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Abi 2015 Geometrie Stochastik B1 GK


Aufgabe B 1.1

Über einer Terrasse ist als Sonnenschutz eine Markise an einer Hauswand befestigt. In einem Koordinatensystem stellen die Punkte \(P(0/0/0)\)\(Q(5/0/0)\)\(R(5/4/0)\)\(S(0/4/0)\) die Eckpunkte der Terrasse dar. Die Markise wird durch das Rechteck mit den Eckpunkten \(A(0/0/4)\)\(B(5/0/4)\)\(C(5/3,9/2,7)\)\(D(0/3,9/2,7)\) beschrieben (alle Koordinatenangaben in Meter). Die Lage der Hauswand wird durch die \(x_1x_3\)−Ebene beschrieben. 

Abi 2015 Geometrie Stochastik B1 GK - Abbildung 1

 

 

Aufgabe a)

Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, welche die Lage der Markise beschreibt.
Berechnen Sie den Winkel zwischen Markise und Hauswand. 
(3 VP)

Lösung

Koordinatengleichung der Ebene
Die allgemeine Form einer Koordinatengleichung lautet:
\(E:\; ax_1+bx_2+cx_3=d.\)
Mit Hilfe der Punkte \(A, B, C\) und \(D\) bestimmst du die Koeffizienten \(a, b, c\) und \(d\). Der GTR liefert:
\(E:\; 0\cdot x_1+1\cdot x_2+3\cdot x_3=12.\)

Die gesuchte Koordinatengleichung lautet: \(E:\; x_2+3\cdot x_3=12.\).  

Winkel Markise Hauswand
Der gesuchte Winkel entspricht dem Winkel zwischen den Vektoren \(\vec{BC}\) und \(\vec{BQ}\).
\(\cos(\alpha)=\frac{\left(\begin{array}{c}0\\3,9\\-1,3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0\\0\\-4\end{array}\right)}{\sqrt{3,9^2+(-1,3)^2}\cdot 4}.\)

Der GTR liefert: \(\alpha \approx 71,6°\).

Aufgabe b)

In der Mitte zwischen \(Q\) und \(R\) steht eine 30cm hohe Stehlampe. Am Markisenrand \(CD\) wird ein senkrecht nach unten hängender Regenschutz angebracht, der genau bis auf  die Terrasse reicht. Bei starkem Wind schwingt er frei um \(CD\).
Kann der Regenschutz dabei die Stehlampe berühren?
Welchen Abstand von der Hauswand darf die Stehlampe auf der Terrasse höchstens haben, damit dies nicht passiert?
(4 VP)

Lösung

Berührung Regenschutz Stablampe
Die Spitze der Stablampe hat die Koordinate \(Z(5|2|0,3)\). Der Regenschutz würde gegen die Lampe schwingen, sollte der Abstand von \(C\) und \(Z\) kleiner als 2,7 m sein.
Abstandberechnung\(|\vec{CZ}|\approx 3,06.\)
Der Regenschutz wird die Lampe nicht berühren.

Abstand Hauswand ohne Berührung
Der Abstand der Stablampe von der Hauswand wird durch die zweite Koordinate der Stablampenspitze \(Z\) festgelegt. Im Grenzfall wird der Regenschutz gerade die Lampe berühren. In diesem Fall gilt: \(|\vec{CZ}|= 2,7.\)
\(|\vec{CZ}|=\left|\left(\begin{array}{c}0\\x_2-3,9\\-2,4\end{array}\right)\right|=\sqrt{(x_2-3,9)^2+2,4^2}=2,7.\)
Der GTR liefert im möglichen Intervall [0; 4] den Wert \(x_2\approx 2,66.\)

Die Stablampe muss weniger als 2,66 m von der Hauswand entfernt stehen.

Aufgabe c)

Die Sonne scheint und der Regenschutz wird entfernt. Die Richtung der Sonnenstrahlen wird durch den Vektor \(\vec{v}=\left(\begin{array}{c}1\\-1\\-3\end{array}\right)\) beschrieben.  

Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Terrasse nicht vollständig beschattet wird. Die Markise kann ein- und ausgefahren werden. Dabei bewegen sich die äußeren Eckpunkte der Markise längs der Geraden \(BC\) und \(AD\). Die Markise wird nun so weit eingefahren, dass der Terrassenrand zwischen \(Q\) und \(R\) genau zur Hälfte im Schatten liegt. 
Bestimmen Sie die neuen Koordinaten der äußeren Eckpunkte der Markise.
(4 VP)

Lösung

Beschattung der Terrasse
Die \(x_1\)-Koordinate der Sonnenstrahlenrichtung ist positiv. Da die Kante \(AD\) der Markise dieselbe \(x_1\)-Koordinate wie der hintere Rand der Terrasse \(PS\) hat, wird durch die schräg nach vorne einfallenden Sonnenstrahlen in jedem Fall ein hinterer Teil der Terrasse nicht im Schatten liegen. Ebenso kann man mit der (negativen) \( x_2\)-Koordinate des „Sonnenstrahlenvektors“ argumentieren, dass auch Sonnenstrahlen am rechten Rand auf die Terrasse fallen und somit auch hier die Terrasse nicht vollständig beschattet ist.

Halbbeschattete Terrasse
Der Mittelpunkt \(M\) des Terrassenrandes zwischen \(Q\) und \(R\) hat die Koordinaten \(M(5|2|0)\). Drehst du in Gedanken den Lichtstrahl um und lässt ihn in \(M\) beginnen, so ist der Schnittpunkt dieses Lichtstrahls \(g\) mit der Markise \(E\) der Treffpunkt \(T\).
\(g:\;\vec{x}=\left(\begin{array}{c}5\\2\\0\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}-1\\1\\3\end{array}\right)\;\text{mit } s\in\mathbb{R}.\)
\(g\) in \(E\) liefert: \(s=1\) und somit den Schnittpunkt \(T(4|3|3)\). Die Punkte \(C'\) und \(D'\) haben die gleichen \(x_1\)-Koordinaten wie \(C\) bzw. \(D\).

Deshalb gilt: \(C'(5|3|3)\) und \(D'(0|3|3)\).

Aufgabe B 1.2

Ein Großhändler gibt an, dass sein Weizensaatgut eine Keimfähigkeit von mindestens 80% hat. Mehrere Kunden vermuten, dass die Keimfähigkeit in Wirklichkeit kleiner ist. Deswegen wird die Aussage des Großhändlers mit Hilfe eines Tests auf einem Signifikanzniveau von 10% überprüft, indem 500 Weizenkörner untersucht werden. Als Nullhypothese wird die Angabe des Großhändlers verwendet. 
Formulieren Sie die zugehörige Entscheidungsregel in Worten.

Die tatsächliche Keimfähigkeit des Saatguts beträgt 82%. 
Wie groß ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei obigem Test die Nullhypothese fälschlicherweise verworfen wird?
(4 VP) 

Lösung

Hypothesentest
Die Zufallsvariable \(X\) beschreibt die Anzahl der keimfähigen Weizenkörner und ist binomialverteilt mit \(n=500\) und \(p=0,8\).

Bei einer Stichprobe mit der Nullhypothese „mindestens 80 % des Saatgutes keimen“ wird mit der Irrtumswahrscheinlichkeit \(\alpha=0,1\) ein linksseitiger Test durchgeführt. Der Ablehnungsbereich ist \(\{0, …, g\}\), wobei \(g\) die größte natürliche Zahl mit
\(P(X\le g)\le 0,1.\)
Mit Hilfe des GTRs bestimmst du \(g\):
\(P(X\le 387)\approx 0,0826\;\text{und}\;P(X\le 388)\approx 0,1004.\)

Sollten in der Stichprobe höchstens 387 Weizenkörner keimfähig sein, wird die Nullhypothese verworfen, anderenfalls wird sie nicht verworfen.

Fälschliche Ablehnung
Die Zufallsvariable \(Y\) beschreibt die Anzahl der keimfähigen Weizenkörner und ist binomialverteilt mit \(n=500\) und \(p=0,82\).

Bei einer Stichprobe mit der Nullhypothese „mindestens 80 % des Saatgutes keimen“ wird mit der Irrtumswahrscheinlichkeit \(\alpha=0,1\) ein linksseitiger Test durchgeführt. Der Ablehnungsbereich ist \(\{0, …, g\}\), wobei \(g\) die größte natürliche Zahl mit
\(P(Y\le 387)\approx 0,0053.\)

Sollten in der Stichprobe höchstens 387 Weizenkörner keimfähig sein, wird die Nullhypothese mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 0,5 % verworfen.

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