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Abi 2015 Geometrie TeilB AG1


Aufgabe 1

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebene \(E:x_1+x_3=2\), der Punkt \(A(0\mid \sqrt2\mid 2)\) und die Gerade \(g:\vec X = \vec A+\lambda\cdot \begin{pmatrix}-1\\ \sqrt2\\1 \end{pmatrix}\), \(\lambda \in \mathbb R\), gegeben. 

a) Beschreiben Sie, welche besondere Lage die Ebene \(E\) im Koordinatensystem hat. Weisen Sie nach, dass die Ebene \(E\) die Gerade \(g\) enthält. Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von \(E\) mit der \(x_1\)-Achse und mit der \(x_3\)-Achse an und veranschaulichen Sie die Lage der Ebene \(E\) sowie den Verlauf der Geraden \(g\) in einem kartesischen Koordinatensystem (vgl. Abbildung).

(6 BE)

Die \(x_1x_2\)-Ebene beschreibt modellhaft eine horizontale Fläche, auf der eine Achterbahn errichtet wurde. Ein gerade Abschnitt der Bahn beginnt im Modell im Punkt \(A\) und verläuft entlang der Geraden \(g\). Der Vektor \(\vec v=\begin{pmatrix}-1\\ \sqrt 2\\ 1 \end{pmatrix}\) beschreibt die Fahrtrichtung auf diesem Abschnitt.

b) Berechnen Sie im Modell die Größe des Winkels,unter dem dieser Abschnitt der Achterbahn gegenüber der Horizontalen ansteigt.

(3 BE)

An den betrachteten geraden Abschnitt der Achterbahn schließt sich - in Fahrtrichtung gesehen - eine Rechtskurve an, die im Modell durch einen Wiertelkreis beschrieben wird, der in Ebene \(E\) verläuft und den Mittelpunkt \(M(0\mid 3\sqrt2\mid2)\).

c) Das Lot von \(M\) auf \(g\) schneidet \(g\) im Punkt \(B\). Im Modell stellt \(B\) den Punkt der Achterbahn dar, in dem der gerade Abschnitt endet und die Kurve beginnt. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(B\) und berechnen Sie den Kurvenradius im Modell. (Teilergebnis: \(B(-1\mid 2\sqrt2\mid 3)\))

(5 BE)

d) Das Ende der Rechtskurve wird im Koordinatensystem durch den Punkt \(C\) beschrieben. Begründen Sie, dass für den Ortsvektor des Punkts \(C\) gilt: \(\vec C=\vec M + \vec v\).

(2 BE)

e) Ein Wagen der Achterbahn durchfrährt den Abschnitt, der im Modell durch die Strecke \([AB]\) und dem Viertelkreis von \(B\) nach \(C\) dargestellt wird, mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von \(15\frac m s\). Berechnen Sie die Zeit, die der Wagen dafür benötigt, auf Zehntelsekunden genau, wenn eine Längeneinheit im Koordinatensystem \(10\ \mathrm m\) in der Realität entspricht.

(4 BE)

Lösung

Gegeben sind die Ebene \(E:x_1+x_3=2\), der Punkt \(A(0\mid \sqrt2\mid 2)\) und die Gerade \(g:\vec X = \vec A+\lambda\cdot \begin{pmatrix}-1\\ \sqrt2\\1 \end{pmatrix}\), \(\lambda \in \mathbb R\).

a)

Lage von Ebene E beschreiben

Die Ebene \(E\) ist parallel zur \(x_2\)-Achse. 

Anmerkung: Das ist erkennbar am Fehlen der \(x_2\)-Koordinate in der Ebenengleichung. Zum "Beschreiben" gehört keine Erklärung.

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Nachweisen, dass g in E liegt

1.Schritt: Punkt \(A\) prüfen

Einsetzen von \(A\) in \(E\) führt zu der wahren Aussage \(0+2=2\)

Daaus folgt, dass \(A\) in \(E\) liegt.

2.Schritt: Richtungsvektor von \(g\) prüfen

\(\overrightarrow{u_g} \circ \overrightarrow{n_E} =\begin{pmatrix}-1\\ \sqrt2 \\1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}1\\ 0 \\1 \end{pmatrix}=-1+1=0 \Rightarrow \overrightarrow{u_g} \perp \overrightarrow{n_E}\)

Ergebnis

Der Richtungsvektor von \(g\) ist senkrecht zum Normalenvektor von \(E\), folglich ist \(g\) parallel zu \(E\) und, weil \(A\) in \(E\) liegt, liegt somit die ganze Gerade \(g\) in der Ebene \(E\).

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Schnittpunkte von E mit der x1-Achse und mit der x3-Achse angeben

Beim Schnittpunkt mit der \(x_1\)-Achse muss \(x_2=x_3=0\) gelten. Einsetzen in die Ebenengleichung führt zu \(x_1=2\). Der andere Schnittpunkt ergibt sich entsprechend: \(x_3=2\).

Ergebnis

Die Spurpunkte sind \(S_1(2\mid 0\mid0)\) und \(S_3(0 \mid 0 \mid 2)\).

Anmerkung: Eine Begründung ist bei dieser Fragestellung nicht erforderlich.

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Zeichnung von E und g

Abi 2015 Geometrie TeilB AG1 - Abbildung 1

b)

Berechnen des Winkels 

Der gesuchte Winkel ist \(\measuredangle(x_1x_2-\text{Ebene},g)\). Benutzt man für die Ebene deren Normalenvektor, muss man beachten, dass der berechnete und der gesuchte WInkel zusammen 90° ergeben.

\(\measuredangle(x_1x_2-\text{Ebene},g)=90°-\measuredangle(\overrightarrow{n_{x_1x_2}},\overrightarrow{u_g})=90°-\measuredangle\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}^, \begin{pmatrix}-1\\\sqrt2\\1\end{pmatrix}\end{pmatrix}\\=90°-\mathrm{cos}^{-1}\begin{pmatrix}\frac{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-1\\ \sqrt2\\1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}-1\\\sqrt2\\1\end{pmatrix}\right|}\end{pmatrix}=90°-\mathrm{cos}^{-1}\left(\frac 1 2\right)=30°\)

Ergebnis

Der Abschnitt der Achterbahn steigt unter dem Winkel 30° gegenüber der Horizontalen an.

Anmerkung: Alternativ zur Differenzbildung könnte man direkt \(\mathrm{sin}^{-1}\) benutzen.

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c)

\(B\) ist der Lotfußpunkt von \(M\) auf \(g\). Dieser berechnet sich als Schnittpunkt der Lotebene \(E_L\) mit \(g\).

EL bestimmen

\(u_g\circ\left(\vec X-\vec M\right)=0\)

\(\begin{pmatrix}-1\\ \sqrt2 \\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2 \\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\ 3\sqrt2 \\2\end{pmatrix}\end{pmatrix}=0\)

\(-x_1+\sqrt2\cdot(x_2-3\sqrt2)+x_3-2=0\)

\(E_L: -x_1+\sqrt2\cdot x_2+x_3-8=0\)

Schnittpunkt B der Lotebene EL mit g bestimmen

Einsetzen von \(g\) in \(E_L\):

\(\begin{array}{rrr}\\ -(-\lambda)+\sqrt2\cdot\sqrt2\cdot(1+\lambda)+(2+\lambda)-8&=&0\\ 4\lambda-4&=&0\\ \lambda&=&1 \end{array}\)

also \(\vec B = \begin{pmatrix}0\\ \sqrt2\\ 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\ \sqrt2 \\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\sqrt2\\3\end{pmatrix} \) und \(B(-1\mid2\sqrt2\mid3)\)

Alternativer Rechenweg: Man kann \(B\) auch bestimmen, indem man \(B\) als Punkt auf \(g\), also \(\vec B= \vec A +\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\ \sqrt2\\1\end{pmatrix}\) in die Gleichung \(u_g\circ\overrightarrow{BM}=0\) einsetzt, die deshalb gilt, weil die Gerade \(g\) als Tangente an den Kreis im Punkt \(B\) senkrecht auf dem Radius steht.

Ergebnis 

Die Koordinaten des Punkts \(B\) lauten (\(B(-1 \mid 2\sqrt2 \mid 3)\))

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Kurvenradius bestimmen

Der Kurvenradius ist der Abstand vom Mittelpunkt \(M\) zur Kreislinie, also z.B. zu \(B\):

\(r=\mathrm d (M,B)=\left|\vec B - \vec M\right|=\left| \begin{pmatrix}-1\\2\sqrt2\\3\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0\\3\sqrt2\\2\end{pmatrix}\right|=\left| \begin{pmatrix}-1\\-\sqrt2\\1\end{pmatrix} \right|\)

\(=\sqrt{(-1)^2+(-\sqrt2)^2+1^2}=2[LE]\)

Ergebnis

Der Kurvenradius ist \(r=2\ \text{LE}\).

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d)

Begründen, dass C=M+v gilt.

Der Bogen ist ein Viertelkreis, also liegen \(\overrightarrow{MB}\) und \(\overrightarrow{MC}\) senkrecht zueinander. \(\overrightarrow{MB}\) ist andererseits senkrecht zu \(\vec v=\overrightarrow{u_g}\). Deshalb muss \(\overrightarrow{MC}\) zumindest parallel zu \(\vec v\) liegen. Die Längen von \(\overrightarrow{MC}\) muss gleich \(r\), also \(2\ \text{LE}\) sein. Die Länge von \(\vec v\) ist \(2\ \text{LE}\), also \(\overrightarrow{MC}=+\) oder \(-\vec v\).  \(\overrightarrow{MC}=-\vec v\)scheidet aus, weil \(\vec v\) die ursprüngliche Fahrtrichtung ist - Somit muss \(\overrightarrow{MC}=\vec C-\vec M=\vec v\) sein. Daraus folgt direkt \(\vec C=\vec M +\vec v\).

e)

Länge der Strecke [AB] berechnen

\(\overline{AB}=\vert\vec B-\vec A\vert=\left|\begin{pmatrix}-1\\2\sqrt2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\\sqrt2\\2\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}-1\\ \sqrt2\\1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{1+2+1}=2\ \mathrm{[LE}]= 20\ \mathrm{[m]}\)

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Länge des Viertelkreises berechnen

\(k=\frac 1 4 \cdot 2\ r\ \pi =\frac 1 2\cdot 2 \pi= \pi\ \mathrm{[LE]} =10 \pi\ \mathrm{[m]}\)

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Fahrtzeit des Wagens berechnen

\(\text{Fahrzeit}=\frac{\text{Fahrstrecke}}{\text{Geschwindigkeit}}=\frac {20+10 \pi }{15}\frac m{\frac m s}\approx3,4s\)

Ergebnis

Der Wagen benötigt ca \(3,4\) Sekunden für die gefragte Strecke.

Anmerkung: Die gewünschte Genauigkeit des Ergebnisses war mit Zehntelsekunden vorgegeben, alsom muss auf eine Nachkommastelle gerundet werden. 

  • Punkte:  20
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