• Aufgabe 1

    25 Minuten 10 Punkte

    Im Folgenden werden mit „Internetnutzer“ alle privaten Internetnutzerinnen und Internetnutzer in Deutschland ab einem Alter von 10 Jahren bezeichnet. 

    28 % der Internetnutzer telefonieren über das Internet
    Wiesbaden     – \(28\ \%\) der Internetnutzer telefonierten im Jahr 2013 über das Internet. Dies teilte das
    Statistische Bundesamt (Destatis) anlässlich des Weltkommunikationstages am 17. Mai 2014
    mit.
    Besonders beliebt ist diese Art der Kommunikation bei jungen Menschen: \(42\ \%\) der
    Internetnutzer im Alter von 10 bis 24 Jahren nutzten 2013 dieses Medium zum Telefonieren. Bei
    den 25- bis 54-Jährigen war es etwa jeder Vierte (\(26\ \%\)). Ältere Internetnutzer nahmen diese
    technischen Möglichkeiten weniger in Anspruch: Bei den 55-Jährigen und Älteren telefonierte
    etwa jeder Fünfte (\(21\ \%\)) über das Internet.
    Im Jahr 2013 waren rund \(55\ \%\) aller Internetnutzer im Alter von 25 bis 54 Jahren.

    Daten entnommen aus: Statistisches Bundesamt, Zahl der Woche vom 13. Mai 2014

    Im Jahr 2013 wird für eine weitere Untersuchung über das Nutzungsverhalten im Internet eine große Anzahl zufällig ausgewählter Internetnutzer befragt.

    1.1

    Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ersten zehn befragten Personen

    • genau drei Personen dabei sind, die das Internet für Telefonate nutzen,
    • höchstens drei Personen dabei sind, die das Internet für Telefonate nutzen. 

    (5 BE)

    1.2

    Von zehn der zufällig ausgewählten Internetnutzer weiß man, dass genau zwei das Internet für Telefonate nutzen. Die zehn Personen werden nacheinander in zufälliger Reihenfolge befragt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ersten drei Befragten genau einer dabei ist, der das Internet für Telefonate nutzt.

    (5 BE)

  • Aufgabe 2

    17 Minuten 7 Punkte

    Der Artikel über Internettelefonate in Deutschland enthält keine Angaben darüber, wie viel Prozent der Internetnutzer im Jahr 2013 

    • das Internet für Telefonate nutzen und im Alter von 25 bis 54 Jahren sind,
    • 10 bis 24 Jahre alt sind.

    Bestimmen Sie diese beiden Anteile.

    (7 BE)

  • Aufgabe 3

    33 Minuten 13 Punkte

    Schon im Frühjahr 2014 ist man davon überzeugt, dass der Anteil der Internetnutzer, die das Internet zum Telefonieren nutzen, über \(28\ \%\) liegt und sich damit im Vergleich zu 2013 erhöht hat. Zur Überprüfung dieser Hypothese will man einen Test auf der Basis einer zufällig ausgewählten Stichprobe von 50 Internetnutzern durchführen.

    3.1

    Entwickeln Sie einen Hypothesentest mit einem Signifikanzniveau von \(1\ \%\) unter Angabe einer Entscheidungsregel.

    (7 BE)

    3.2

    Angenommen, der Anteil \(p\) der Internetnutzer, die das Internet zum Telefonieren nutzen, hat sich im Frühjahr 2014 im Vergleich zu 2013 tatsächlich erhöht. Bei dem Funktionsgraphen im Material wird in Abhängigkeit von \(p_1\) die Wahrscheinlichkeit \(\beta\) dargestellt, bei einem zweiten Test zur Überprüfung derselben Hypothese mit dem Stichprobenumfang der Länge \( n = 50\) und einem im Vergleich zu Aufgabe 3.1 veränderten Signifikanzniveau \(\alpha\) einen Fehler 2. Art zu begehen (Operationscharakteristik). Geben Sie \(\beta\) bei diesem Test mithilfe des Materials an, wenn der tatsächliche Anteil \(p_1\) der Internetnutzer, die das Internet im Frühjahr 2014 zum Telefonieren nutzen, \(35\ \%\) beträgt, und erläutern Sie den Wert im Sachzusammenhang. Bestimmen Sie den zu diesem Test zugehörigen Ablehnungsbereich. 

    (6 BE)

    Material