Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Abi 2015 Stochastik GA


Aufgabe 2A

Zur Fußballweltmeisterschaft 2014 in Brasilien wurde ein Sammelbuch für die 23 Bilder der deutschen Nationalspieler auf den Markt gebracht. Die zu kaufenden Bilder sind einzeln in undurchsichtiger Folie verpackt. Im Folgenden wird angenommen, dass von jedem Spieler gleich viele Bilder auf dem Markt sind. 

Die Zufallsgröße \(X\) zählt die Anzahl der gekauften Bilder, die Torwart Neuer zeigen, und wird als binomialverteilt angenommen. 

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem Kauf von zehn Bildern mindestens zweimal das Bild von Neuer enthalten ist. Einem Sammler fehlt nur noch das Bild von Torwart Neuer. Bestimmen Sie die Mindestanzahl der zu kaufenden Bilder, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(75\ \%\) mindestens einmal ein Bild von Neuer zu
besitzen.

(8 BE)

b) Ein Supermarkt hat 1000 Bilder im Angebot. Geben Sie die Bedeutung des Intervalls 
\(\left[1000\cdot \frac 1 {23}-1,96\cdot\sqrt{100\cdot\frac 1 {23}\cdot\frac {22} {23}};\ 1000\cdot \frac 1 {23}+1,96\cdot\sqrt{100\cdot\frac 1 {23}\cdot\frac {22} {23}}\right]\)
im Sachzusammenhang an.

(4 BE)

c) Jemand möchte eine vollständige Bilderserie haben. Begründen Sie, dass er noch durchschnittlich 23 Bilder erwerben muss, wenn nur noch ein Bild fehlt. 

Untersuchen Sie die Gültigkeit folgender Aussage: Man muss durchschnittlich 46 Bilder erwerben, wenn noch zwei Bilder fehlen.  

(5 BE)

Lösung

a)

Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit

Die vorgegebene Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 10\) und \(p=\frac 1 {23}\).

Damit folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

\(P(X\geq2)=1-P(X\leq1)=1-binomcdf(10;\frac 1 {23};1)\approx0,067\)

Ergebnis

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. \(6,7\ \%\) befinden sich unter 10 gekauften Bildern mindestens 2 von Torwart Neuer.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Bestimmung der Mindestanzahl

Laut Vorgabe ist nun \(P(X\geq1)\geq0,75\).

Es folgt:

\(P(X\geq1)=1-P(X=0)\geq0,75\Leftrightarrow P(X=0)\leq0,25\)

Weiterhin ist:

\(P(X=0)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\cdot\left(\frac 1 {23}\right)^0 \cdot\left(\frac {22} {23}\right)^n=1\cdot1\cdot\left(\frac {22}{23}\right)^n=\left(\frac {22}{23}\right)^n\leq0,25\)

Die Ungleichung wird nach \(n\) aufgelöst.

\(\left(\frac {22}{23}\right)^n\leq0,25\Leftrightarrow \mathrm{ln}\left(\left(\frac{22}{23}\right)^n\right)=n\cdot\mathrm{ln}\left(\frac{22}{23}\right)\leq \mathrm{ln}(0,25)\\ \Leftrightarrow n\geq\frac{\mathrm{ln}(0,25)}{\mathrm{ln}\frac{22}{23}}\approx31,19\)

Ergebnis

Es müssen mindestens 32 Bilder gekauft werden, um mit mindestens \(75\%\)iger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal das Bild von Torwart Neuer dabeizuhaben.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier oder hier.

b)

Bedeutung des Intervalls

In der Aufgabenstellung liegt ein zum Erwartungswert \(\mu=n\cdot p\) symmetrisches Intervall vor. Aufgrund des Faktors \(1,96 \) handelt es sich um ein \(95\text{-}\%\)-Intervall.

Im Sachzusammenhang bedeutet das, dass der Supermarkt bei 1000 Bildern mit einer Wahrscheinlichkeit von \(95\ \%\) ein bestimmtes Bild eines Fußballers zwischen \(\left[1000\cdot \frac 1 {23}-1,96\cdot\sqrt{100\cdot\frac 1 {23}\cdot\frac {22} {23}}\right]\)-mal und \(\left[\ 1000\cdot \frac 1 {23}+1,96\cdot\sqrt{100\cdot\frac 1 {23}\cdot\frac {22} {23}}\right]\)-mal vorliegen hat.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

c)

Begründung der Aussage

Aufgrund der Gleichverteilung der Bilder ergibt sich für den Kauf eines Bildes eine Wahrscheinlichkeit von \(p=\frac 1 {23}\) dafür, dass die Serie anschließend komplett ist. Also erwartet man bei durchschnittlich jedem 23. Bild eine vollständige Serie, wenn zuvor nur ein Bild fehlte. Insofern muss man durchschnittlich bei einem fehlenden Bild 23 Bilder erwerben.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Untersuchung der Aussage

Die Aussage ist nicht korrekt.

Wenn nämlich zunächst noch 2 Bilder fehlen, ist die Wahrscheinlichkeit größer, eines der beiden fehlenden Bilder zu erhalten, als zuvor bei nur einem fehlenden Bild. Somit muss man weniger als durchschnittlich 23 Bilder kaufen, um eines der beiden fehlenden Bilder zu erhalten. Das bedeutet aber auch, dass man dann insgesamt weniger als durchschnittlich 46 Bilder kaufen muss, um beide fehlenden Bilder zu bekommen.

  • Punkte:  17

Aufgabe 2B

Vor einer Wahl führen die drei Parteien \(A\), \(B\) und \(C\) verschiedene Umfragen unter Wahlberechtigten durch.

a) Partei \(A\) führt eine Umfrage unter \(400\) Personen durch. Die Zufallsgröße \(X\), die die Anzahl der Personen beschreibt, die Partei \(A\) wählen wollen, soll als binomialverteilt angenommen werden. Es wird angenommen, dass der Wähleranteil für Partei \(A\) \(18\ \%\) beträgt. 

Bestimmen Sie 

  • die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der Umfrage mindestens \(65\) Personen Partei \(A\) wählen wollen.
  • das kleinste um den Erwartungswert von \(X\) symmetrische Intervall, in dem das Ergebnis dieser Umfrage mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(95\ \%\) liegt.

(8 BE)

b) Es wird eine Umfrage unter \(1000\) Wahlberechtigten durchgeführt. \(34\ \%\) der Personen geben an, Partei \(B\) wählen zu wollen, \(12\ \%\) der Personen geben an, Partei \(C\) wählen zu
wollen. Es wird behauptet, dass die beiden Parteien \(B\) und \(C\) zusammen mindestens \(50\ \%\) der Stimmen erreichen. 

Untersuchen Sie mithilfe eines Vertrauensintervalls zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von \(95\ \%\), ob diese Behauptung mit dem Ergebnis der Umfrage verträglich ist. 

(5 BE)

c) Es werden \(50\) gleich große Stichproben simuliert. Für diese werden jeweils die zugehörigen Vertrauensintervalle für die beiden Sicherheitswahrscheinlichkeiten \(70\ \% \) und \(99\ \%\) berechnet.
Die Abbildungen \(1\) und \(2\) zeigen jeweils die \(50\) berechneten Vertrauensintervalle als Strecken übereinander. Geben Sie eine Interpretation der Sicherheitswahrscheinlichkeit \(70\ \% \) im Hinblick auf den unbekannten Anteil \(p\) der Grundgesamtheit an. 
Entscheiden Sie, welche der beiden Abbildungen zur Sicherheitswahrscheinlichkeit \(70\ \% \) und welche zur Sicherheitswahrscheinlichkeit \(99\ \%\) gehört. 

(4 BE)

Abi 2015 Stochastik GA - Abbildung 1

Lösung

a)

Bestimmung der Wahrscheinlichkeit

Die Zufallsgröße \(X\) ist laut Vorgabe binomialverteilt mit \(n = 400\) und \(p = 0,18\).

Damit ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

\(P(X\geq65)=1-P(X\leq64)=1-binomcdf(400;0,18;64)\approx0,835\)

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den \(400\) Personen der Umfrage mindestens \(65\) die Partei \(A\) wählen wollen, beträgt ca. \(83,5\ \%\).

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Bestimmung des symmetrischen Intervalls

Der Erwartungswert beträgt \(\mu=400\cdot0,18=72\).

Da \(\sigma=\sqrt{400\cdot0,18\cdot0,82}\approx7,7>3\) ist, kann hier die \(95\text{-}\%\)-Sigma-Regel angewendet werden.

Es folgt:

\(\left[400\cdot0,18-1,96\cdot\sqrt{400\cdot0,18\cdot 0,82};\quad400\cdot0,18+1,96\cdot\sqrt{400\cdot0,18\cdot 0,82}\right]\\=[56,94;\ 87,06]\)

Nun ist:

\(P(57\leq X\leq87)=binomcdf(400;0,18;87)-binomcdf(400;0,18;56)\\\approx0,957>0,95\)

Des Weiteren ist:

\(P(56\leq X\leq86)=binomcdf(400;0,18;86)-binomcdf(400;0,18;57)\\\approx0,941>0,95\)

Ergebnis

Das gesuchte Intervall lautet \([57;87]\).

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier oder hier.

b)

Untersuchung der Behauptung

\(34\ \% + 12\ \% = 46\ \%\) gaben in der Umfrage an, Partei \(B\) oder \(C\) wählen zu wollen.

Mit \(X\): Anzahl der Wähler von \(1000\) Wahlberechtigten, die Partei \(B\) oder \(C\) wählen wollen, liegt eine Zufallsgröße \(X\) vor, die binomialverteilt ist mit \(n= 1000\) und unbekanntem \(p\).

Mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von \(g = 95\ \%\) liegt das Stichprobenergebnis in der Umgebung \(1,96\cdot\frac{\sigma}{n}\) der unbekannten Wahrscheinlichkeit \(p\).

Damit folgt mit den konkreten Zahlenwerten:

\(\mid0,46-p\mid\leq1,96\cdot\sqrt{\frac{p\ \cdot\ (1\ -\ p)}{1000}}\)

Diese Ungleichung wird im Graphfenster des Taschenrechners gelöst.

Die Schnittstellen beider Graphen geben die Grenzen des Vertrauensintervalls an.

Im Ergebnis erhält man das Vertrauensintervall \([0,4293; 0,4910]\).

Abi 2015 Stochastik GA - Abbildung 2

Ergebnis

Da die rechte Intervallgrenze kleiner als \(50\ \%\) ist, ist die Behauptung nicht mit dem Ergebnis der Umfrage verträglich.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

c)

Interpretation der Sicherheitswahrscheinlichkeit

Im Hinblick auf den unbekannten Anteil in der Grundgesamtheit bedeutet die Sicherheitswahrscheinlichkeit von \(70\ \%\), dass von den \(50\) berechneten Vertrauensintervallen \(70\ \%\), was \(35\) sind, das unbekannte \(p\) im Intervall enthalten.

Entscheidung, welche Abbildung zu welcher Sicherheitswahrscheinlichkeit gehört

Je kleiner die Sicherheitswahrscheinlichkeit ist, desto kleiner ist der Vorfaktor vor der Wurzel. Infolgedessen verkleinert sich auch das Vertrauensintervall. Somit gehört zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von \(70\ \%\) die Abbildung 2, da dort kleinere Intervalle als in Abbildung 1 zu sehen sind.

Die Sicherheitswahrscheinlichkeit von \(99\ \%\) gehört demnach zur Abbildung 1.

  • Punkte:  17
Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Musterlösungen findest du hier