Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Abi 2015 Lineare Algebra/Analytische Geometrie Aufgabe 1 GK


Das unten dargestellte quaderförmige Holzgerüst hat eine Länge und Breite von jeweils \(3\,\text{m}\) und eine Höhe von \(2,50\,\text{m}\). Als Sonnen- und Sichtschutz wird ein dreieckiges Sonnensegel in den Punkten \(S(3|2|2,5)\)\(T(3|3|0,5)\) und \(U(0|3|2)\) befestigt. Der Flächeninhalt des Sonnensegels beträgt \(A \approx 3,44\,\text{m}^2\).

Abi 2015 Lineare Algebra/Analytische Geometrie Aufgabe 1 GK - Abbildung 1

Aufgabe 1

Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte des Holzgerüstes an. Die Pfostendicke bleibt dabei unberücksichtigt.

Lösung

Die Koordinaten der Eckpunkte lauten: \(A(3|0|0),\ B(3|3|0),\ C(3|3|2,5),\ D(3|0|2,5),\ E(0|0|0),\ F(0|3|0),\ G(0|3|2,5),\ H(0|0|2,5)\).

  • Punkte:  4

Aufgabe 2

Zeichnen Sie das Sonnensegel in die obige Abbildung und berechnen Sie eine Koordinatengleichung der Sonnensegelebene \(E\).
\([\text{zur Kontrolle:}\quad \text{E}: x+4y+2z=16]\)

Lösung

Darstellung des Segels im Koordinatensystem:

Abi 2015 Lineare Algebra/Analytische Geometrie Aufgabe 1 GK - Abbildung 2

Die Sonnensegelebene in Parameterform lautet:

\(\quad E:\;\vec{x}=\vec{S}+t\left(\vec{T}-\vec{S}\right)+u\left(\vec{U}-\vec{S}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\2\\2,5\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}0\\1\\-2\end{array}\right)+u\left(\begin{array}{c}-3\\1\\-0,5\end{array}\right)\)

Der benötigte Normalenvektor berechnet sich wie folgt:

\(\vec{n}=\left(\begin{array}{c}0\\1\\-2\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-3\\1\\-0,5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1,5\\6\\3\end{array}\right)\)

Nullsetzen des Skalarprodukts aus Normalenvektor und Differenzvektor \(\left(\vec{x}-\text{Aufpunkt}\right)\) ergibt die Ebenengleichung in Koordinatenform:

\(\begin{alignat*}{4} &E:\;\vec{n}&\cdot\left(\vec{x}-\vec{S}\right)=\left(\begin{array}{c}1,5\\6\\3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x-3\\y-2\\z-2,5\end{array}\right)&=0\\ &\Rightarrow &1,5x-4,5+6y-12+3z-7,5&=0\\ &\Rightarrow &x+4y+2z\,&=16 \end{alignat*}\)

Eine Koordinatengleichung der Sonnensegelebene \(E\) lautet:

\(x+4y+2z=16\)

  • Punkte:  7

Aufgabe 3

Durch das Sonnensegel wird die Höhe eingeschränkt. Damit man den Raum noch großzügig nutzen kann, soll die Stehhöhe über dem Punkt \(P(2,5|2,5|0)\) noch \(h = 2,0\,\text{m}\) betragen. Prüfen Sie, ob durch die Befestigung des Sonnensegels die Stehhöhe über dem Punkt \(P\) beeinträchtigt wird. 

Lösung

Gesucht ist die \(z\)-Koordinate des Schnittpunkts des Lots auf \(P(2,5|2,5|0)\) mit der Ebene \(E\). Die Punkte auf der Geraden haben die Form \((2,5|2,5|z)\). Einsetzen von \(x = y = 2,5\) und \(z\) in die Ebenengleichung ergibt:
\(2,5+10+2z=16\Rightarrow z=\frac{7}{4}=1,75 < 2\)

Die Stehhöhe liegt \(25\,\text{cm}\) unter \(2\,\text{m}\), ist also zu niedrig.

  • Punkte:  4

Aufgabe 4

Bestimmen Sie den Winkel zwischen der Sonnensegelebene und der Dachebene \(DCGH\)

Lösung

Ein Normalenvektor von Ebene \(E\) ist \( (1,5|6|3)\); einfacher rechnet man mit dem Normalenvektor \((0,5|2|1)\). Das Lot auf der Dachebene zeigt in \(z\)-Richtung, also ist ein Normalenvektor dieser Ebene \( (0|0|1)\). Für den Winkel zwischen diesen beiden Vektoren gilt:

\(\cos\alpha=\frac{\left(\begin{array}{c}0,5\\2\\1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c}0,5\\2\\1\end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\right|}=\frac{1}{\frac{\sqrt{21}}{2}}\approx0,436\Rightarrow\alpha=64,12^°\)

  • Punkte:  3

Aufgabe 5

Bei starkem Wind beginnt das Sonnensegel zu flattern. Um die Bewegung des Sonnensegels einzuschränken, wird eine zur Dreiecksfläche orthogonale Verbindung zum Eckpunkt \(C\) konzipiert.
Bestimmen Sie die Länge dieses Verbindungsstücks unter der modellhaften Annahme, dass das Sonnensegel so gespannt wurde, dass es nicht durchhängt. 
\(​[\text{zur Kontrolle:}\;d \approx 0,87\,\text{m}]\)

Lösung

Zur Bestimmung des Abstandes wird zunächst die hessesche Normalform der Ebenengleichung benötigt:

\(\frac{x\ +\ 4y\ +\ 2z\ -\ 16}{\sqrt{21}}=0\)

Einsetzen der Koordinaten von \(C\) in die obige Gleichung liefert:

\(d(C;E)=\frac{3\ +\ 4\ \cdot\ 3\ +\ 2\ \cdot\ 2,5\ -\ 16}{\sqrt{21}}=\frac{4}{\sqrt{21}}\approx 0,87\)

Das Verbindungsstück ist \(0,87\,\text{m}\) lang.

  • Punkte:  4

Aufgabe 6

Zu künstlerischen Zwecken sollen innerhalb des Holzgerüsts drei weitere dreieckige Tücher gespannt werden, die jeweils eine Seitenkante des vorhandenen Sonnensegels mit dem Eckpunkt \(C\) verbinden. Berechnen Sie, wie viel Prozent des Raumes innerhalb des Holzgerüstes der entstehende Körper einnimmt. 

Lösung

Das Volumen berechnet sich nach der Formel: \(1/3\) mal Grundfläche mal Höhe, also:

\(V_P\approx \frac{(3,44\,\text{m}^2\ \cdot\ 0,87\,\text{m})}{3} = 1,0\,\text{m}^3\)

Das Volumen des Würfels (Raumes) ist:

\(V_\text{Raum}= 9\,\text{m}^2\cdot 2,5\,\text{m} = 22,5\,\text{m}^3\)

Die Pyramide nimmt etwa \(4,4\ \%\) des Würfelvolumens ein.

  • Punkte:  4

Aufgabe 7

Es beginnt zu regnen. Die Regentropfen fallen dabei modellhaft geradlinig in Richtung \(\vec{v}= \left(\begin{array}{c} 0,5\\-0,25\\-1,25\end{array}\right)\). Durch das Sonnensegel bleibt ein Teil des Bodens trocken. Dieser trockene Teil wird durch die Punkte \(S'(4|1,5|0)\)\(T'(3,2|2,9|0)\) und \(U'\) begrenzt. Berechnen Sie die Koordinaten von \(U'\) und stellen Sie diese Fläche in Ihrer Zeichnung dar. 

Lösung

Der gesuchte Punkt ist Schnittpunkt der \(xy\)-Ebene (Gleichung: \(z = 0\)) mit der Geraden \(g\) durch \(U\) mit dem Richtungsvektor \(\vec{v}\):

\(g:\;\vec{x}=\vec{OU}+\lambda\vec{v}=\left(\begin{array}{c}0\\3\\2\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}0,5\\-0,25\\-1,25\end{array}\right)\)

Einsetzen in die Ebenengleichung ergibt:

\(2-\frac{5}{4}\lambda=0\Rightarrow\lambda=\frac{8}{5}\)

Der Schnittpunkt hat die Koordinaten \(U'(0,8|2,6|0)\).

Darstellung der Fläche:

Abi 2015 Lineare Algebra/Analytische Geometrie Aufgabe 1 GK - Abbildung 3

  • Punkte:  4
Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Musterlösungen findest du hier