Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Abi 2015 Stochastik GK HT5


Aufgabenstellung

Eine Firma stellt Bodenfliesen aus Keramik her. Damit eine Fliese als „1. Wahl“ gilt, muss sie strenge Qualitätsnormen erfüllen. Alle anderen Fliesen werden als „2. Wahl“ bezeichnet. Eine Fliese ist erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von \(p = 0,2\) „2. Wahl“ (d. h. mit der Wahrscheinlichkeit von \(0,8\) „1. Wahl“), unabhängig von allen anderen Fliesen. Jede Packung enthält \(20\) Fliesen.

Aufgabe a)

(1) 

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung genau vier „2. Wahl“-Fliesen enthalten sind.

(2) 

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung mindestens \(90\ \%\) der Fliesen die Qualität „1. Wahl“ haben.

(3) 

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen höchstens um \(2\) von der erwarteten Anzahl abweicht.

(2 + 3 + 4 Punkte)

Lösung

(1)

Angabe von Wahrscheinlichkeiten mit der Binomialverteilung (genau 4-mal 2. Wahl)

\(P(X=4)=B(20;0,2;4)=\begin{pmatrix}20\\4\end{pmatrix}\cdot0,2^4\cdot0,8^{16}\approx28,82\ \%\)

Anmerkung: „4-mal 2. Wahl“ ist der Erwartungswert \((n ·p)\).

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

(2)

Angabe von Wahrscheinlichkeiten mit der Binomialverteilung (mind. 18-mal 1. Wahl)

\(P(X\leq2)=F(20;0,2;2)=\sum_{i=0}^2\begin{pmatrix}20\\i\end{pmatrix}\cdot0,2^i\cdot0,8^{20-i}\approx20,61\ \%\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

(3)

Angabe von Wahrscheinlichkeiten mit der Binomialverteilung (mind. 18-mal 1. Wahl)

\(\quad \ P(2\leq x\leq6)=P(X\leq6)-P(X\leq1)=F(20;0,2;6)-F(20;0,2;1)\\ \approx84,41\ \%\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Punkte:  9

Aufgabe b)

Die \(20\) Fliesen einer Packung wurden in \(4\) Reihen mit jeweils \(5\) Fliesen verlegt.

(1) 

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit \(\tilde p\) dafür, dass eine zufällig ausgewählte Reihe nur „1. Wahl“-Fliesen enthält. [Kontrollergebnis: \(\tilde p=0,32768\)]

(2) 

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es mindestens eine Reihe gibt, die nur „1. Wahl“-Fliesen enthält.

(3) 

In einer Reihe wurden sogar genau zwei Fliesen der Qualität „2. Wahl“ verlegt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Fliesen direkt nebeneinanderliegen.

(2 + 5 + 6 Punkte)

Lösung

(1)

Eine Reihe 1. Wahl

\(\tilde p=p^5=32,768\ \%\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

(2)

Mindestens eine Reihe 1. Wahl

Entweder rechnet man \(1 - F(4;0;0,327 68)\) aus oder man argumentiert folgendermaßen: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Reihe nicht nur 1.-Wahl-Fliesen hat, beträgt \(1-\tilde p=67,323\ \%\). Das Ereignis „mindestens eine 1.-Wahl-Reihe“ ist das Gegenereignis von „keine reine 1.-Wahl-Reihe“ bzw. „4-mal nicht nur 1. Wahl in der Reihe“, also beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

\(1-(1-\tilde p)^4\approx 20,43\ \%\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier oder hier.

(3)

Zwei 2.-Wahl-Fliesen nebeneinander in einer 5er-Reihe

Es gibt die folgenden vier Möglichkeiten („günstige Fälle“), die beiden 2.-Wahl-Fliesen nebeneinander zu platzieren:

\(2\) \(2\) \(1\) \(1\) \(1\)
\(1\) \(2\) \(2\) \(1\) \(1\)
\(1\) \(1\) \(2\) \(2\) \(1\)
\(1\) \(1\) \(1\) \(2\) \(2\)

(Wie wahrscheinlich es ist, dass eine 2.- und keine 1.-Wahl-Fliese kommt, spielt hier keine Rolle, da vorausgesetzt wird, dass die Reihe genau \(2\) 2.-Wahl-Fliesen enthält!)

Die Gesamtzahl aller Möglichkeiten („alle Fälle“), zwei 2.-Wahl-Fliesen und drei 1.-Wahl-Fliesen in eine Reihe zu legen, entspricht der Zahl der Variationen ohne Wiederholung für \(n = 5\) und \(k = 2\), also:

\(2!\cdot\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}=20\)

Also beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Reihe mit zwei 2.-Wahl-Fliesen diese beiden Fliesen nebeneinanderliegen:

\(\frac 4 {20}=20\ \%\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Punkte:  13

Aufgabe c)

Für besonders anspruchsvolle Kunden soll eine Sorte „Premium“ angeboten werden, die nur aus „1. Wahl“-Fliesen besteht. Dazu will die Firma die „2. Wahl“-Fliesen aus der Produktion aussortieren. Für einen ersten Sortiervorgang wird ein Testgerät verwendet, das allerdings nicht immer optimal funktioniert.

Das Testgerät erkennt eine „2. Wahl“-Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von \(0,9\) und sortiert sie aus. Andererseits wird eine „1. Wahl“-Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von \(0,05\) zu Unrecht als „2. Wahl“ aussortiert.

(1) 

Stellen Sie die Situation grafisch dar (mit einer Vierfeldertafel oder einem Baumdiagramm mit allen Pfadwahrscheinlichkeiten). Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, mit der das Testgerät eine zufällig ausgewählte Fliese als „1. Wahl“ einstuft (also nicht aussortiert).

(2) 

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Fliese, die bei der Prüfung nicht aussortiert wurde, in Wirklichkeit eine „2. Wahl“-Fliese ist.

(8 + 4 Punkte)

Lösung

(1)

Vierfeldertafel bzw. Baumdiagramm aufstellen und ergänzen

Vierfeldertafel:

 

1. Wahl

2. Wahl

 

durchgelassen

\((1 - 0,05) · 0,8\\ = 0,76\)

\((1 - 0,9) · 0,2 \\= 0,02\)

\(0,78\)

aussortiert

\(0,05 · 0,8 \\= 0,04\)

\(0,9 · 0,2\\ = 0,18\)

\(0,22\)

 

\(0,8\)

\(0,2\)

\(1,00\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier oder hier.

Baumdiagramm:

Abi 2015 Stochastik GK HT5 - Abbildung 1

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier oder hier.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Fliese durchgelassen bzw. nicht aussortiert wird, beträgt \( 76 \ \% + 2\ \% = 78\ \%\).

(2)

Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine nicht aussortierte Fliese 2. Wahl ist

\(P(\text{2.Wahl|nicht auss.})=\frac{P(\text{2.Wahl } \cap \text{ nicht auss.})}{P(\text{nicht auss.})\ =\ \frac{2\ \%}{78\ \%}}\approx2,56\ \%\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Punkte:  12

Aufgabe d)

Die Maschine, mit der die Fliesen hergestellt werden, wird neu eingestellt, da die „2. Wahl“-Wahrscheinlichkeit von \(p = 0,2\) zu groß ist. Der Produktionsleiter möchte mit einem Test überprüfen, ob die neue Einstellung tatsächlich zu einer Verringerung des Ausschussanteils geführt hat. Er entnimmt daher der Tagesproduktion der neu eingestellten Maschine zufällig \(100\) Fliesen und lässt die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen in dieser Stichprobe bestimmen.

(1) 

Ermitteln Sie einen geeigneten Hypothesentest (geben Sie geeignete Hypothesen an, begründen Sie die Wahl von \(H_0\) und ermitteln Sie eine Entscheidungsregel) für die genannte Stichprobe von \(100\) Fliesen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens \(5\ \%\).

(2) 

Die Wahrscheinlichkeit für „2. Wahl“-Fliesen wurde durch die neue Einstellung tatsächlich auf \(p = 0,15\) gesenkt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ihre Entscheidungsregel aus (1) zu einer Fehlentscheidung führt.

(11 + 5 Punkte)

Lösung

(1)

Nullhypothese und Entscheidungsregel

Es handelt sich um einen linksseitigen Hypothesentest: Die Nullhypothese \(H_0\) ist \(p = 0,2\) (keine Veränderung), die Alternativhypothese \(H_1\) ist \(p < 0,2\) (weniger 2.-Wahl-Fliesen).

Erwartungswert und Standardabweichung unter der Voraussetzung H0 (p = 0,2)

\(\mu=n\cdot p=20; \quad\sigma=\left|n\cdot p\cdot (1-p)\right|=4>3\)

Es ist also zulässig, die Binomialverteilung durch die Normalverteilung anzunähern.

Ein Fehler 1. Art wird gemacht, wenn bei Vorliegen der Nullhypothese die Alternativhypothese angenommen wird (fälschliche Wahl der Alternative), im Sachzusammenhang also die Annahme, dass die neue Maschine weniger 2.-Wahl-Fliesen herstellt, obwohl sie das nicht tut.

Als Entscheidungsregel wählen wir eine Fliesenzahl \(20 - K\), unterhalb der wir die Alternativhypothese (weniger 2. Wahl) annehmen. Die Wahrscheinlichkeit, dass dies fälschlicherweise bei Vorliegen der Nullhypothese \(p = 0,2\) geschieht, soll kleiner als \(5\ \%\) sein.

\(P(X\leq\mu-K)\leq0,05 \Leftrightarrow P(X\leq\mu+K)\geq0,95)\)

Mit \(K = 1,64,\ \sigma = 6,56\) erhalten wir als Entscheidungsregel, dass von den \(100\) Fliesen höchstens \(13\) 2. Wahl sein dürfen, wenn wir glauben wollen, dass die neue Maschine weniger 2. Wahl auswirft als die alte.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier oder hier.

(2)

Fehler 2. Art

Ein Fehler 2. Art wird gemacht, wenn die Nullhypothese falsch ist, d. h., wenn die Alternativhypothese zutrifft (neue Maschine ist wirklich besser), man aber trotzdem die Alternative (und damit die neue Maschine) verwirft (fälschliches Beharren auf der Nullhypothese).

\(\mu=n\cdot p=15; \quad\sigma=\left|n\cdot p\cdot (1-p)\right|=\approx3,5707>3\)

Auch mit den unter der neuen Wahrscheinlichkeitsverteilung geänderten Werten für Erwartungswert und Standardabweichung ist die Näherung durch die Normalverteilung gerechtfertigt.

Die Entscheidungsregel aus d (1) besagt, dass man bei mehr als \(13\) Fliesen davon ausgeht, dass die Maschine immer noch mit \(20\ \%\) Wahrscheinlichkeit 2. Wahl produziert. Gefragt ist jetzt die Wahrscheinlichkeit für mindestens \(14\) 2.-Wahl-Fliesen, wenn deren Anteil insgesamt \(15\ \%\) beträgt.

Dazu müssen wir noch auf Standardwerte normieren, also:

\(X\rightarrow X^*=\frac{X\ -\ \mu}{\sigma}\approx\frac{X\ -\ \mu}{3,5707}\)

\(P_{0,15}(X\geq14)=P_{0,15}\left(X^*\geq-\frac{1}{3,57}\right)=\Phi\left(-\frac{1}{3,57}\right) =\Phi\left(0,28\right)\approx61\ \%\)

Alternativ kann man natürlich auch die Binomialverteilung benutzen. Dann erhält man:

\(P_{0,15}(X\geq14)=1-F(100;13;0,15)=1-34,74\ \%=65,26\ \%\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier oder hier.

  • Punkte:  16
Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Musterlösungen findest du hier