Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Abi 2015 Geometrie TeilB (2)


Aufgabe 1

Abbildung 1 zeigt eine Sonnenuhr mit einer gegenüber der Horizontalen geneigten, rechteckigen Grundplatte, auf der sich ein kreisförmiges Zifferblatt befindet. Auf der Grundplatte ist der Polstab befestigt, dessen Schatten bei Sonneneinstrahlung die Uhrzeit auf dem Zifferblatt anzeigt. Eine Sonnenuhr dieser Bauart wird in einem kartesischen Koordinatensystem modellhaft dargestellt (vgl.Abbildung 2). Dabei beschreibt das Rechteck \(ABCD\) mit \(A(5\mid -4\mid 0)\) und \(B(5\mid 4 \mid 0)\) die Grundplatte der Sonnenuhr. Der Befestigungspunkt des Polstabs auf der Grundplatte wird im Modell durch den Diagonalenschnittpunkt \(M(2,5 \mid 0 \mid 2)\) des Rechtecks \(ABCD\) dargestellt. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht \(10\ \mathrm{cm}\) in der Realität. Die Horizontale wird im Modell durch die \(x_1\ x_2\)-Ebene beschrieben.

Abi 2015 Geometrie TeilB (2) - Abbildung 1

Abb. 1

Abi 2015 Geometrie TeilB (2) - Abbildung 2

Abb. 2

a) Bestimmen Sie die Koordianten des Punkts \(C\). Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\), in der das Rechteck \(ABCD\) liegt, in Normalenform. (mögliches Teilergebnis: E: \(4x_1+5x_3-20=0\))

(5 BE)

b) Die Grundpalette ist gegenüber der Horizontalen um den Winkel \(\alpha\) geneigt. Damit man mit der Sonnenuhr die Uhrzeit korrekt bestimmen kann, muss für den Breitengrad \(\varphi\) des Aufstellungsorts der Sonnenuhr \(\alpha+\varphi=90°\) gelten. Bestimmen Sie, für welchen Breitengrad \(\varphi\) die Sonnenuhr gebaut wurde.

(4 BE)

c) Der Polstab wird im Modell durch die Strecke \([MS]\) mit \(S(4,5\mid0 \mid4,5)\) dargestellt. Zeigen Sie, dass der Polstab senkrecht auf der Grundplatte steht und berechnen Sie die Länge des Polstabs auf Zentimeter genau. Sonnenlicht, das an einem Sonntag zu einembestimmten Zeitpunkt \(t_0\) auf die Sonnenuhr einfällt, wird im Modell durch parallele Gerade mit dem Richtungsvektor \(\vec u=\begin{pmatrix}6 \\6 \\-13\end{pmatrix}\) dargestellt.

(3 BE)

d) Weisen Sie nach, dass der Schatten der im Modell durch den Punkt \(S\) dargestellten Spitze des Polstabs außerhalb der rechteckigen Grundplatte liegt.

(6 BE)

e) Um 6 Uhr verläuft der Schatten des Polstabs im Modell durch den Mittelpunkt der Kante \([BC]\), um 12 Uhr durch den Mittelpunkt der Kante \([AB]\) und um 18 Uhr durch den Mittelpunkt der Kante \([AD]\). Begründen Sie, dass der betrachtete Zeitpunkt \(t_0\) vor 12 Uhr liegt.

(2 BE)

Lösung

a)

Koordinaten von C bestimmen

Da die Neigung des Rechtecks \(ABCD\) gegenüber der Horizontalen und die Kanten \((BC)\) und \((AD)\) des Rechtecks nicht bekannt sind, wohl aber der Mittelpunkt \(M\), ist der Punkt \(C\) am einfachsten über \(M\) zu bestimmen.

\(\vec C= \vec A+2 \cdot \overrightarrow{AM}=\vec A+\cdot(\vec M - \vec A)\\= \begin{pmatrix}5\\-4\\0\end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix}\begin{pmatrix}2,5\\0\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\-4\\0\end{pmatrix}\end{pmatrix}\\= \begin{pmatrix}5\\-4\\0\end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix}-2,5\\4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\4\end{pmatrix}\)

, also \(C(0 \mid 4 \mid 4)\)

Ergebnis

Punkt \(C\) hat die Koordinaten \(C(0 \mid 4 \mid 4)\).

Gleichung der Ebene E in der Form E: n1x1+n2x2+n3x3+c=0 bestimmen

Für einen Normalenvektor \(\overrightarrow {n_1}\) der Ebene \(E\) werden zwei beliebige Richtungsvektoren aus \(E\) gebraucht. \(\overrightarrow {AM}\) ist von vorher schon bekannt, daher wird er hier wieder benutzt und als zweites \(\overrightarrow{AB}\).

\(\vec {n_1}=\overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{AB} =\begin{pmatrix}-2,5\\4\\2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\-4\\0\end{pmatrix}\end{pmatrix} \\=\begin{pmatrix}-2,5\\4\\2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0\\8\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-16\\0-0\\-20-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-16\\0\\-20\end{pmatrix}\) 

Ein einfacherer Normalenvektor ist \(\vec n=-\frac 1 4 \vec {n_1}= \begin{pmatrix}4\\0\\5\end{pmatrix}\) .

Damit ist \(E: 4 x_1+5x_3+c=0\)

Um \(c\) zu bestimmen, setzt man z.B. \(B\) ein: \(20+c=0\), also \(c=-20\).

Ergebnis 

Die gefundene Gleichung der Ebene \(E\) lautet \(E: 4x_1+5x_3-20=0\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

b)

α berechnen

\(\alpha=\measuredangle(E,x_1\ x_2-\text{Ebene})=\measuredangle(\vec n,\overrightarrow{n_{x_1\ x_2}})=\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\0\\5\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\end{pmatrix}\)

\(\alpha=\mathrm{cos}^{-1}\begin{pmatrix}\frac{\begin{pmatrix}4\\0\\5\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}4\\0\\5\end{pmatrix}\right|\cdot1}\end{pmatrix}=\mathrm{cos}^{-1}\left(\frac5{\sqrt{41}}\right)\approx 38,7°\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

\(\varphi\) berechnen

\(\alpha+\varphi=90° \Rightarrow \varphi=90°-\alpha\approx 90° -38,7°=51,3°\)

Ergebnis

Die Sonnenuhr ist ungefähr für den \(51.\)Breitengrad geeignet.

c)

Zeigen, dass der Polstab senkrecht zur Grundplatte steht

\(\overrightarrow{MS}=\vec S-\vec M=\begin{pmatrix}4,5\\0\\4,5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2,5\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\2,5\end{pmatrix}\)

Der Polstab wird durch \(\overrightarrow{MS}\) dargestellt, die Grundplatte durch die Ebene \(E\). Sie stehen senkrecht zueinander, wenn \(\overrightarrow{MS}=k\cdot\vec n\) gilt. Das ist der Fall: \(\overrightarrow{MS}=\begin{pmatrix}2\\0\\2,5\end{pmatrix}=\frac 1 2 \cdot \begin{pmatrix}4\\0\\5\end{pmatrix}=\frac 1 2 \cdot \vec n\) 

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Länge des Polstabs berechnen

Länge des Polstabs \(= \vert \overrightarrow{MS}\vert=\left| \begin{pmatrix}2\\0\\2,5\end{pmatrix} \right|\)

d)

Lichtstrahl an der Polstab-Spitze als Gerade darstellen

\(s:\vec X= \vec S + \lambda \cdot \vec u=\begin{pmatrix}4,5\\0\\4,5\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix} 6\\6\\-13\end{pmatrix}\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Schnittpunkt P von Gerade s und Ebene E bestimmen

Einsetzen von \(s\) in \(E\) liefert

\(\begin{array}{rcc}\\ 4\cdot(4,5+6\lambda)+5\cdot(4,5-13\lambda)-20&=&0\\ 18+24\lambda+22,5-65\lambda-20&=&0\\ -41\lambda+20,5&=&0\\ \lambda&=&\frac 1 2 \end{array}\)

Einsetzen von \(\lambda\) in die Gerade \(s\) führt auf den Schnittpunkt \(P\):

\(\vec P=\begin{pmatrix}4,5\\0\\4,5\end{pmatrix}+\frac 1 2 \cdot\begin{pmatrix}6\\6\\-13\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7,5\\3\\-2\end{pmatrix}\), also \(P(7,5\mid 3\mid -2)\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Ergebnis beurteilen

Sowohl an der \(x_1\)-Koordinate, als auch an der \(x_3\)-Koordinate sieht man, dass der Schnittpunkt außerhalb der Grundplatte liegt, denn sie liegen außerhalb der jeweiligen Bereiche \([0;5]\) und \([0;4]\).

e)

Begründen, dass der Zeitpunkt t0 vor 12 Uhr liegt

Die Punkte \(A\) und \(B\) liegen in der \(x_1x_2\)-Ebene. \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}0\\8\\0\end{pmatrix}\) ist parallel zur x_2-Achse. Also liegt das Rechteck \(ABCD\) symmetrisch zur \(x_1x_3\)-Ebene. Der 12-Uhr-Punkt \(M_{AB}(5\mid0\mid0)\) liegt in der \(x_1x_3\)-Ebene, alle Zeiten nach 12 Uhr werfen wie 18 Uhr Schatten mit negativer \(x_2\)-Koordinate, alle Zeiten vor 12 Uhr werfen wie 6 Uhr einen Schatten mit positiver \(x_2\)-Koordinate. Der Schattenpunkt \(P\) der Polstabspitze zur Zeit \(t_0\) hat die positive Koordinate \(x_2=3\) und gehört damit zu einer Zeit in der Tageshälfte vor 12 Uhr.

  • Punkte:  20
Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Musterlösungen findest du hier