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Abi 2015 Stochastik 3.2 GK


Aufgabe 3.2: Oktaeder

Neben dem klassischen Würfel hat ein Spielzeughersteller auch ein Oktaeder als Spielgerät in seinem Angebot (siehe Abbildung). Bei diesem sind die acht gleich großen Seiten mit den Ziffern 1 bis 8 beschriftet. Die Wahrscheinlichkeit beträgt beim Würfeln für jede der Ziffern \(p=\frac 1 8\).

Abi 2015 Stochastik 3.2 GK - Abbildung 1

a) 

Mit dem Oktaeder werden zunächst 5 Würfe durchgeführt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
A1: In jedem der 5 Würfe fällt eine gerade Zahl.
A2: In keinem der 5 Würfe fällt eine 7.
A3: Im ersten Wurf fällt eine 2, danach nicht mehr.

(10 BE)

b) 

Nun werden 20 Würfe durchgeführt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
B1: Die 7 fällt genau zweimal.
B2: Mindestens 10-mal fällt eine ungerade Zahl.

(7 BE)

c)

Nina und Tim haben beide ein solches Oktaeder als Werbegeschenk erhalten und führen damit Würfelversuche durch. Beide würfeln einmal. Betrachtet wird das Ereignis C1: Nina würfelt höchstens eine 6, Tim eine Zahl größer 6. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis C1. In einer neuen Runde wirft jeder genau 5-mal. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis C2: Jeder von beiden hat genau einmal eine Zahl größer 6.

(9 BE)

d) 

Tims Freund besitzt ein Oktaeder, das nicht mit Ziffern beschriftet ist, sondern jede seiner Seiten ist entweder rot, grün oder gelb eingefärbt. Der Freund hat ermittelt, wie häufig bei 10 Würfen die Farbe gelb mehr als 5-mal fällt. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt nur zwei Prozent. Untersuchen Sie, wie viele Seiten des Oktaeders gelb gefärbt sein könnten.

(4 BE)

Lösung

a)

Wahrscheinlichkeiten bestimmen

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Augenzahl fällt, beträgt \(0,5\). Nach den Pfadregeln gilt für das Ereignis \(A_1\), dass in allen 5 Würfen eine gerade Zahl fällt:

\(P(A_1)=0,5^5\approx0,031\)

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl 7 fällt, beträgt \(\frac 1 8\). Nach den Pfadregeln gilt für das Ereignis \(A_2\), dass in keinem Wurf die Augenzahl 7 fällt:

\(P(A_2)=(1-\frac 1 8)^5\approx 0,513\)

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl 2 fällt, beträgt \(\frac 1 8\). Nach den Pfadregeln gilt für das Ereignis \(A_3\), dass im 1. Wurf die Augenzahl 2 fällt und danach nicht mehr:

\(P(A_3)=\frac 18\cdot\left(\frac 7 8\right)^4\approx 0,073\)

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis \(A_1\) beträgt \(3,1\ \%\), für Ereignis \(A_2\)etwa \(51,3\ \%\) und für Ereignis \(A_3\) etwa \(7,3\ \%\)

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b)

Wahrscheinlichkeiten bestimmen

Ereignis B1

\(X\) ist die näherungsweise binomialverteilte Zufallsgröße, die die Würfe zählt, bei denen die Augenzahl 7 fällt. Für das Ereignis \(B_1\) beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit \(p=\frac 1 8\). Die Bernoulli-Kette hat die Länge \(n = 20\). Die Trefferzahl beträgt \(k = 2\).

\(P(B_1)=P(X=2)=B(20;\frac 1 8; 2)=\begin{pmatrix}20\\2\end{pmatrix} \cdot\left(\frac 1 8\right)^2\cdot\left(\frac 7 8\right)^{18}\approx0,268\)

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 20 Würfen genau 2-mal die Augenzahl 7 fällt, beträgt etwa \(26,8 \ \%\).

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Ereignis B2

Für das Ereignis \(B_2\) wird die näherungsweise binomialverteilte Zufallsgröße \(Y\) betrachtet, die die Würfe zählt, bei denen eine ungerade Augenzahl fällt. Hierfür beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0,5\). Die Bernoulli-Kette hat die Länge \(n = 20\). Gesucht ist die Trefferzahl \(k\geq10\). Mithilfe des Gegenereignisses ergibt sich:

\(P(B_2)=P(Y\geq10)=1-P(Y\leq9)\)

Der gesuchte Wert wird der kumulierten Binomialverteilungstabelle entnommen: \(P(Y\leq9)=0,4119\).

Es ist dann:

\(P(B_2)=1-P(Y\leq9)=1-0,4119=0,5881\)

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 20 Würfen mindestens 10-mal eine ungerade Zahl fällt, beträgt etwa \(58,81\ \%\).

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c)

Wahrscheinlichkeiten bestimmen

Ereignis C1

Die Wahrscheinlichkeit, höchstens eine 6 zu würfeln, beträgt \(\frac 6 8=\frac 3 4\). Die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl größer als 6 zu würfeln, beträgt \(\frac 2 8=\frac 1 4\).

Somit ist \(P(C_1)=\frac 3 4 \cdot\frac 14=\frac 3 {16}=0,1875\).

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit, dass Nina höchstens eine 6 und Tim eine Zahl größer als 6 würfelt, beträgt \(18,75\ \%\).

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Ereignis C2

Die Wahrscheinlichkeit, bei 5 Würfen genau einmal eine Zahl größer als 6 zu würfeln, beträgt:

\(P(C_2)=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}\cdot\left(\frac 1 4\right)^1\cdot\left(\frac 3 4\right)^3\approx0,3955\)

Diese Wahrscheinlichkeit gilt sowohl für Nina als auch für Tim. Somit gilt für das Ereignis \(C_2\), dass jeder von beiden genau einmal eine Zahl größer als 6 würfelt:

\(P(C_2)=0,3955\cdot0,3955\approx0,156\)

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit, dass Nina und Tim beide bei jeweils 5 Würfen genau einmal eine Zahl größer als 6 würfeln, beträgt etwa \(15,6\ \%\).

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d)

Gesucht ist die Anzahl \(n\) der gelb gefärbten Flächen des Oktaeders. Die Trefferwahrscheinlichkeit für eine gelbe Seite beträgt \(\frac{n}{8}\).

Das Ereignis \(D\), dass bei 10 Würfen mehr als 5-mal eine gelbe Seite fällt, hat eine Wahrscheinlichkeit von \(0,02\). Ist \(Z\) die näherungsweise binomialverteilte Zufallsgröße, die die Würfe zählt, bei denen eine gelbe Seite fällt, so gilt:

\(P(D)=P(Z>5)=1-P(Z\leq5)=0,02\)

Also soll gelten: \(P(Z\leq5)=0,98\).

Der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung ist zu entnehmen, dass \(P(Z\leq5)=0,9803\) für \(p=0,25\) gilt. 

Dies liefert \(0,25=\frac n 8\) und damit \(n = 2\).

Ergebnis

Das Oktaeder hat höchstwahrscheinlich 2 gelbe Seiten.

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Abi 2015 Stochastik 3.2 GK - Abbildung 2

  • Punkte:  30
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