(\begin{matrix} 0 & 2,5 & 0 \\ -6 & 0 & 20\\ 5 & 0 & -15 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}65\\8\\20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}20\\10\\25\end{array}\right)\)
  3. Hierfür muss die Potenz \(A^3\) berechnet werden.
    \(X_{t\ +\ 3}=A^3\cdot X_t;\quad A^3=\left(\begin{matrix} 0,4 & 1,5 & 1,92 \\ 0,24 & 0,4 & 0,48\\ 0,12 & 0,48 & 0,616 \end{matrix}\right)\)
    Der 1. Wert in der 3. Zeile gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein Welpe 3 Jahr später ein (lebendiges) Alttier ist. Sie beträgt 12 % und damit weniger als die behaupteten 15 %.

Aufgabe c)

Wölfe, die in einem Tierpark leben, haben andere Überlebens- und Fortpflanzungsraten. Für einen Tierpark kann die Entwicklung seiner Wolfspopulation durch die folgende Matrix \(B\) modelliert werden.

\(B=\left(\begin{matrix} 0 & 1 & d \\ 0,8 & 0 & 0 \\ 0 & 0,75 & 0,7 \\ \end{matrix}\right)\)

  1. Beschreiben Sie im Sachzusammenhang die Einträge in der zweiten Spalte der Matrix \(B\) im Vergleich zu den Einträgen in der zweiten Spalte der Matrix \(A\).
  2. Wegen der räumlichen Beschränkung will die Tierparkleitung die Gesamtzahl der Wölfe konstant halten. Das soll durch eine strikte Geburtenkontrolle gewährleistet werden.
    Zeigen Sie, dass nur für den Wert \(d=0,1\) eine von \(\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)\) verschiedene stationäre Verteilung existiert, d. h. eine Verteilung, die sich innerhalb eines Jahres nicht ändert.
  3. Ermitteln Sie für den Wert \(d=0,1\) die kleinstmögliche Gesamtpopulation mit stationärer Verteilung \(\vec{n}=\left(\begin{array}{c}n_1\\n_2\\n_3\end{array}\right)\neq\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)\) mit natürlichen Zahlen \(n_1\)\(n_2\) und \(n_3\).

(2 + 7 + 4 Punkte)

Lösung

  1. Im Tierpark gebärt jede junge Fähe nur einen Welpen pro Jahr, dafür aber hat sie eine Chance von 75 %, im nächsten Jahr als Alttier den Park zu durchstreifen. Natürlich können auch im Tierpark Wölfe nicht 2 Jahre lang ein Jahr alt sein oder ein Jahr alte Welpen gebären, deshalb ist der mittlere Wert auch hier 0.
  2. Eine stationäre Verteilung muss ein Eigenvektor der Matrix \(B\) zum Eigenwert 1 sein.
    \(B\cdot X^\text{stat}=\left(\begin{matrix} 0 & 1 & d\\ 0,8 & 0 & 0\\ 0 & 0,75 & 0,7 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}X^\text{stat}_w\\X^\text{stat}_j\\X^\text{stat}_a\end{array}\right)=X^\text{stat}\) bzw.
    \(B-\lambda\cdot{\bf{1}}\cdot X^\text{stat}=0\) (\({\bf{1}}\) ist die Einheitsmatrix.)
    Eine von 0 verschiedene Lösung gibt es genau dann, wenn:
    \(\begin{align} && \det(B-\lambda\cdot{\bf 1})&= 0\\ &\Leftrightarrow& \det\left(\begin{matrix} 1 & 1 & d\\ 0,8 & 1 & 0\\ 0 & 0,75 & -0,3 \end{matrix}\right)&=0\\ &\Leftrightarrow& -0,3+d\cdot 0,75\cdot 0,8+0,24&=0\\ &\Leftrightarrow& d&=0,1 \end{align}\)
  3. Gesucht ist der kleinste Eigenvektor von \(B\) für \(d=0,1\).
    \(\begin{align} &&\left(\begin{matrix} -1 & 1 & 0,1\\ 0,8 & -1 & 0\\ 0 & 0,75 & -0,3 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}X^\text{stat}_w\\X^\text{stat}_j\\X^\text{stat}_a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)\\ &\Leftrightarrow& \begin{matrix} -X^\text{stat}_w & X^\text{stat}_j & 0,1X^\text{stat}_a & = & 0\\ 0,8X^\text{stat}_w & -X^\text{stat}_j & & = & 0\\ & 0,75X^\text{stat}_j & -0,3X^\text{stat}_a& = & 0 \end{matrix} \end{align}\)
    Das Gleichungssystem hat die Lösung \((1; 0,8; 2)\), das ist die stationäre Verteilung. Da Wölfe aber nur in ganzzahligen Mengen auftreten, muss man noch mit 5 multiplizieren.
    \(\left(\begin{array}{c}X^\text{stat}_w\\X^\text{stat}_j\\X^\text{stat}_a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\4\\10\end{array}\right)\)

Aufgabe d)

Für die Population in dem obigen Tierpark wird eine neue Modellierung gewählt: Die Entwicklungsstufe der Welpen wird mit der Überlebensrate von 80 % beibehalten, die Entwicklungsstufen der jungen Fähen und ausgewachsenen Fähen werden zu einer Stufe zusammengefasst. Die neue Modellierung soll durch die Matrix
\(C=\left(\begin{matrix} 0 & g \\ 0,8 & h \end{matrix}\right)\)
mit \(g>0\) und \(0\le h <1\) dargestellt werden. Die Population der Welpen und Fähen soll mit insgesamt 19 Tieren konstant bleiben.

  1. Zeigen Sie, dass in dem neuen Modell eine stationäre Verteilung mit mehr als 10 Welpen nicht vorkommen kann.
  2. Ermitteln Sie die Einträge \(g\) und \(h\) in der Matrix \(C\) so, dass sich eine stationäre Verteilung mit 5 Welpen und 14 Fähen ergibt.
     
  3. Mit den Werten aus 2. ist \(C=\left(\begin{matrix} 0 & \frac{5}{14} \\ 0,8 & \frac{5}{7} \end{matrix}\right)\). Ein Taschenrechner liefert z. B.:
    \(C^{17}=\left(\begin{matrix} 0,2222222218 & 0,27777777779 \\ 0,6222222226 & 0,77777777777 \end{matrix}\right)\)
    Die Potenzen \(C^n\) der Matrix \(C\) streben mit wachsendem \(n\) gegen eine Matrix \(G\).
    Ermitteln Sie die exakten Werte der Einträge von \(G\) aus den Ansätzen:
    \(G\cdot C=G\) und \(G\cdot \left(\begin{array}{c}5\\14\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\14\end{array}\right)\)

(8 + 3 + 7 Punkte)

Lösung

  1. Sei \(z\) die Zahl der Welpen.
    \(\left(\begin{matrix} 0 & g \\ 0,8 & h \\ \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}z\\8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8g\\0,8z+8h\end{array}\right)\stackrel{!}{=} \left(\begin{array}{c}z\\8\end{array}\right)\)
    Dies führt auf das Gleichungssystem:
    \(\begin{matrix} 8g & &= &z \\ & 8h &= & 8-0,8z \\ \end{matrix}\quad\Rightarrow\quad\begin{matrix} g & = &\frac{1}{8}z \\ h& = & 1-0,1z \\ \end{matrix}\)
    Für \(0\le z <10\) erhält man \(h = 1;\;0,9;\;0,8;\,…;\;0,1\). Bei 10 Welpen wird \(h = 0\) (keine Fähe darf überleben/bleiben und neue Welpen müssten eingekauft werden), ab 11 Welpen müsste \(h\) negativ werden, was nach Voraussetzung ausgeschlossen ist.
  2. Stationäre Verteilung aus:
    \(\left(\begin{matrix} 0 & g \\ 0,8 & h \\ \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}5\\14\end{array}\right)\stackrel{!}{=} \left(\begin{array}{c}5\\14\end{array}\right)\)
    Dies führt auf das Gleichungssystem:
    \(\begin{matrix} 14g & &= &5 \\ & 4+14h &= & 14 \\ \end{matrix}\quad\Rightarrow\quad\begin{matrix} g & = &\frac{5}{14} \\ h& = & \frac{5}{7}\\ \end{matrix}\)
  3. Für die Grenzmatrix \(G\) gilt \(G^2 = G\), also führt mehrmaliges Anwenden auf einen Verteilungsvektor immer zu demselben Ergebnis. Wenn man etwa \(G\) auf den Vektor \((4; 15)\) anwendet, gelangt man auf den Vektor \((91/18; 637/45)\).
    \(\left(\begin{matrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \\ \end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix} 0 & \frac{5}{14}\\ \frac{4}{5} & \frac{5}{7} \\ \end{matrix}\right)\stackrel{!}{=} \left(\begin{matrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \\ \end{matrix}\right)\)
    Ausrechnen führt auf das Gleichungssystem:
    \(\begin{align} &\hphantom{\Leftrightarrow}& \begin{matrix} & \tfrac{4}{5}g_{12} & & & = &g_{11}\\ \tfrac{5}{14}g_{11} & +\tfrac{5}{7}g_{12}& & & = &g_{12} \\ & & & \tfrac{4}{5}g_{22}& = &g_{21} \\ & & \tfrac{5}{14}g_{21}& +\tfrac{5}{7}g_{22}& = &g_{22} \end{matrix} \end{align}\)
    Daraus folgt:
    \(\begin{align} &\Leftrightarrow& \begin{matrix} -g_{11}& +\tfrac{4}{5}g_{12} & & & = &0\\ \tfrac{5}{14}g_{11} & -\tfrac{2}{7}g_{12}& & & = &0\\ & & -g_{21}& \tfrac{4}{5}g_{22}& = &0 \\ & & \tfrac{5}{14}g_{21}& -\tfrac{2}{7}g_{22}& = &0 \end{matrix} \end{align}\)
    Da die ersten beiden und die letzten beiden Gleichungen jeweils linear abhängig sind \(\left(\tfrac{2}{7}\cdot \tfrac{14}{5} = \tfrac{4}{5}\right)\), erhält man hieraus nur \(g_{11} = 0,8 g_{12}\) und \( g_{21} = 0,8 g_{22}\). Also muss noch die 2. Matrixgleichung ausgenutzt werden.
    \(\left(\begin{matrix} \tfrac{4}{5}g_{12} & g_{12} \\ \tfrac{4}{5}g_{22} & g_{22} \\ \end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}5\\14\end{array}\right)\stackrel{!}{=} \left(\begin{array}{c}5\\14\end{array}\right)\)
    Dies führt auf das Gleichungssystem:
    \(\begin{matrix} 4g_{12} &+14g_{12} &= &5 \\ 4g_{22} &+14g_{22} &= & 14 \\ \end{matrix}\quad\Rightarrow\quad\begin{matrix} g_{12} & = &\tfrac{5}{18} \\ g_{22}& = & \tfrac{7}{9}\\ \end{matrix}\)
    Damit ist:
    \(G=\left(\begin{matrix} \tfrac{2}{9} & \tfrac{5}{18} \\ \tfrac{28}{45} & \tfrac{7}{9} \\ \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 0,\overline{2} & 0,2\overline{7} \\ 0,6\overline{2}& 0,\overline{7} \\ \end{matrix}\right)\)
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