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Abi 2015 Stochastik eA (CAS)


Aufgabe 2A

Eine Firma stellt Bolzen und Buchsen her. Dabei sollen die Bolzen in die Buchsen passen.
Die Zufallsgröße \(X\) gibt den Außendurchmesser der Bolzen in Millimetern, die Zufallsgröße \(Y\) den Innendurchmesser der Buchsen in Millimetern an. Beide Zufallsgrößen sollen als normalverteilt angesehen werden.
Nach bisherigen Erfahrungen geht man bei den Bolzen von einem Erwartungswert \(\mu_X=9,82\) mm und einer Standardabweichung \(\sigma_X=0,09\) mm aus. Bei den Buchsen geht man von einem Erwartungswert \(\mu_Y=10,12\) mm und einer Standardabweichung \(\sigma_Y=0,11\) mm aus.

  1. ​Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Außendurchmesser eines zufällig ausgewählten Bolzens höchstens 9,70 mm beträgt.
    Bestimmen Sie die untere Grenze \(u\) so, dass für 75% aller Außendurchmesser d der Bolzen gilt: \(u\le d\le 9,90\).
    Durch eine neue Vorgabe sollen 90% der Außendurchmesser der Bolzen nur 1% vom Erwartungswert \(\mu_X=9,82\) mm nach unten oder nach oben abweichen.
    Bestimmen Sie die dafür benötigte Standardabweichung auf zwei Nachkommastellen gerundet.
  2. Es werden der laufenden Produktion 100 Buchsen zufällig entnommen. 
    Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei mindestens 90 aller entnommenen Buchsen ein Bolzen mit einem Außendurchmesser von 10,00 mm hineinpasst.
  3. Die Zufallsgröße \(W\) mit \(W=Y-X\) ist normalverteilt. Für den Erwartungswert \(\mu_W\) gilt \(\mu_W=\mu_Y-\mu_X\).
    In der untenstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichte \(\varphi\) dargestellt. Zusätzlich ist der Wert von
    \(\int\limits^{\mu_W+1,96\sigma_W}_{\mu_W-1,96\sigma_W}\varphi(w)\text{d}w\)
    in der zugehörigen schraffierten Fläche in Prozent angegeben.
    Zeigen Sie mithilfe der Grafik, dass \(\sigma_W> \sigma_X\)  gilt.
    Untersuchen Sie mithilfe der Grafik die Gültigkeit folgender Aussage:
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Bolzen in eine zufällig ausgewählte Buchse passt, ist größer als 97,5%.

    Abi 2015 Stochastik eA (CAS) - Abbildung 1

(10 + 6 + 8 BE)

Lösung

  1. Wahrscheinlichkeit bestimmen:
    Die Zufallsgröße \(X\) – Außendurchmesser der Bolzen in mm – ist normalverteilt mit den Parametern: \(\mu_X=9,82\) und \(\sigma_X=0,09\).
    \(P(X\le 9,70)=\int_{9,70}^{-\infty}\varphi_{\mu, \sigma_X}(x)\text{d}x=0,091211.\)
    Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Außendurchmesser höchstens 9,70 mm beträgt, ist etwa 9,12%.
    Untere Grenze bestimmen:
    Es ist ein \(u\) zu bestimmen, sodass gilt: \(P(u\le X\le9,90)=0,75.\) Mittels CAS kann man die Lösung direkt ermitteln.
    Die untere Grenze beträgt etwa 9,68 mm.

    Abi 2015 Stochastik eA (CAS) - Abbildung 2

    Standardabweichung bestimmen:
    1%-Bereich von \(\mu\):
    \(0,99\cdot 9,82=9,7218\)
    \(1,01\cdot 9,82=9,9182\)
    Gesucht ist \(\sigma\), sodass gilt: \(P(9,7218\le X\le 9,9182)=0,9. \)
    Die benötigte Standardabweichung beträgt circa 0,06 mm.

    Abi 2015 Stochastik eA (CAS) - Abbildung 3

    Hinweis: Alternative Lösungswege

    Abi 2015 Stochastik eA (CAS) - Abbildung 4

    Abi 2015 Stochastik eA (CAS) - Abbildung 5
     
  2. Wahrscheinlichkeit bestimmen:
    Es werden folgende Zufallsgrößen betrachtet:
    \(Y\) – Innendurchmesser einer Buchse in mm
    \(Y\) ist normalverteilt mit \(\mu_Y=10,12\) mm und \(\sigma_Y=0,11\) mm.
    \(Z\) – Anzahl der entnommenen Buchsen, in die ein Bolzen mit 10,00 mm Außendurchmesser hineinpasst.

    \(Z\) ist binomialverteilt mit \(n=100\) und \(p=P(Y\ge 10,00).\)
    Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 17,22%.

    Abi 2015 Stochastik eA (CAS) - Abbildung 6

    Abi 2015 Stochastik eA (CAS) - Abbildung 7
     
  3. Zeigen, dass \(\sigma_W>\sigma_X\) gilt:

    Abi 2015 Stochastik eA (CAS) - Abbildung 8

     

    Die Zufallsgröße \(W = Y – X\) ist normalverteilt mit \(\mu_W=\mu_X-\mu_Y=10,12-9,82=0,3.\). Die grau schraffierte Fläche ist der \(1,96\sigma\)-Bereich, da 95% der Ausgänge in ihr liegen.
    Es gilt:
    \(\mu_W+1,96\sigma_W\approx 0,58;\;\mu_W-1,96\sigma_W\approx 0,02.\)
    Durch Umstellen einer der beiden obigen Gleichungen erhält man \(\sigma_W=\frac{0,28}{1,96}\approx0,1485>\sigma_X=0,09.\)

    Gültigkeit der Aussage untersuchen:
    Wenn ein zufällig ausgewählter Bolzen in eine zufällig ausgewählte Buchse passt, gilt: \(W > 0\).
    Für diese Wahrscheinlichkeit gilt:
    \(P(W>0)=P(0\le W\le 0,02)+0,95+0,025=P(0\le W\le 0,02)+0,975>0,975.\)

Aufgabe 2B

Vor einer Wahl führen die drei Parteien A, B und C verschiedene Umfragen unter Wahlberechtigten durch.

  1. Partei A führt eine Umfrage unter 400 Personen durch. Die Zufallsgröße \(X\), die die Anzahl der Personen beschreibt, die Partei A wählen wollen, soll als binomialverteilt angenommen werden.
    Es wird angenommen, dass der Wähleranteil für Partei A 18% beträgt.
    Bestimmen Sie
    • die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der Umfrage mindestens 65 Personen und höchstens 80 Personen Partei A wählen wollen.
    • das kleinste um den Erwartungswert von \(X\) symmetrische Intervall, in dem das Ergebnis dieser Umfrage mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% liegt.
  2. Es wird eine Umfrage unter 1000 Wahlberechtigten durchgeführt. 34% der Personen geben an, Partei B wählen zu wollen, 12% der Personen geben an, Partei C wählen zu wollen. Es wird behauptet, dass die beiden Parteien B und C zusammen mindestens 50% der Stimmen erreichen.
    Untersuchen Sie mithilfe eines Vertrauensintervalls zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95%, ob diese Behauptung mit dem Ergebnis der Umfrage verträglich ist. 
    Eine zweite Umfrage unter 1000 Wahlberechtigten liefert für Partei B zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95% das Vertrauensintervall \([0,3204;b]\).
    Bestimmen Sie den Wert von \(b\).
  3. Es werden 1000 gleich große Stichproben simuliert. Für diese werden jeweils die zugehörigen Vertrauensintervalle für die beiden Sicherheitswahrscheinlichkeiten 75% und 99% berechnet.
    Die folgenden beiden Abbildungen zeigen als Häufigkeitsdiagramme jeweils die linken Intervallgrenzen der zugehörigen Vertrauensintervalle.

    Abi 2015 Stochastik eA (CAS) - Abbildung 9

    Abi 2015 Stochastik eA (CAS) - Abbildung 10

    Geben Sie eine Interpretation der Sicherheitswahrscheinlichkeit 75% im Hinblick auf den unbekannten Anteil \(p\) der Grundgesamtheit an.
    Entscheiden Sie, welche der beiden Abbildungen zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 75% und welche zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 99% gehört.

(9 + 10 + 5 BE)

Lösung

  1. Wahrscheinlichkeit bestimmen:
    \(X\) – Anzahl der Personen, die Partei A wählen wollen
    \(X\) ist nach Aufgabenstellung binomialverteilt mit \(p = 0,18\) und \(n = 400\).
    Gesucht ist 
    \(P(65\le X \le 80)= \text{binomialCDf}(65,80,400,0.18)=0.700503\)
    Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 70,1%.
    Erwartungswert bestimmen:
    \(\mu=E(X)=n\cdot p=400\cdot 0,18=72.\)


    Abi 2015 Stochastik eA (CAS) - Abbildung 11
    Kleinstes symmetrisches Intervall bestimmen:
    Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl \(x\), für die gilt:
    \(P(72-x\le X \le 72+x).\)
    Dies erhält man aus der Tabelle, indem man sich die Funktion 
    \(Y=\text{binomialCDf}(72-x, 72+x,400,0.18)\) darstellen lässt. Dies gilt für \(x\ge 15.\)
    Das gesuchte Intervall ist: \([72-15;72+15]=[57;87].\)

    Abi 2015 Stochastik eA (CAS) - Abbildung 12
     
  2. Behauptung untersuchen:
    \(Y\) – Anzahl der Wähler, die die Parteien B oder C wählen
    \(Y\) ist binomialverteilt mit \(n = 1000\), wobei \(p\) unbekannt ist.
    Das Stichprobenergebnis liefert die Häufigkeit 0,34 + 0,12 = 0,46.
    Um die \(\sigma\)
    -Regel: \(P(\mu-1,96\sigma \le Y \le \mu+1,96\sigma)=0,95\)
    anwenden zu können, muss gelten: \(\sigma>3.\)
    \(\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}=\sqrt{1000\cdot 0,46\cdot (1-0,46)}=15,76>3.\)
    Anwendung der  \(\sigma\)
    -Regel:
    \(P(\mu-1,96\sigma \le Y \le \mu+1,96\sigma)=P\left(\left|\frac{Y}{n}-p\right|\le 1,96\frac{\sigma}{n}\right)=0,95.\)

    Abi 2015 Stochastik eA (CAS) - Abbildung 13

    Die Lösung ergibt sich aus dem Ansatz:
    \(P\left(\left|0,46-p\right|\le 1,96\frac{\sigma}{n}\right)=0,95\)
    mittels CAS. Man erhält (sinnvoll gerundet):
    \(0,429\le p\le 0,491\)
    Die Behauptung \(p>0,5\) ist nicht mit dem Stichprobenergebnis verträglich.
    Wert von \(b\) bestimmen:
    Vertrauensintervall der zweiten Umfrage:
    \(Z\) – Anzahl der Wähler von Partei B
    \(Z\) ist binomialverteilt mit \(n = 1000\), wobei \(p\) unbekannt ist.
    Wenn die Näherungsformeln verwendet werden, muss für die Intervallgrenzen und die relative Häufigkeit jeweils die Laplace-Bedingung erfüllt sein:

    \(\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}>3.\)
    Für die Intervallgrenze 0,3204 gilt:
    \(\begin{align} \sigma&=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}\\ &= \sqrt{1000\cdot 0,3204\cdot(1-0,3204)}\\ &\approx 14,756>3. \end{align}\)
    Für die relative Häufigkeit \(h\) gilt:
    \(h>0,3204\), also \(h=0,3204+1,96\sigma.\)

    Abi 2015 Stochastik eA (CAS) - Abbildung 14

    Bestimmung des dem Intervall zugrunde liegenden Stichprobenwertes \(h\):
    \(h=0,3204+1,96\cdot\sqrt{\frac{0,3204\cdot(1-0,3204)}{1000}}\approx 0,3493.\)
    Laplace-Bedingung für \(h\):
    \(\sigma=\sqrt{n\cdot h\cdot(1-h)}=\sqrt{1000\cdot 0,3493\cdot (1-0,3493)}\approx 15,07>3.\)
    Die rechte Intervallgrenze erhält man aus:
    \(0,3493=b-1,96\sqrt{\frac{b(1-b)}{1000}}\rightarrow b=0,37939.\)
    Laplace-Bedingung für \(b\):\(\sigma=\sqrt{n\cdot b\cdot(1-b)}=\sqrt{1000\cdot 0,3793\cdot (1-0,3793)}\approx 15,34>3.\)
    Hinweis:
    Eine Näherung für \(b\) kann man mittels
    \(b=0,3204+2\cdot 1,96\sigma =0,3204+2\cdot 1,96\cdot\sqrt{\frac{0,3204\cdot(1-0,3204)}{1000}}\approx0,3782\)
    berechnen.
    Die rechte Intervallgrenze \(b\) ist circa 0,3794.
  3. Interpretation der Sicherheitswahrscheinlichkeit:
    Für binomialverteilte Zufallsgrößen \(X\) mit dem Erwartungswert \(\mu=n\cdot p\) und der Standardabweichung \(\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}\) gelten die \(\sigma\)-Regeln (im Tafelwerk):
    \(\begin{align} P(\mu-\sigma\le &X\le \mu+\sigma)&\approx& 0,68\\ P(\mu-1,64\sigma\le &X\le \mu+1,64\sigma)&\approx& 0,9\\ P(\mu-2\sigma\le &X\le \mu+2\sigma)&\approx& 0,955\\ P(\mu-3\sigma\le &X\le \mu+3\sigma)&\approx& 0,997\\ \end{align}\)
    Daran ist ersichtlich, dass die Vertrauensintervalle kleiner werden, wenn die Sicherheitswahrscheinlichkeit kleiner wird. Somit ist das kleinste Intervall dasjenige mit der kleinsten Sicherheitswahrscheinlichkeit.
    Abbildungen zur Sicherheitswahrscheinlichkeit zuordnen:
    Für eine Entscheidung sind die Abbildungen 1 und 2 bezüglich der Länge des Intervalls zu untersuchen.

    Abi 2015 Stochastik eA (CAS) - Abbildung 15
    Die Häufigkeitsverteilung der linken Intervallgrenze in Abbildung 1 liegt weiter links in Richtung des Parameters \(p\), die Vertrauensintervalle sind damit größer als in Abbildung 2. Somit gehört zu Abbildung 1 die Sicherheitswahrscheinlichkeit 99% und zu Abbildung 2 die Sicherheitswahrscheinlichkeit von 75%.
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