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Abi 2015 Stochastik C LK


Aufgabe 1

Im Folgenden werden mit „Internetnutzer“ alle privaten Internetnutzerinnen und Internetnutzer in Deutschland ab einem Alter von 10 Jahren bezeichnet. 

28 % der Internetnutzer telefonieren über das Internet
Wiesbaden
\(28\ \%\) der Internetnutzer telefonierten im Jahr 2013 über das Internet. Dies teilte das
Statistische Bundesamt (Destatis) anlässlich des Weltkommunikationstages am 17. Mai 2014
mit.
Besonders beliebt ist diese Art der Kommunikation bei jungen Menschen: \(42\ \%\) der
Internetnutzer im Alter von 10 bis 24 Jahren nutzten 2013 dieses Medium zum Telefonieren. Bei
den 25- bis 54-Jährigen war es etwa jeder Vierte (\(26\ \%\)). Ältere Internetnutzer nahmen diese
technischen Möglichkeiten weniger in Anspruch: Bei den 55-Jährigen und Älteren telefonierte
etwa jeder Fünfte (\(21\ \%\)) über das Internet.
Im Jahr 2013 waren rund \(55\ \%\) aller Internetnutzer im Alter von 25 bis 54 Jahren.

Daten entnommen aus: Statistisches Bundesamt, Zahl der Woche vom 13. Mai 2014

Im Jahr 2013 wird für eine weitere Untersuchung über das Nutzungsverhalten im Internet eine große Anzahl zufällig ausgewählter Internetnutzer befragt.

1.1

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ersten zehn befragten Personen

  • genau drei Personen dabei sind, die das Internet für Telefonate nutzen,
  • höchstens drei Personen dabei sind, die das Internet für Telefonate nutzen. 

(5 BE)

1.2

Von zehn der zufällig ausgewählten Internetnutzer weiß man, dass genau zwei das Internet für Telefonate nutzen. Die zehn Personen werden nacheinander in zufälliger Reihenfolge befragt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ersten drei Befragten genau einer dabei ist, der das Internet für Telefonate nutzt. 
(5 BE)

Lösung

1.1

Angabe von Wahrscheinlichkeiten mit der Binomialverteilung

  • Genau 3 Internettelefonierer:
    \(P(X=3)=B_{10;0,28}(3)=\begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix}\cdot0,28^3\cdot0,72^7=26,4\ \%\\ P(X\leq3)=F_{10;0,28}(3)=\sum_{i=0}^3\begin{pmatrix}10\\i\end{pmatrix}\cdot0,28^i\cdot0,72^{10-i}=70,2\ \%\)

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1.2

Baumdiagramm

Die Situation wird als Urnenmodell mit 10 Kugeln modelliert, von denen 2 mit „IT“ (Internettelefonie) und 8 mit „FH“ (Festnetz/Handy) beschriftet sind. Es ist jeweils angegeben, wie viele Kugeln der beiden Sorten noch in der Urne sind.

Abi 2015 Stochastik C LK - Abbildung 1

Gesucht sind alle Ergebnisse (Elementarereignisse), bei denen genau 1 IT noch in der Urne und damit genau 1 IT gezogen wurde. Die gefragte Wahrscheinlichkeit ist die Summe von deren Wahrscheinlichkeiten.

\(P(IT=1)=\frac 8 {10}\cdot\frac 7 {9}\cdot\frac 2 {8}+\frac 8 {10}\cdot\frac 2 {9}\cdot\frac 7 {8}+\frac 2 {10}\cdot\frac 8 {9}\cdot\frac 7 {8}=\frac 7 {15}\approx 46,7\ \%\)

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  • Punkte:  10

Aufgabe 2

Der Artikel über Internettelefonate in Deutschland enthält keine Angaben darüber, wie viel Prozent der Internetnutzer im Jahr 2013 

  • das Internet für Telefonate nutzen und im Alter von 25 bis 54 Jahren sind,
  • 10 bis 24 Jahre alt sind.

Bestimmen Sie diese beiden Anteile.

(7 BE)

Lösung

Aus den Angaben in der Aufgabenstellung lässt sich die folgende „Sechsfeldertafel“ erstellen. Dabei bezeichnen die Unbekannten \(x\) und \(y\) die fehlenden Anteile der jungen und älteren Telefonierer.

  10–24 Jahre 25–54 Jahre mind. 55 Jahre  
IT \(0,42\cdot x\) \(0,26\cdot0,55=\color{red}{0,143}\) \(0,21\cdot y\) \(0,28\)
FH \((1-0,42)\cdot x\) \(0,55-0,143=\color{red}{0,407}\) \((1-0,21)\cdot y\) \(0,72\)
  \(x\) \(0,55\) \(y\) \(1,00\)

Dies führt auf das Gleichungssystem

\(\begin{array}\\ 0,42x &+& 0,21y& = &0,137\\ 0,58x &+& 0,79y& = &0,313 \end{array}\)

mit den Lösungen \(x = 0,202\) und \(y = 0,248\).

  10–24 Jahre 25–54 Jahre mind. 55 Jahre  
IT \(8,5\ \%\) \(\color{red}{14,3\ \%}\) \(5,2\ \%\) \(28\ \%\)
FH \(11,7\ \%\) \(40,7 \ \%\) \(19,6\ \%\) \(72\ \%\)
  \(\color{red}{20,2\ \%}\) \(55\ \%\) \(24,8\ \%\) \(100\ \%\)

(Die in der Aufgabe gefragten Angaben sind rot gefärbt.)

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  • Punkte:  7

Aufgabe 3

Schon im Frühjahr 2014 ist man davon überzeugt, dass der Anteil der Internetnutzer, die das Internet zum Telefonieren nutzen, über \(28\ \%\) liegt und sich damit im Vergleich zu 2013 erhöht hat. Zur Überprüfung dieser Hypothese will man einen Test auf der Basis einer zufällig ausgewählten Stichprobe von 50 Internetnutzern durchführen.  

3.1

Entwickeln Sie einen Hypothesentest mit einem Signifikanzniveau von \(1\ \%\) unter Angabe einer Entscheidungsregel.

(7 BE)

3.2

Angenommen, der Anteil \(p\) der Internetnutzer, die das Internet zum Telefonieren nutzen, hat sich im Frühjahr 2014 im Vergleich zu 2013 tatsächlich erhöht. Bei dem Funktionsgraphen im Material wird in Abhängigkeit von \(p_1\) die Wahrscheinlichkeit \(\beta\) dargestellt, bei einem zweiten Test zur Überprüfung derselben Hypothese mit dem Stichprobenumfang der Länge \( n = 50\) und einem im Vergleich zu Aufgabe 3.1 veränderten Signifikanzniveau \(\alpha\) einen Fehler 2. Art zu begehen (Operationscharakteristik). Geben Sie \(\beta\) bei diesem Test mithilfe des Materials an, wenn der tatsächliche Anteil \(p_1\) der Internetnutzer, die das Internet im Frühjahr 2014 zum Telefonieren nutzen, \(35\ \%\) beträgt, und erläutern Sie den Wert im Sachzusammenhang. Bestimmen Sie den zu diesem Test zugehörigen Ablehnungsbereich. 

(6 BE)

Material

Abi 2015 Stochastik C LK - Abbildung 2

Abi 2015 Stochastik C LK - Abbildung 3

Lösung

3.1

Hypothesentest

Als Nullhypothese wählen wir, dass sich der Anteil der Internettelefonierer nicht erhöht hat, in diesem Fall wäre auch 2014 immer noch \(p=0,28\).

Die Alternativhypothese ist die Vermutung, dass sich \(p\) erhöht hat, also \(p > 0,28\).

Es handelt sich hier um einen rechtsseitigen Binomialtest (Hypothesentest für eine binomialverteilte Zufallsvariable) mit \(n = 50\). Wenn die beim Test ermittelte Zahl der Internettelefonierer deutlich über dem Erwartungswert der Binomialverteilung für \(p = 0,28\), nämlich \(n · p = 14\) (Erwartungswert) liegt, verwerfen wir die Nullhypothese und wählen die Alternativhypothese. Als Entscheidungskriterium suchen wir also eine Zahl \(k > 14\), bei der die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (fälschliche Wahl der Alternative) höchstens \(1\ \%\) beträgt (Signifikanzniveau \(1\ \%\)).

\(P_{50;0,28}(X>k)=1-F_{50;0,28}(X\leq k)\leq0,01)\\ \Leftrightarrow F_{50;0,28}(X\leq k)>0,99\)

In der Tabelle liest man ab:

\(F_{50;0,28}(X\leq 21)=0,9888\\ F_{50;0,28}(X\leq 22)=0,9950\)

Ergebnis

Wir müssen also \(k = 22\) wählen, da erst dann die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art unter \(1\ \%\) liegt.

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3.2

Fehler 2. Art

Ein Fehler 2. Art wird gemacht, wenn trotz der auf \(35\ \%\) gestiegenen „Internettelefonier-Wahrscheinlichkeit“ das Testergebnis zu einem Beharren auf der Nullhypothese führen würde, wenn also beim Test höchstens 21 Internettelefonierer gefunden würden.

\(\beta=P(\text{Fehler 2. Art})=P_{50;0,35}(X\leq21)=0,8813\)

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art im beschriebenen Test beträgt, wenn tatsächlich \(p = 35\ \%\) ist, über \(88\ \%\). Dieser sehr hohe Wert hängt damit zusammen, dass das Signifikanzniveau für den Fehler 1. Art so hoch gewählt wurde. Würde man beim Fehler 1. Art eine größere Fehlerwahrscheinlichkeit zulassen (\(5\ \%\) oder \(10\ \%\)), dann läge die Schranke \(k\) niedriger und die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art nähme entsprechend ab.

Der Funktionsgraph im Material zeigt den Zusammenhang zwischen \(\beta\) und der Internettelefonier-Wahrscheinlichkeit \(p_1\) für das Signifikanzniveau \(a = 5\ \%\), was man daran erkennt, dass man für \(p_1 = 0,35\ \beta\approx 0,72\) abliest, also \(F_{50;0,36}(X\leq19),\ k=19\) würde man gerade für das Signifikanzniveau \(5\ \%\) erhalten.

Während man durch Veränderung des Signifikanzniveaus \(\beta\) nur auf Kosten eines größeren Werts von \(\alpha\) senken kann, ließen sich durch (deutlich) größere Stichprobenumfänge beide Fehler zugleich verringern.

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  • Punkte:  13
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