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Abi 2015 Pflichtteil EA


Aufgabe 1

Gegeben sind die in \(\mathbb{R}\) definierten Funktionen \(f\)\(g\) und \(h\) durch 
\(f(x)=x^2-x+1,\;g(x)=x^3-x+1\;\text{und}\; h(x)=x^4+x^2+1.\)

  1. Die Abbildung zeigt den Graphen einer der drei Funktionen.
    Abi 2015 Pflichtteil EA - Abbildung 1
    Geben Sie an, um welche Funktion es sich handelt. Begründen Sie, dass der Graph die anderen beiden Funktionen nicht darstellt. 
  2. Die erste Ableitungsfunktion von \(h\) ist \(h'\). Bestimmen Sie den Wert von \(\int\limits^1_0 h'(x)\text{d}x.\)

(3 + 2 BE)

Lösung

  1. Entscheidung mithilfe der Funktionswerte: 
    Der Graph der in der Abbildung dargestellten Funktion verläuft durch den Punkt \(P(–1|1)\). Es gilt:\(f(-1)=3,\;g(-1)=1,\;h(-1)=3.\)

    Entscheidung mithilfe des Funktionstyps:
    \(f(x):\) Parabel mit einem Tiefpunkt
    \(g(x):\) Funktion 3. Grades mit Hoch- und Tiefpunkt
    \(h(x):\) achsensymmetrische Funktion 4. Grades

    Entscheidung mithilfe der Grenzwerte:
    \(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} f(x)= +\infty\text{ und }\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)= +\infty\)
    \(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} g(x)= +\infty\text{ und }\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} g(x)= -\infty\)
    \(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} h(x)= +\infty\text{ und }\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} h(x)= +\infty\)
    Der Graph der abgebildeten Funktion stellt die Funktion \(g(x)\) dar.

  2. Bestimmung des Integrals:
    \(\int\limits_0^1 h'(x)\text{d}x=\left[h(x)\right]_0^1=h(1)-h(0)=(1+1+1)-(0+0+1)=2.\)

Aufgabe 2

Für jeden Wert von \(a>0\) ist eine Funktion \(f_a\) gegeben durch \(f_a(x)=x\cdot \text{e}^{-ax}\;(x\in\mathbb{R}).\) 

Abi 2015 Pflichtteil EA - Abbildung 2

In der obigen Abbildung ist beispielhaft für \(a=2\) der Graph \(f_2\) sowie \(f'_2\) dargestellt. Es ist \(f'_2(0)=1.\)

  1. Begründen Sie, dass \(y=x\) die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(f_2\) an der Stelle \(x=0\) ist.
  2. Zeigen Sie, dass gilt: \(f'_a(x)=(1-ax)\cdot \text{e}^{-ax}\;(x\in\mathbb{R},\;a>0).\)
  3. Begründen Sie, dass die Extremstellen der Graphen von \(f_a\) vom Parameter \(a\) abhängig sind, die Nullstellen aber nicht.

(2 + 2 + 2 BE)

Lösung

  1. Die Funktion lautet: \(f_2(x)=x\cdot\text{e}^{-2x}.\) 
    Tangentengleichung an der Stelle \(x=0\):
    Da \(f_2(0)=0\) und \(f'_2(0)=1\) gilt, folgt aus dem Ansatz \(y=m\cdot x+n\) mit \(m=f'_2(0)=1\) die Gleichung \(0=1\cdot 0+n \rightarrow n=0\) und damit als Tangentengleichung \(y=x\).
  2. Die Ableitung erhält man durch Anwendung der Produkt- und Kettenregel:
    \(f'_a(x)=1\cdot \text{e}^{-ax}+x\cdot\text{e}^{-ax}\cdot(-a)=(1-ax)\cdot\text{e}^{-ax}.\)
  3. Nullstellen:
    \(f_a(x)=x\cdot \text{e}^{-ax}=0 \rightarrow x_N=0\) ist die einzige Nullstelle \((\text{e}^{-ax}\neq0)\) und unabhängig von \(a\).
    Notwendige Bedingung für Extremstellen\(f'_a(x)=0.\)
    \(\Rightarrow (1-ax_E)\cdot\text{e}^{-ax_E}=0\rightarrow 1-ax_E=0\rightarrow x_E=\frac{1}{a}.\)
    Die einzige mögliche Extremstelle ist vom Parameter \(a\) abhängig. Wenn man noch die hinreichende Bedingung überprüft, erhält man:
    \(f''_a(x)=-a\cdot\text{e}^{-ax}-a(1-ax)\cdot\text{e}^{-ax}=(a^2x-2a)\cdot\text{e}^{-ax}\)
    \(f''_a(\tfrac{1}{a})=\left(a^2\cdot\frac{1}{a}-2a\right)\cdot\text{e}^{-a\tfrac{1}{a}}=-a\cdot\text{e}^{-1}<0\rightarrow \text{HP}.\)

Aufgabe 3

Bei der Wintersportart Biathlon wird bei jeder Schießeinlage auf fünf Scheiben geschossen. Ein Biathlet tritt bei einem Einzelrennen zu einer Schießeinlage an, bei der er auf jede Scheibe einen Schuss abgibt. Diese Schießeinlage wird modellhaft durch eine Bernoullikette mit der Länge 5 und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p \) beschrieben.  

  1. Geben Sie für die folgenden Ereignisse jeweils einen Term an, der die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in Abhängigkeit von \(p\) beschreibt.
    1. Der Biathlet trifft bei genau vier Schüssen.
    2. Der Biathlet trifft nur bei den ersten beiden Schüssen. 
  2. Erläutern Sie anhand eines Beispiels, dass die modellhafte Beschreibung der Schießeinlage durch eine Bernoullikette unter Umständen der Realität nicht gerecht wird.

(3 + 2 BE)

Lösung

  1. ParameterP(Treffer) = p, 5; X - Anzahl der Treffer bei n Schüssen; X ist binomialverteilt
    1. P(Der Biathlet trifft bei genau vier Schüssen) =
      \(P(X=4)=\left(\begin{array}{c}5\\4\end{array}\right)\cdot p^4\cdot(1-p)^1=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 1}\cdot p^4\cdot(1-p)^1=5\cdot p^4\cdot(1-p)^1.\)
      Im Baumdiagramm gibt es 5 Pfade mit 4 Treffern und einem Fehlschuss.
    2. P(Der Biathlet trifft nur bei den ersten beiden Schüssen)=
      \(p\cdot p\cdot(1-p)\cdot(1-p)\cdot(1-p)=p^2\cdot(1-p)^3.\)

      Im Baumdiagramm gibt es genau einen Pfad: TTFFF (F – Fehlschuss).
  2. Die Voraussetzung bei einer Bernoulli-Kette ist, dass sich die Wahrscheinlichkeit bei allen Versuchen nicht ändert.
    In der Realität können sich die äußeren Bedingungen von Schuss zu Schuss ändern (Wetter, Beleuchtung, Ablenkung durch andere Athleten). Auch spielt die mentale Verfassung der Athleten bei einem Fehlschuss eine Rolle.
    Somit kann sich p = P(Treffer) von Schuss zu Schuss ändern.

Aufgabe 4

Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(A(0 |1| 2)\) und \(B(2| 5 | 6)\).

  1. Zeigen Sie, dass die Punkte \(A\) und \(B\) den Abstand 6 haben. Die Punkte \(C\) und \(D\) liegen auf \(g\) und haben von \(A\) jeweils den Abstand 12. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(C\) und \(D\).
  2. Die Punkte \(A\)\(B\) und \(E(1| 2| 5)\) sollen mit einem weiteren Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden. Für die Lage des vierten Eckpunktes gibt es mehrere Möglichkeiten. Geben Sie für zwei dieser Möglichkeiten die Koordinaten des vierten Eckpunktes an.

(3 + 2 BE)

Lösung

  1. Bestimmung des Abstandes:
    \(|AB|=\sqrt{(2-0)^2+(5-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{4+16+16}=\sqrt{36}=6.\)
    Bestimmung der Punkte \(C\) und \(D\):
    Abstand \(12=2\cdot 6\) heißt:
    \(\vec{AB}=\vec{OA}+2\cdot \vec{AB}=\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right)+2\cdot\left(\begin{array}{c}2\\4\\4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\9\\10\end{array}\right).\)
    Der Punkt \(C\) hat die Koordinaten \(C(4|9|10)\).
    \(\vec{AD}=\vec{OA}-2\cdot \vec{AB}=\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right)-2\cdot\left(\begin{array}{c}2\\4\\4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\-7\\-6\end{array}\right).\)
    Der Punkt \(D\) hat die Koordinaten \(D(-4|-7|-6)\).
  2. Es gibt 3 Möglichkeiten, die Punkte \(A\), \(B\) und \(E\) zu einem Parallelogramm mit viertem Eckpunkt \(F\) zu verbinden: \(ABEF_1\), \(ABF_2E\) und \(AF_3BE\).
    \(ABEF_1\):
    \(\vec{OF_1}=\vec{OA}+\vec{BE}=\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1-2\\2-5\\5-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\-2\\1\end{array}\right) \Longrightarrow F_1(-1|-2|-1)\)
    \(ABF_2E\):
    \(\vec{OF_2}=\vec{OB}+\vec{AE}=\left(\begin{array}{c}2\\5\\6\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1-0\\2-1\\5-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\6\\9\end{array}\right) \Longrightarrow F_2(3|6|9)\)
    \(AF_3BE\):
    \(\vec{OF_3}=\vec{OA}-\vec{BE}=\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1-2\\2-5\\5-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\4\\3\end{array}\right) \Longrightarrow F_3(1|4|3)\)

Aufgabe 5

Zu einem bestimmten Zeitpunkt haben die drei Anbieter A1, A2 und A3 jeweils 10 000 Kunden. Die für das nächste Jahr zu erwartende Kundenwanderung zwischen diesen Anbietern wird durch die folgende Übergangstabelle beschrieben:

Abi 2015 Pflichtteil EA - Abbildung 3

  1. Vervollständigen Sie den folgenden Übergangsgraphen zur Kundenwanderung innerhalb des nächsten Jahres. Geben Sie die Gesamtzahl der Kunden an, die innerhalb des nächsten Jahres den Anbieter wechseln.
    Abi 2015 Pflichtteil EA - Abbildung 4
  2. Ausgehend von der Ausgangsverteilung von je 10 000 Kunden wird eine Fusion der Anbieter A1 und A2 zu einem Anbieter A1&A2 geplant. Im Kundengeschäft behalten beide ihr bekanntes Profil bei, sodass angenommen werden kann, dass die Kundenwanderung im nächsten Jahr weiterhin wie in der obigen Übergangstabelle dargestellt abläuft. Vervollständigen Sie den folgenden Übergangsgraphen zur Kundenwanderung innerhalb des nächsten Jahres unter Berücksichtigung der Fusion.
    Abi 2015 Pflichtteil EA - Abbildung 5
    Vervollständigen Sie die folgende Übergangstabelle zur Kundenwanderung innerhalb des nächsten Jahres unter Berücksichtigung der Fusion.
    Abi 2015 Pflichtteil EA - Abbildung 6

(2 + 3 BE)

Lösung

  1. Wechsel von A3 nach A1: \(10000\cdot 0,02=200.\) 
    Wechsel von A3 nach A2: \(10000\cdot 0,03=300.\)
    Gesamtzahl der Kunden, die innerhalb des nächsten Jahres den Anbieter wechseln: \(200 + 400 + 600 + 200 + 800 + 300 = 2500\) Kunden.
    Abi 2015 Pflichtteil EA - Abbildung 7
  2. Wechsel von A1&A2 nach A1&A2: \(10000\cdot (0,90+0,04)+10000\cdot (0,90+0,04)=18600.\)
    Wechsel von A1&A2 nach A3: \(10000\cdot 0,06+10000\cdot 0,08=1400.\)
    Wechsel von A3 nach A3: \(10000\cdot 0,95=9500.\)
    Abi 2015 Pflichtteil EA - Abbildung 8
    Abi 2015 Pflichtteil EA - Abbildung 9
    Abi 2015 Pflichtteil EA - Abbildung 10
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