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Abi 2015 Stochastik 3.1 GK


Aufgabe 3.1: Onlineshopping

Die Tabelle gibt repräsentativ die Kaufgewohnheiten der Verbraucher in Deutschland beim Onlineshopping wieder. So wurde beispielsweise ermittelt, dass \(32\ \%\) der befragten Verbraucher gelegentlich Computer im Internet kaufen. Jeder Verbraucher kann dabei unabhängig von den anderen für die Artikel verschiedene Kaufgewohnheiten besitzen.

  regelmäßig gelegentlich nie
Bücher \(50\ \%\) \(30\ \%\) \(20\ \%\)
Sportartikel \(13\ \%\) \(33\ \%\) \(54\ \%\)
Computer \(33\ \%\) \(32\ \%\) \(35\ \%\)

(Quelle: Statista-Datenbank 2012)

In einem Statistikprojekt befragt Tom zufällig ausgewählte Personen nach ihren Kaufgewohnheiten. Die Gültigkeit der Tabellenangaben wird dabei vorausgesetzt.

a) 

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
A:  Zwei Ausgewählte kaufen beide nie Computer im Internet.
B:  Die erste Person kauft regelmäßig Bücher und die zweite regelmäßig Computer im Internet.
C:  Genau einer von zwei Ausgewählten kauft regelmäßig Sportartikel im Internet.

(7 BE)

b)

Tom wählt nun 20 Personen für die nächste Fragerunde aus. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
D:  Von den 20 kaufen genau sechs Personen gelegentlich Bücher im Internet.
E:  Höchstens fünf der 20 Ausgewählten kaufen gelegentlich Bücher im Internet.
F:  Unter den 20 ausgewählten Personen sind mindestens drei, die nie Bücher im Internet kaufen.

(10 BE)

c)

Berechnen Sie, wie viele Personen mindestens befragt werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(99\ \%\) wenigstens eine Person zu finden, die regelmäßig Computer im Internet kauft.

(5 BE)

d)

In einem Internetcafé sitzen 20 Personen. 15 von ihnen kaufen Waren im Internet. Tom befragt vier von den 20 Personen nach ihren Kaufgewohnheiten. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle vier Befragten Waren im Internet kaufen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den vier Befragten mindestens eine Person war, die Waren im Internet kauft.

(8 BE)

Lösung

a)

Wahrscheinlichkeiten bestimmen

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine ausgewählte Person nie Computer im Internet kauft, beträgt \(35\ \%\). Nach den Pfadregeln gilt für das Ereignis \(A\), dass 2 ausgewählte Personen dies nie tun:

\(P(A)=0,35\cdot0,35=0,1225\)

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine ausgewählte Person regelmäßig Bücher im Internet kauft, beträgt \(50\ \%\) und die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person regelmäßig Computer im Internet kauft, beträgt \(33\ \%\). Nach den Pfadregeln gilt für das Ereignis \(B\), dass die 1. ausgewählte Person Bücher regelmäßig im Internet kauft und die 2. ausgewählte Person Computer regelmäßig im Internet kauft, somit: \(P(B)=0,5\cdot0,33=0,165\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine ausgewählte Person Sportartikel im Internet kauft, beträgt \(13\ \%\), dass sie dies nicht tut, \(87\ \%\). Nach den Pfadregeln gilt für das Ereignis \(C\), dass von 2 ausgewählten Personen genau eine Person dies tut:

\(P(C)=2\cdot0,13\cdot0,87=0,2262\)

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis \(A\) beträgt \(12,25\ \%\), für Ereignis \(B\) \(16,5\ \%\) und für Ereignis \(C\) \(22,62\ \%\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

b)

Wahrscheinlichkeiten bestimmen

\(X\) ist die näherungsweise binomialverteilte Zufallsgröße, die die Befragten zählt, die gelegentlich Bücher im Internet kaufen.

Ereignis D

Für das Ereignis \(D\) beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0,3\). Die Bernoulli-Kette hat die Länge \(n = 20\); die Trefferzahl ist \(k = 6\).

\(P(D)=P(X=6)=B(20;0,3;6)=\begin{pmatrix}20\\6\end{pmatrix}\cdot0,3^6\cdot0,7^{14}\approx0,1916\)

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 6 von 20 Personen gelegentlich Bücher im Internet kaufen, beträgt etwa \(19,16\ \%\).

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier oder hier.

Ereignis E

Für das Ereignis \(E\) beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit ebenfalls \(p=0,3\). Die Bernoulli-Kette hat die Länge \(n = 20\); für die Trefferzahl gilt \(k\leq5\).

Der gesuchte Wert wird der kumulierten Binomialverteilungstabelle entnommen. Es ist:

\(P(E)=P(X\leq 5)=0,4164\)

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 5 von 20 Personen gelegentlich Bücher im Internet kaufen, beträgt etwa \(41,64\ \%\).

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Ereignis F

\(Y\) ist die näherungsweise binomialverteilte Zufallsgröße, die die Befragten zählt, die nie Bücher im Internet kaufen.

Für das Ereignis \(F\) beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0,2\). Die Bernoulli-Kette hat die Länge \(n = 20\); für die Trefferzahl gilt \(k\geq3\). Mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit und unter Verwendung der Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung ergibt sich:

\(P(F)=P(Y\geq3)=1-P(Y\leq2)=1-0,2061=0,7939\)

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 3 von 20 Personen nie Bücher im Internet kaufen, beträgt etwa \(79,39\ \%\).

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c)

Mindestzahl an Personen ermitteln

Gesucht ist die Mindestzahl \(n\) an zu befragenden Personen, sodass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(99\ \%\) mindestens eine Person darunter ist, die regelmäßig Computer im Internet kauft. \(Z\) ist die näherungsweise binomialverteilte Zufallsgröße, die die Befragten zählt, die regelmäßig Computer im Internet kaufen. Die Trefferwahrscheinlichkeit ist \(p = 0,67\). Es soll also gelten:

\(P(Z\geq1)=1-P(Z=0)=1-0,67^n\geq0,99|-0,99; \ +0,67^n\)

\(\begin{array}\\ 0,01&\geq&0,67^n&\quad|\ \text{ln}(...)\\ \text{ln}\ 0,01&\geq&\text{ln}\ (0,67^n)\\ \text{ln}\ 0,01&\geq&n\cdot\text{ln}\ (0,67)&\quad|\ \text{ln}(0,67)\\ \frac{\text{ln}\ 0,01}{\text{ln}\ 0,67}&<&n\\ 11,499&<&n \end{array}\)

Ergebnis

Es müssen mindestens 12 Personen befragt werden.

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d)

Ereignis G: Alle 4 Befragten kaufen Waren im Internet.

\(P(G)=\frac{15}{20}\cdot\frac{14}{19}\cdot\frac{13}{18}\cdot\frac{12}{17}\approx0,2817\)

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit, dass 4 Befragte Waren im Internet kaufen, beträgt etwa \(28,17\ \%\).

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Ereignis H: Unter den 4 Befragten ist mindestens eine Person, die Waren im Internet kauft.

Das Gegenereignis \(\overline H\)  lautet: Unter den 4 Befragten ist keine Person, die Waren im Internet kauft.

\(P(H)=1-P(\overline H)=1-\left(\frac{5}{20}\cdot \frac{4}{19}\cdot \frac{3}{18}\cdot \frac{2}{17}\right)\\\approx1-0,00103=0,99897\)

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit, dass von den 4 Befragten mindestens eine Person Waren im Internet kauft, beträgt etwa \(99,9\ \%\).

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Abi 2015 Stochastik 3.1 GK - Abbildung 1

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