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Abi 2015 Pflichtteil GK


Aufgabe 1

Bilden Sie die Ableitung der Funktion \(f\) mit \(f(x)=\left(4+\text{e}^{3x}\right)^5\).
(2 VP)

Lösung

Mit Hilfe der Potenz- und Kettenregel erhält man für die erste Ableitung:
\(f'(x)=5\cdot(4+\text{e}^{3x})^4\cdot 3\text{e}^{3x}=15\text{e}^{3x}\cdot(4+\text{e}^{3x})^4.\)

Aufgabe 2

Berechnen Sie das Integral \(\int\limits_0^\pi \left\{(4x+\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\right\}\text{d}x\).
(2 VP)

Lösung

Für die Stammfunktion gilt:
\(F(x)=4\cdot\frac{1}{2}\cdot x^2+2\cdot \cos\left(\frac{1}{2}x\right)=2x^2+2\cos\left(\frac{1}{2}x\right).\)
Beachte bei der Berechnung des Integrals, dass der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung richtig angewendet wird:
\(\begin{align} \int\limits_0^\pi \left\{(4x+\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\right\}\text{d}x&=\left[2x^2+2\cos\left(\frac{1}{2}x\right)\right]_0^\pi \\ &=\left\{2\pi^2+2\cos\left(\frac{1}{2}\pi\right)\right\}-\left\{2\cdot 0^2+2\cos\left(\frac{1}{2}\cdot 0\right)\right\} \\ &=2\pi^2-2. \end{align}\)

Aufgabe 3

Lösen Sie die Gleichung \((x^3-3x)\cdot(\text{e}^{2x}-5)=0\).
(3 VP)

Lösung

Produkte mit dem Wert Null entstehen, wenn wenigstens einer der beiden Faktoren null ist (Satz vom Nullprodukt). Du untersuchst also jeden Faktor getrennt auf seine Nullstellen:

  1. \(\underline{(x^3-3x)=0:}\)
    \(\Longrightarrow x\cdot(x^2-3)=0\Rightarrow x_1=0.\)
    Die weiteren Lösungen bekommst du aus:
    \(\Longrightarrow x^2-3=0\Rightarrow x_{2/3}=\pm\sqrt{3}.\)
  2. \(\underline{(\text{e}^{2x}-5)=0:}\)
    \(\Longrightarrow \ln(\text{e}^{2x})=\ln(5)\Rightarrow x_4=\frac{1}{2}\ln(5).\)

Aufgabe 4

Der Graph einer ganzrationalen Funktion \(f\) dritten Grades hat im Ursprung einen Hochpunkt und an der Stelle \(x = 2\) die Tangente mit der Gleichung \(y = 4x −12\).
Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von \(f\).
(4 VP)

Lösung

Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion dritten Grades der Form \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), deren vier Koeffizienten nicht gegeben sind. Deshalb sind vier Bedingungen aus dem Aufgabenkontext zu ermitteln.

  1. Der Graph der Funktion \(f\) verläuft durch den Ursprung, d. h. \(f(0)=0\).
  2. Der Graph hat im Ursprung einen Hochpunkt, also eine waagrechte Tangente, d. h. \(f'(0)=0\).
  3. An der Stelle \(x=2\) hat der Graph die gleiche Steigung 4 wie die angegebene Tangente, d. h. \(f'(2)=4\).
  4. Die Tangente hat an der Stelle \(x=2\) den gleichen Wert wie \(f\), sie berühren sich im Punkt \(P(2|-4)\), d. h. \(f(2)=-4\).

Achtung: 2. ist lediglich die notwendige Bedingung für einen Hochpunkt. Am Ende des Lösungsweges muss deshalb noch geprüft werden, ob die gefundene Funktion \(f\) tatsächlich einen Hochpunkt an der Stelle \(x=0\) aufweist.

Für 2. und 3. benötigst du die Ableitung von \(f\):
\(f'(x)=3ax^2+2bx+c.\)
​Die vier Bedingungen können mathematisch folgendermaßen ausgedrückt werden:

  1. \(d=0\)
  2. \(c=0\)
  3. \(12a+4b+c=4\)
  4. \(8a+4b+2c+d=-4\)

Die Gleichungen aus 3. und 4. lassen sich durch Verwenden der Informationen aus 1. und 2. so vereinfachen, dass nur noch zwei Koeffizienten bestimmt werden müssen. Für Gleichung 3 bzw. 4 erhält man \(12a+4b=4\) und \(8a+4b=-4\). Subtrahiert man nun Gleichung 4 von 3, ergibt sich \(a=2.\)Den Wert für \(a\) kann man nun in Gleichung 3 einsetzen und erhält weiter \(b=-5\). Die Funktionsgleichung lautet also:
\(f(x)=2x^3-5x^2.\)

Wie oben beschrieben muss hier noch die hinreichende Bedingung für einen Hochpunkt untersucht werden. Für die zweite Ableitung gilt:
\(f''(x)=12x-10\).
An der Stelle \(x=0\) liegt tatsächlich ein Hochpunkt vor, denn:
\(f''(0)=12\cdot0-10=-10<0.\)

Aufgabe 5

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) einer ganzrationalen Funktion \(f\). Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie jeweils Ihre Antwort.

  1. Der Graph von \(f\) hat bei \(x = -3\) einen Tiefpunkt.
  2. \(f(-2) < f(-1)\)
  3. \(f''(−2) + f'(−2) < 1\)
  4. Der Grad der Funktion \(f\) ist mindestens vier.

(5 VP)

Abi 2015 Pflichtteil GK - Abbildung 1

Lösung

Die Ableitungsfunktion \(f'\) scheint im abgebildeten Intervall eine ganzrationale Funktion dritten Grades zu sein. Sie hat die Nullstelle \(x_1=-3\) und die doppelte Nullstelle \(x_{2,3}=0\). An der Stelle \(x=-2\) hat \(f'\) einen Hochpunkt und an der Stelle \(x=0\) einen Tiefpunkt. Also ist dort die Steigung von \(f'\) jeweils 0.
Wahr/falsch:

  1. Der Graph von \(f'\) hat bei \(x=-3\) eine Nullstelle, damit ist die notwendige Bedingung für einen Tiefpunkt von \(f\) erfüllt. Da der Graph von \(f'\) für Werte kleiner als –3 unterhalb und für Werte größer als –3 oberhalb der \(x\)-Achse verläuft, liegt ein Vorzeichenwechsel von minus nach plus vor, somit ist die hinreichende Bedingung für einen Tiefpunkt ebenfalls erfüllt. Die Aussage ist also wahr.
  2. Da die Funktionswerte von \(f'\) im Intervall [–2; –1] stets positiv sind, nehmen die Funktionswerte von \(f\) im angegebenen Intervall stets zu. \(f\) ist in diesem Intervall streng monoton wachsend. Deshalb ist die angegebene Aussage wahr.
  3. Der Wert \(f''(-2)\) ist leicht ablesbar, denn es handelt sich dabei um die Steigung von \(f'\) an der Stelle \(x=-2\). Es gilt: \(f''(-2)=0\)\(f'(-2)=2\) kannst du direkt aus dem Schaubild ablesen. Damit gilt für die Summe \(f''(-2)+f'(-2)=0+2=2\). Die angegebene Aussage ist demnach falsch.
  4. Da die Ableitungsfunktion mindestens drei Nullstellen hat und somit mindestens vom Grad drei ist, muss der Grad der Funktion \(f\) mindestens vom Grad vier sein. Die angegebene Aussage ist also wahr.

Aufgabe 6

Gegeben sind die drei Punkte \(A(4/0/4)\)\(B(0/4/4)\) und \(C(6/6/2)\).

  1. Zeigen Sie, dass das Dreieck \(ABC\) gleichschenklig ist.
  2. Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes, der das Dreieck \(ABC\) zu einem Parallelogramm ergänzt. Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, wie viele solcher Punkte es gibt.

(4 VP)

Lösung

1. Gleichschenkligkeit nachweisen 

Ein gleichschenkliges Dreieck hat (mindestens) zwei gleich lange Seiten. Die Verbindungsvektoren jeweils zweier Eckpunkte erhältst du durch die Differenz der zugehörigen Ortsvektoren.
\(\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}=\left(\begin{array}{c}-4\\4\\0\end{array}\right),\;\text{analog}\;\vec{BC}=\left(\begin{array}{c}6\\2\\-2\end{array}\right)\;\text{und}\;\vec{CA}=\left(\begin{array}{c}-2\\-6\\2\end{array}\right).\)

Du vergleichst die Beträge der Verbindungsvektoren jeweils zweier Eckpunkte. 
Da der Betrag eines Vektors die Wurzel aus der Summe seiner quadrierten Komponenten ist, haben zwei Vektoren bereits den gleichen Betrag, wenn es zu jeder der Komponenten des einen Vektors eine betragsmäßig gleiche Komponente im anderen Vektor gibt. Das ist bei \(\vec{BC}\) und \(\vec{CA}\) der Fall. 
Selbstverständlich kannst du auch einfach die einzelnen Beträge berechnen und vergleichen:
\(\begin{align} \left|\vec{AB}\right|&=\sqrt{(-4)^2+4^2}=\sqrt{32} \\ \left|\vec{BC}\right|&=\sqrt{6^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{44} \\ \left|\vec{CA}\right|&=\sqrt{(-2)^2+(-6)^2+2^2}=\sqrt{44} \end{align}\)
Das Dreieck \(ABC\) ist gleichschenklig, da die Seiten \(BC\) und \(CA\) gleich lang sind.

2. Erweiterung auf ein Parallelogramm

Für eine leichtere Vorstellung des Sachverhalts solltest du zuerst eine Skizze erstellen. Du erkennst, dass es drei mögliche Punkte \(D_1\) bis \(D_3\) gibt.

Abi 2015 Pflichtteil GK - Abbildung 2

Um die Koordinaten des Punktes \(D_1\) zu berechnen, benötigt man den Vektor \(\vec{OD_1}\).

Abi 2015 Pflichtteil GK - Abbildung 3

Es gilt:
\(\vec{OD_1}=\vec{OA}+\vec{BC}=\left(\begin{array}{c}4\\0\\4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}6\\2\\-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10\\2\\2\end{array}\right)\)
Ein Punkt, der das Dreieck \(ABC\) zu einem Parallelogramm ergänzt, hat die Koordinaten \((10|2|2)\).

Aufgabe 7

Gegeben ist die Ebene \(E:\;4x_1 + 3x_3 = 12\).

  1. Stellen Sie \(E\) in einem Koordinatensystem dar.
  2. Bestimmen Sie alle Punkte der \(x_3\)-Achse, die von \(E\) den Abstand 3 haben.

(3 VP)

Lösung

1. Darstellung der Ebene

Zur Darstellung der Ebene \(E\) in einem Koordinatensystem ist die Achsenabschnittsform empfehlenswert.
\(E:\;4x_1+3x_3=12\) in Koordinatenform
\(E:\;\frac{x_1}{3}+\frac{x_3}{4}=1\) in Achsenabschnittsform
Du kannst so die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ablesen:
\(S_1 (3|0|0),\;S_3 (0|0|4)\).
Einen Schnittpunkt mit der \(x_2\)-Achse gibt es nicht, deshalb ist \(E\) zu ihr parallel.

Abi 2015 Pflichtteil GK - Abbildung 4

2. Bestimmung aller Punkte mit Abstand 3

Jeder Punkt auf der \(x_3\)-Achse wird durch eine Geradengleichung für ein bestimmtes reelles \(r\) festgelegt. Allgemein kannst du jeden Punkt der \(x_3\)-Achse wie folgt angeben:
\(L_r (0|0|r) \).

Nun benötigen wir die Hesse'sche Normalform von \(E\):
\(E:\;4x_1+3x_3=12 \Longrightarrow E:\;\left[\vec{x}-\left(\begin{array}{c}3\\0\\0\end{array}\right)\right]\cdot\frac{1}{5}\cdot\left(\begin{array}{c}4\\0\\3\end{array}\right)=0\).
Der Abstand eines Punktes von einer Ebene wird mit Hilfe der Hesse‘schen Normalenform berechnet, indem man den zu untersuchenden Punkt einsetzt. Der Abstand ist hier bereits gegeben:
\(d(L_r,E)=3\)
Daraus folgt:
\(\begin{align} \left|\left[\left(\begin{array}{c}0\\0\\r\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\0\\0\end{array}\right)\right]\cdot\frac{1}{5}\cdot\left(\begin{array}{c}4\\0\\3\end{array}\right)\right|&=3 \\ \left|\left(\begin{array}{c}-3\\0\\r\end{array}\right)\cdot\frac{1}{5}\cdot\left(\begin{array}{c}4\\0\\3\end{array}\right)\right|&=3 \\ \left|\left(\begin{array}{c}-3\\0\\r\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}4\\0\\3\end{array}\right)\right|&=15 \\ |-12+3r|&=15 \end{align}\)
Die Auflösung des Betrags liefert die folgenden beiden Gleichungen:
\(\begin{align} -12+3r&=15\\ 12-3r&=15 \end{align}\)
Somit gibt es zwei Lösungen \(r_1=9\) und \(r_2=-1\), die dazugehörigen Punkte lauten:
\(L_9 (0|0|9) \;\text{und}\; L_{-1} (0|0|–1)\).

Aufgabe 8

Ein Glücksrad hat drei farbige Sektoren, die beim einmaligen Drehen mit folgenden Wahrscheinlichkeiten angezeigt werden:

Rot: 20%   Grün: 30%   Blau: 50%
Das Glücksrad wird \(n\)-mal gedreht.
Die Zufallsvariable \(X\) gibt an, wie oft die Farbe Rot angezeigt wird.
  1. Begründen Sie, dass \(X\) binomialverteilt ist.
    Die Tabelle zeigt einen Ausschnitt der Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\):
    \(k\) 0 1 2 3 4 5 6 7 ...
    \(P (X=k)\) 0,01 0,06 0,14 0,21 0,22 0,17 0,11 0,05 ...
  2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens dreimal Rot angezeigt wird.
  3. Entscheiden Sie, welcher der folgenden Werte von \(n\) der Tabelle zugrunde liegen kann: 
    20, 25 oder 30
    Begründen Sie Ihre Entscheidung.

(4VP)

Lösung

1. Binomialverteilung begründen

Die Zufallsvariable \(X\) ist binomialverteilt, da es für jeden der \(n \) Versuche nur zwei Ausgänge gibt: „Rot“ (Treffer) und „nicht Rot“ (kein Treffer). Zudem beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) stets 20 %.

2. Wahrscheinlichkeit berechnen

In der Aufgabe ist nicht angeben, wie oft das Glücksrad gedreht wird. Da die Tabelle nicht vollständig angegeben ist, muss das Ereignis „mindestens dreimal rot“ mit Hilfe des Gegenereignisses „höchstens zweimal rot“ berechnet werden.
\(\begin{align} P(X≥3) &=1-P(X≤2) \\ &=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)) \\ &=1-(0,01+0,06+0,14)=0,79 \end{align}\)
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt 79%.

3. Entscheiden und Begründen

Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße ist das Produkt aus Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) und Länge \(n\) der Bernoullikette. Für die drei angegebenen Kandidaten für \(n\) ergeben sich die folgenden Erwartungswerte:
\(E_1=20\cdot0,2=4\)

\(E_2=25\cdot0,2=5\)
\(E_3=30\cdot0,2=6\)
In der Tabelle wird bei \(k = 4\) der maximale Wert der Binomialverteilung erreicht, also muss \(E_1\) der zugehörige Erwartungswert und somit \(n = 20\) die gesuchte Länge der Bernoullikette sein.

Aufgabe 9

Mit \(V=\pi\cdot\int\limits_0^4\left(4-\frac{1}{2}x\right)^2\text{d}x\) wird der Rauminhalt eines Körpers berechnet. 
Skizzieren Sie diesen Sachverhalt und beschreiben Sie den Körper. 
(3 VP)

Lösung

Der Integrand ist das Quadrat einer linearen Funktion, die in der Zeichnung durch eine Gerade veranschaulicht werden kann. Die Integralgrenzen 0 und 4 geben den zu zeichnenden Bereich an.

Abi 2015 Pflichtteil GK - Abbildung 5
Die lineare Funktion \(g\) mit \(g(x)=4-\frac{1}{2}x\) hat den \(y\)-Achsenabschnitt 4 und die Steigung \(-\frac{1}{2}\). Es handelt sich um einen Kegelstumpf.

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