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Abi 2015 Stochastik GK HT4


Aufgabenstellung

Im Folgenden betrachten wir die Entwicklung von Wolfspopulationen. Dabei beschränken wir uns ausschließlich auf die weiblichen Mitglieder einer Population, die aus Welpen (\(w\)), jungen Fähen (\(j\)) sowie ausgewachsenen Fähen (\(a\)) bestehen soll. Alle Fähen sind vermehrungsfähig. Die Welpen entwickeln sich ein Jahr nach der Geburt zu jungen Fähen und ein Jahr später zu ausgewachsenen Fähen. Die folgende Tabelle zeigt die Verteilung einer in der Wildnis lebenden Population für die Jahre 2013 und 2014:

  \(2013\) \(2014\)
\(w\) \(65\) \(52\)
\(j\) \(8\) \(26\)
\(a\) \(20\) \(16\)

Modellhaft lässt sich die Entwicklung mit der Matrix \(A\) beschreiben.

\(\begin{array}\\ &\text{von:}&\quad \quad \quad w\ \ \ \quad j\ \ \quad a\\ \text{nach:}&\\ \begin{array}\\ w\\j\\a \end{array}&&A=\begin{pmatrix}0&1,5&2\\b&0&0\\0&0,5&0,6\end{pmatrix} \end{array}\)

Aufgabe a)

(1) 

Begründen Sie mit den Daten aus der Tabelle, dass \(b=0,4\) gilt.

(2) 

Interpretieren Sie die weiteren von Null verschiedenen Einträge in der Matrix \(A\) im Sachzusammenhang.

(3 + 4 Punkte)

Lösung

(1)

Überlebenschancen der Welpen

Eine junge Fähe kann nur ein Welpe des Vorjahres gewesen sein, da nur Welpen geboren werden. Deshalb hat der zweite Zeilenvektor der Übergangsmatrix die Form \((b, 0, 0)\)\(2014\) gab es \(26\) junge Fähen, ein Jahr vorher \(65\), das Verhältnis aus beiden Zahlen ist \(0,4\).

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

(2)

Überlebenschancen der Welpen

Der 1. Zeilenvektor gibt an, woher neue Welpen kommen: Jede junge Fähe bringt im Jahr \(1,5\) Welpen auf die Welt, jede alte Fähe \(2\).

Der 3. Zeilenvektor schließlich gibt die Überlebenschancen der jungen und alten Fähen an: \(50\ \%\) der jungen Fähen sind im nächsten Jahr alte Fähen (und nicht tot), \(60\ \%\) der alten Fähen sind im nächsten Jahr noch am Leben und damit alte Fähen geblieben. (Überlebende Welpen sind im nächsten Jahr junge und keine alten Fähen.)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Aufgabe b)

(1) 

Berechnen Sie die Verteilungen, die nach diesem Modell in den Jahren \(2015\) und \(2016\) zu erwarten sind.

(2) 

Bestimmen Sie die Verteilung, die nach diesem Modell im Jahr \(2012\) vorgelegen hätte.

(3) 

Zeigen Sie, dass sich in diesem Modell die Population aus \(2011\) nicht bestimmen lässt.

(4) 

Ein Biologe behauptet, dass weniger als \(15\ \%\) aller Welpen mindestens ein Alter von drei Jahren erreichen.
Prüfen Sie, ob nach der obigen Modellierung mit der Matrix \(A\) die Behauptung des Biologen zutrifft.

(4 + 5 + 3 + 4 Punkte)

Lösung

(1)

Verteilungen für 2015 und 2016

Wenn \(X_{2014}\) den Verteilungsvektor für \(2014\) bezeichnet, dann haben wir:

\(X_{2015}=A\cdot X_{2014}=\begin{pmatrix}0&1,5&2\\0,4&0&0\\0&0,5&0,6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}52\\26\\16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}71\\20,8\\22,6\end{pmatrix}\\ X_{2016}=A\cdot X_{2015}=\begin{pmatrix}0&1,5&2\\0,4&0&0\\0&0,5&0,6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}71\\20,8\\22,6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}76\\28,4\\23,96\end{pmatrix}\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

(2)

Verteilung für 2012

Hierfür muss die Inverse der Matrix \(A\) berechnet werden.

\(X_{2012}=A^{-1}\cdot X_{2013}=\begin{pmatrix}0&2,5&0\\-6&0&20\\5&0&-15\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}65\\8\\20\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20\\10\\25\end{pmatrix}\\ \)

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(3)

Verteilung für 2011

Hierfür muss die Inverse der Matrix \(A\) berechnet werden.

\(X_{2011}=A^{-1}\cdot X_{2012}=\begin{pmatrix}0&2,5&0\\-6&0&20\\5&0&-15\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}20\\10\\25\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}25\\380\\-275\end{pmatrix}\\ \)

Diese Werte sind offenkundig unsinnig: Die Zahl der alten Fähen kann nicht negativ werden und der Wert \(380\) für die jungen Fähen ist zumindest unnatürlich hoch.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

(4)

Verteilung nach 3 Jahren

Hierfür muss die Potenz \(A^3\) berechnet werden.

\(X_{t+3}=A^{3}\cdot X_{t};\ A^3=\begin{pmatrix}0,4&1,5&1,92\\0,24&0,4&0,48\\0,12&0,48&0,616\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}20\\10\\25\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}25\\380\\-275\end{pmatrix}\\ \)

Der 1. Wert in der 3. Zeile gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein Welpe 3 Jahr später ein (lebendiges) Alttier ist. Sie beträgt \(12\ \%\) und damit weniger als die behaupteten \(15\ \%\).

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Aufgabe c)

Wölfe, die in einem Tierpark leben, haben andere Überlebens- und Fortpflanzungsraten. Für einen Tierpark kann die Entwicklung seiner Wolfspopulation durch die folgende Matrix \(B\) modelliert werden.

\(B=\begin{pmatrix}0&1&0,1\\0,8&0&0\\0&0,75&0,7\end{pmatrix}\)

(1) 

Beschreiben Sie im Sachzusammenhang die Einträge in der zweiten Spalte der Matrix \(B\) im Vergleich zu den Einträgen in der zweiten Spalte der Matrix \(A\).

(2) 

Wegen der räumlichen Beschränkung will die Tierparkleitung die Gesamtzahl der Wölfe konstant halten. Das soll durch eine strikte Geburtenkontrolle gewährleistet werden. Zeigen Sie, dass eine von \(\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\) verschiedene stationäre Verteilung existiert, d. h. eine Verteilung, die sich innerhalb eines Jahres nicht ändert.

(3) 

Ermitteln Sie die kleinstmögliche Gesamtpopulation mit stationärer Verteilung \(\vec n=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\) \(n_1,\ n_2\) und \(n_3\).

(2 + 7 + 4 Punkte)

Lösung

(1)

Wie geht es den jungen Fähen im Tierpark?

Im Tierpark gebärt jede junge Fähe nur einen Welpen pro Jahr, dafür aber hat sie eine Chance von \(75\ \%\), im nächsten Jahr als Alttier den Park zu durchstreifen. Natürlich können auch im Tierpark Wölfe nicht 2 Jahre lang ein Jahr alt sein oder ein Jahr alte Welpen gebären, deshalb ist der mittlere Wert auch hier \(0\).

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(2)

Eigenvektor von B (Existenz)

Eine stationäre Verteilung muss ein Eigenvektor der Matrix \(B\) zum Eigenwert \(1\) sein.

\(B\cdot X^{stat}=\begin{pmatrix}0&1&0,1\\0,8&0&0\\0&0,75&0,7\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}X_w^{stat}\\X_j^{stat}\\X_w^{stat}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}X_w^{stat}\\X_j^{stat}\\X_w^{stat}\end{pmatrix}=X^{stat}\\ \text{bzw.}\\ B-\lambda\cdot\mathbf{1}\cdot X^{stat}=0\)

(1 ist die Einheitsmatrix.) Eine von \(0\) verschiedene Lösung gibt es genau dann, wenn:

\(\qquad det(B-\lambda\cdot\mathbf 1\cdot X^{stat})=0\\ \Leftrightarrow \ \ det\begin{pmatrix}1&1&0,1\\0,8&1&0\\0&0,75&-0,3\end{pmatrix}=-0,3+0,06+0,24=0\)

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(3)

Kleinster Eigenvektor von B

\(\begin{pmatrix}-1&1&0,1\\0,8&-1&0\\0&0,75&-0,3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}X_w^{stat}\\X_j^{stat}\\X_a^{stat}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\\ \)

\(\Rightarrow \begin{array}\\ -X_w^{stat}&X_j^{stat}&0,1X_a^{stat}&=&0\\ 0,8X_w^{stat}&-X_j^{stat}&&=&0\\ &0,75X_j^{stat}&-0,3X_a^{stat}&=&0 \end{array}\)

Das Gleichungssystem hat die Lösung \((1; 0,8; 2)\), das ist die stationäre Verteilung. Da Wölfe aber nur in ganzzahligen Mengen auftreten, muss man noch mit \(5\) multiplizieren.

\(\begin{pmatrix}X_w^{stat}\\X_j^{stat}\\X_a^{stat}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\4\\10\end{pmatrix}\)

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Aufgabe d)

Für die Population in dem obigen Tierpark wird eine neue Modellierung gewählt: Die Entwicklungsstufe der Welpen wird mit der Überlebensrate von \(80\ \%\) beibehalten, die Entwicklungsstufen der jungen Fähen und ausgewachsenen Fähen werden zu einer Stufe zusammengefasst. Die neue Modellierung soll durch die Matrix
\(C=\begin{pmatrix}0&g\\0,8&h\end{pmatrix}\)
mit \(0 > g\) und \(0\leq h<1\) dargestellt werden. Die Population der Welpen und Fähen soll mit insgesamt \(19\) Tieren konstant bleiben.

(1) 

Zeigen Sie, dass in dem neuen Modell eine stationäre Verteilung mit 11 Welpen nicht vorkommen kann.

(2) 

Zeigen Sie, dass sich für \(g=\frac 5{14}\) und \(h=\frac 5{7}\) eine stationäre Verteilung mit \(5\) Welpen und \(14\) Fähen ergibt.

(3) 

Mit den Werten aus (2) ist \(C=\begin{pmatrix}0&\frac5{14}\\0,8&\frac5 7\end{pmatrix}\). Ein Taschenrechner liefert z. B.:

\(C^{17}=\begin{pmatrix}0,2222222218&0,2777777779\\0,6222222226&0,7777777777\end{pmatrix}\)

Die Potenzen \(C^n\) der Matrix \(C\) streben mit wachsendem \(n\) gegen die Matrix \(G=\begin{pmatrix}\frac2{9}&\frac5{18}\\\frac{28}{45}&\frac7 9\end{pmatrix}\). Mithilfe der Matrix \(G\) lässt sich die langfristige Entwicklung einer Population ermitteln. Leider fallen in einem Jahr alle fünf Welpen der Population einer Infektionskrankheit zum Opfer. Daraufhin beschließt die Tierparkleitung die Anschaffung von vier zusätzlichen Fähen. Ermitteln Sie die langfristige Entwicklung der neuen Population.

(7 + 2 + 5 Punkte)

Lösung

(1)

Keine stationäre Verteilung mit 11 Welpen

\(\begin{pmatrix}0&g\\0,8&h\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}11\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8g\\8,8+8h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11\\8\end{pmatrix}\)

Dies führt auf das Gleichungssystem

\(\begin{array}{}\\ 8g&&=&11\\ &8h&=&-0,8 \end{array}\)

mit den Lösungen \(g = \frac{11}{8}\) und \(h = -0,1\), negative \(h\) sind aber nicht zugelassen.

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(2)

Stationäre Verteilung mit 5 Welpen

\(\begin{pmatrix}0&\frac5{14}\\\frac 4 5&\frac5 7\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}5\\14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\\frac{20}5+\frac{70}7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\14\end{pmatrix}\)

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(3)

Grenzverteilung/-matrix

Für die Grenzmatrix \(G\) gilt \(G^2 = G\), also führt mehrmaliges Anwenden auf einen Verteilungsvektor immer zum selben Ergebnis. Wenn man etwa \(G\) auf den Vektor \(\begin{pmatrix} 4\\15\end{pmatrix}\) anwendet, gelangt man auf den Vektor \(\begin{pmatrix} \frac{91}{18}\\\frac{637}{45}\end{pmatrix}\).

\(\begin{pmatrix}\frac2{9}&\frac5{18}\\\frac{28}{45}&\frac7 9\end{pmatrix}^n\cdot\begin{pmatrix}4\\15\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{91}{18}\\\frac{637}{45}\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}5,06\\14,16\end{pmatrix}\)

Dieser Vektor ist also ein Eigenvektor von \(G\) zum Eigenwert \(1\) und damit eine stationäre Verteilung. Allerdings beschreibt er keine reale Situation, da real die Wölfinnen, wie gesagt, immer ganzzahlig sind.

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