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Abi 2015 Lineare Algebra/Analytische Geometrie Aufgabe 2 GK


Mit einem GPS-Empfänger kann man seine Position auf der Erde metergenau bestimmen. Dies geschieht mithilfe von Satelliten, die ihre Signale in alle Richtungen zur Erde senden. Je mehr Satelliten empfangen werden können, desto sicherer und genauer wird die Positionsbestimmung. Nehmen Sie an, dass sich der Satellit NAVSTAR momentan auf der Position \(N(0|10|20203)\) und der Satellit KOSMOS auf \(K(4309|2801|20513)\) befindet (alle Angaben in km). Ein GPS-Empfänger auf der Erde empfängt die Signale beider Satelliten. Das Signal von NAVSTAR wird aus Richtung des Vektors \(\vec{v}=\left(\begin{array}{c}25\\37\\-1010\end{array}\right)\) empfangen und das von KOSMOS aus Richtung des Vektors \(\vec{w}=\left(\begin{array}{c}-13\\-7\\-70\end{array}\right)\).

Aufgabe 1

Geben Sie eine Gleichung der Geraden an, die von \(K\) aus in Richtung des Vektors \(\vec{w}\) verläuft, und beschreiben Sie den Aufbau dieser Gleichung. 

Lösung

Die Gerade besteht aus dem Stützvektor oder auch Aufpunkt \(\vec{K}\) und dem Richtungsvektor \(\vec{w}\). Über den freien Parameter \(\lambda\in\mathbb{R}\) wird eine beliebige Anzahl an Punkten generiert, die die Gerade \(g\) bilden, also:

\(g:\quad\vec{x}=\vec{K}+\lambda\vec{w}=\left(\begin{array}{c}4309\\2801\\20.513\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}-13\\-7\\-70\end{array}\right)\)

  • Punkte:  3

Aufgabe 2

Zeigen Sie, dass sich der GPS-Empfänger auf der Position \(E(500|750|3)\) befindet.

Lösung

Der Punkt \(E\) ist Teil der Geraden \(g\) aus Aufgabe 1, denn:

\(\vec{E}=\left(\begin{array}{c}500\\750\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4309\\2801\\20.513\end{array}\right)+293\cdot\left(\begin{array}{c}-13\\-7\\-70\end{array}\right)\)

Ebenso könnte man zeigen, dass der Punkt \(E\) auf der Geraden mit dem Stützvektor \(\vec{N}\) und dem Richtungsvektor \(\vec{v}\) liegt.

Abi 2015 Lineare Algebra/Analytische Geometrie Aufgabe 2 GK - Abbildung 1

  • Punkte:  4

Aufgabe 3

Berechnen Sie den Abstand des Satelliten KOSMOS zum Empfänger. 

Lösung

Der Abstand des Satelliten KOSMOS zum Empfänger entspricht der Länge des Vektors \(\vec{K}-\vec{E}\):

\(\left|\vec{K}-\vec{E}\right|=\left|\left(\begin{array}{c}4309-500\\2801-750\\20.513-3\end{array}\right)\right|=\sqrt{3809^2+2051^2+20.510^2}\approx 20.961,3\)

Der Abstand beträgt 20,96 Kilometer.

  • Punkte:  3

Aufgabe 4

Berechnen Sie, in welchem Winkel zueinander die Signale beim Empfänger eintreffen.

Lösung

Gesucht ist der Winkel zwischen den Richtungsvektoren \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\):

\(\cos\alpha=\frac{\left(\begin{array}{c}25\\37\\-1010\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}-13\\-7\\-70\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c}25\\37\\-1010\end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{c}-13\\-7\\-70\end{array}\right)\right|}=\frac{70.116}{1011\ \cdot\ 71,54}\approx 0,969\Rightarrow\alpha=14,2^°\)

Der Winkel zwischen den beiden Signalen beträgt 14,2°.

  • Punkte:  3

Aufgabe 5

Geocaches sind in der Natur versteckte „Schätze“, die man mittels GPS-Koordinaten finden kann. Man kann sich diese immer beliebter werdende Freizeitbeschäftigung als eine Art elektronische Schatzsuche vorstellen. Die GPS-Koordinaten zu einem Geocache findet man im Internet. 
Ein Schatzsucher steht in \(A(2|0|0)\) direkt am Fuße einer steil ansteigenden, mit einigen Bäumen bewachsenen Ebene. In der Nähe der Ebene befindet sich ein Geocache in \(G(3,1|6|1,4)\). Von seiner Position in \(A\) aus peilt der Schatzsucher zunächst die beiden in der Ebene liegenden, markanten Punkte \(B(1|3|1)\) und \(C(–5|6|3)\) an.  \((1\,\text{LE}\,\widehat{=}\,100\,\text{m})\)

Bestimmen Sie eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene \(E\), die durch die Punkte \(A\)\(B\) und \(C\) verläuft.
\([\text{zur Kontrolle:}\quad \text{E:}\;3x-4y+15z=6]\)

Lösung

Eine Parameterform der Ebene lautet wie folgt:

\(E:\quad \vec{x}=\vec{A}+s\left(\vec{B}-\vec{A}\right)+t\left(\vec{C}-\vec{A}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\0\\0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-1\\3\\1\end{array}\right)+u\left(\begin{array}{c}-7\\6\\3\end{array}\right)\)

Für die Koordinatengleichung benötigt man den Normalenvektor:

\(\vec{n}=\left(\begin{array}{c}-1\\3\\1\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-7\\6\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\-4\\15\end{array}\right)\)

Nullsetzen des Skalarprodukts aus Normalenvektor und Differenzvektor \(\left(\vec{x}-\text{Aufpunkt}\right)\) ergibt die Ebenengleichung in Koordinatenform:

\(\begin{alignat*}{4} &E:\;\vec{n}&\cdot\left(\vec{x}-\vec{A}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\-4\\15\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x-2\\y\\z\end{array}\right)&=0\\ &\Rightarrow &3x-4y+15z\,&=6 \end{alignat*}\)

Eine Koordinatengleichung der Ebene \(E\) lautet:

\(3x-4y+15z=6\)

  • Punkte:  5

Aufgabe 6

Erläutern Sie die folgenden vier Rechenschritte und die Bedeutung der Rechnung im Sachzusammenhang: 

\(\begin{align} 1.\quad&E_1:\,3x-4y+15z=6\Rightarrow\vec{n_1}=\left(\begin{array}{c}3\\-4\\15\end{array}\right) \\ 2.\quad& E_2:\,z=0\Rightarrow\vec{n_2}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right) \\ 3.\quad&\cos(\gamma)=\frac{\left|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}\right|}{\left|\vec{n_1}\right|\cdot\left|\vec{n_2}\right|}=\frac{15}{\sqrt{250}}\Rightarrow \gamma\approx 18,4^° \\ 4.\quad&\tan(\gamma)\approx 33,3\ \% \end{align}\)

Lösung

In der Rechnung wird der Winkel \(\gamma\) zwischen den zwei Ebenen \(E_1\) und \(E_2\) bestimmt. \(E_1 \) ist die eben betrachtete Ebene durch die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\). Als Normalenvektor wird \(\vec{n_1}=(3|-4|15)\) gewählt. Ebene \(E_2\) ist die \(xy\)-Ebene mit der Koordinatengleichung \( z = 0 \) und einem Normalenvektor \(\vec{n_2}=(0|0|1)\). Der Winkel, unter dem sich die Ebenen schneiden, ist der Winkel zwischen den beiden Normalenvektoren, der sich mit der bekannten Skalarproduktformel berechnen lässt.

Zuletzt wird noch die prozentuale Steigung der Ebene \(E_1\) gegenüber der Horizontalen mithilfe des Tangens berechnet. So steil muss man hinauf, um den Cache zu suchen!

  • Punkte:  6

Aufgabe 7

Zeichnen Sie die Lage des Geocaches in \(G(3,1|6|1,4)\) als Punkt in das folgende Koordinatensystem ein. Untersuchen Sie rechnerisch, ob der Geocache über, auf oder unter der Erdoberfläche versteckt ist. 

Lösung

Lage des Geocaches \(G\) im Koordinatensystem:

Abi 2015 Lineare Algebra/Analytische Geometrie Aufgabe 2 GK - Abbildung 2

Gesucht ist der senkrechte Abstand von \(G\) zum durch \(E_1\) modulierten Erdboden.

Zunächst bestimmt man die hessesche Normalform der Ebenengleichung:

\(\frac{3x\ -\ 4y\ +\ 15z\ -\ 6}{5\sqrt{10}}=0\)

Einsetzen der Koordinaten von \(G\) in die obige Normalform der Ebene:

\(d(G; E)=\frac{3\ \cdot\ 3,1\ -\ 4\ \cdot\ 6\ +\ 15\ \cdot\ 1,4\ -\ 6}{5\sqrt{10}}\approx 0,019\)

Der Geocache befindet sich 1,9 Meter über dem Boden.

  • Punkte:  6
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