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Abi 2015 Geometrie B2 LK


Aufgabe 1

Eine Fabrikhalle soll in einen gleichmäßig ansteigenden Hang hinein gebaut werden. Dazu wird aus dem Hang Erde abgetragen. Der entstehende Einschnitt in den Hang wird im Folgenden als Baugrube bezeichnet. Das Gelände vor der Baugrube ist eben und liegt in der x-y-Ebene. Der Übergang von der x-y-Ebene in den Hang wird von der Geraden \(g\) beschrieben, die durch die Punkte \(A(–10|30|0)\) und \(B(–30|90|0)\) verläuft (Material). Diese Punkte sind gleichzeitig die beiden vorderen Eckpunkte der rechteckigen Grundfläche der Baugrube. Der Punkt \(D(–40|20|0)\) ist ein weiterer Eckpunkt dieser Grundfläche. 
Modellhaft kann angenommen werden, dass der Hang in einer Ebene \(H\) liegt. In dieser Ebene liegen auch die beiden oberen Eckpunkte \(E\) und \(F(–45|5|15)\) der Baugrube. Alle Angaben erfolgen in Metern.

1.1

Berechnen Sie den fehlenden Eckpunkt \(C\) der Grundfläche \(ABCD\) der Baugrube. Bestätigen Sie durch Rechnung, dass diese Grundfläche bei \(A\) einen rechten Winkel besitzt. 

(4 BE)

1.2

Geben Sie eine Gleichung der Hangebene \(H\) in Parameterform an und bestimmen Sie eine Koordinatengleichung dieser Ebene. 
[zur Kontrolle: \(H: 9x + 3y + 26z = 0\)]

(6 BE)

1.3

Von einem festen Messpunkt \(P(30|20|5)\) außerhalb der Baustelle wird der obere Eckpunkt \(E\) der Baugrube über den Vektor \(\vec v=\begin{pmatrix}-21\\15\\2\end{pmatrix}\) anvisiert. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes \(E\)

(4 BE)

1.4

Die Punkte \(D,\ C,\ E\) und \(F\) sind die Eckpunkte der „hinteren Wand“ der Baugrube. Sie liegen in der steil abfallenden Ebene \(J\). Eine Koordinatengleichung dieser Ebene lautet \(J: 3x + y + 2z = –100\). Nach Bauvorschrift darf eine solche Ebene gegenüber der Grundfläche höchstens einen Steigungswinkel von \(60^°\) besitzen.

Untersuchen Sie, ob die Ebene \(J\) die Vorgabe der Bauvorschrift erfüllt.

(3 BE)

Lösung

1.1

Punkt C und Rechtwinkligkeit von Viereck ABCD

Punkt \(C\) wird durch Vektoraddition berechnet.

\(\vec C=\vec B+\left(\vec D-\vec A\right)=\begin{pmatrix}-30\\90\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-40\\20\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-10\\30\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-60\\80\\0\end{pmatrix}\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Das Viereck \(ABCD \) ist dann ein Rechteck, wenn alle Winkel \(90^°\) betragen, also wenn das Skalarprodukt je zweier nicht paralleler Verbindungsvektoren 0 ist.

\(\left(\vec B-\vec A\right)\cdot\left(\vec D-\vec A\right)=\begin{pmatrix}-20\\60\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-30\\-10\\0\end{pmatrix}=0\\ \left(\vec B-\vec A\right)\cdot\left(\vec B-\vec C\right)=\begin{pmatrix}-20\\60\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}30\\10\\0\end{pmatrix}=0\\ \left(\vec D-\vec C\right)\cdot\left(\vec B-\vec C\right)=\begin{pmatrix}20\\-60\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}30\\10\\0\end{pmatrix}=0\)

Wegen des Winkelsummensatzes muss der vierte Winkel dann auch ein rechter sein.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

1.2

Ebenengleichung in Parameter- und Koordinatenform

Parameterform: \(H:\vec x=\vec A+s\left(\vec B-\vec A\right)+\left(\vec F-\vec A\right)\\\qquad\ =\begin{pmatrix}-10\\30\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-20\\60\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-35\\-25\\15\end{pmatrix}\)

Normalenvektor: \(\vec n=\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-7\\-5\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\\3\\26\end{pmatrix}\)

Nullsetzen des Skalarprodukts aus Normalenvektor und Differenzvektor \(\vec x\) – Aufpunkt ergibt die Ebenengleichung in Koordinatenform.

\(H: \vec n\cdot\left(\vec x-\vec A\right)=\begin{pmatrix}9\\3\\26\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x+10\\y-30\\z\end{pmatrix}=0\\ \ \ \ \qquad\qquad\Rightarrow9x+90+3y-90+26z=0\\ \ \ \ \qquad\qquad\Rightarrow\qquad\ \ \quad\quad9x+3y+26z=0\)

Anmerkung: Dass es kein konstantes Glied gibt, sieht man in der Skizze daran, dass \(H\) durch den Ursprung geht.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

1.3

Bestimmung von E

\(\vec E\) liegt auf der Geraden mit Aufpunkt \(\vec P\) und Richtungsvektor \(\vec v\).

\(\vec E=\vec P+\lambda\cdot\vec v=\begin{pmatrix}30\\20\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-21\\15\\2\end{pmatrix}\)

Außerdem liegt \(\vec E\) in der Ebene \(H\). Damit kann man folgendes Gleichungssystem aufstellen:

\(\begin{array}{r}\\ E_x&&&+21\lambda&=&30\\ &E_y&&-15\lambda&=&20\\ &&E_z&-2\lambda&=&5\\ 9\ E_x&+3\ E_y&+26\ E_z&&=&0 \end{array}\)

Eine Möglichkeit zur Lösung ist, die ersten drei Gleichungen nach der jeweiligen Komponente von \(\vec E\) aufzulösen und dann in die vierte einzusetzen.

\(\Rightarrow 460-92\lambda=0\Leftrightarrow\lambda=5\) und \(E(-75|95|15)\)

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1.4

Schnittwinkel zwischen Ebene J und x-y-Ebene

Der Schnittwinkel der Ebenen entspricht dem Schnittwinkel der Normalenvektoren. Normalenvektor der xy-Ebene ist \( (0|0|1)\). Für den Normalenvektor von \(J\) brauchen wir die Parameterform der Ebenengleichung.

\(J:\ 3x+y+2z=-100\)

Auflösen nach \(z\), Vektorform eines Ebenenpunkts.

\(\Rightarrow J:\ \vec x=\begin{pmatrix}x\\y\\-50-1,5x-0,5y\end{pmatrix}\)

Setze \(s=x\), \(t=y\), auftrennen in Aufpunkt und Richtungsvektoren.

\(\Rightarrow J:\ \vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\-50\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\0\\-1,5\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\-0,5\end{pmatrix}\)

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Normalenvektor von \(J\):

\(\vec n_J=\begin{pmatrix}1\\0\\-1,5\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\-0,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1,5\\0,5\\1\end{pmatrix}\)

Winkel zwischen \(\vec n_J\) und \( (0|0|1)\):

\(\mathrm{cos}\ \alpha \frac{\begin{pmatrix}1,5\\0,5\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}} {\left|\begin{pmatrix}1,5\\0,5\\1\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}=\frac 1 {\sqrt{3,5}}\approx0,535 \Rightarrow \alpha=57,69^°\)

Ergebnis

Der Maximalwinkel von \(60^°\) wird nicht überschritten.

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  • Punkte:  17

Aufgabe 2

Zwei Meter unterhalb des Mittelpunktes der Grundfläche \(ABCD\) beginnt die Entwässerungsleitung des gesamten Bauvorhabens. Sie hat ein gleichmäßiges Gefälle von \(2\ \%\). Die Gerade, die sich durch die Projektion der Entwässerungsleitung in die x-y-Ebene ergibt, hat den Richtungsvektor \(\vec v_{xy}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\).

2.1 

Bestimmen Sie für den dreidimensionalen Raum die Gleichung der Geraden \(g_E\), die den Verlauf der Entwässerungsleitung beschreibt.
[zur Kontrolle : \(g_E: \vec x=\begin{pmatrix}-35\\55\\-2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\-0,1\end{pmatrix}\)]

(5 BE)

2.2

Der öffentliche Hauptkanal, an den die Entwässerungsleitung angeschlossen werden soll, lässt sich mithilfe folgender Geradengleichung modellhaft beschreiben:

\(g_E: \vec x=\begin{pmatrix}65\\20\\-3,5\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-2\\4\\-0,01\end{pmatrix}\)

Da sich die Entwässerungsleitung und der Hauptkanal nicht schneiden, ist ein vertikaler, in Richtung der z-Achse verlaufender Fallschacht einzubauen, der die Entwässerungsleitung mit dem Hauptkanal verbindet. Ermitteln Sie die Höhe dieses Fallschachtes. 

(4 BE)

Material

Abi 2015 Geometrie B2 LK - Abbildung 1

Lösung 

2.1

Geradengleichung der Entwässerungsleitung

Abi 2015 Geometrie B2 LK - Abbildung 2

Der Aufpunkt \(\vec M\) der gesuchten Geraden liegt 2 Meter unter dem Mittelpunkt von \(ABCD\).

\(\vec M'=\vec M-\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}=\vec A+\frac 1 2\left(\vec C-\vec A\right)=\begin{pmatrix}-35\\55\\-2\end{pmatrix}\)

Das Gefälle von \(2\ \%\) bedeutet, dass für den Winkel \(g\) zwischen dem in die x-y-Ebene projizierten Richtungsvektor \(\vec v_{xy}\) und dem tatsächlichen Richtungsvektor \(\vec v\) gilt: \(\mathrm{tan}\ \gamma=0,02\).

Da die x- und y-Komponenten von \(\vec v_{xy}\) und \(\vec v\) gleich sein müssen (Projektion!), gilt damit die folgende Gleichung:

\(\mathrm{cos}\left(\mathrm{arctan}\ 0,02\right)=\frac{\begin{pmatrix}4\\3\\v_z\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}} {\left|\begin{pmatrix}4\\3\\v_z\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}\right|} =\frac {25} {5\ \cdot\ \sqrt{25\ +\ v_z^2}}=\frac {1} {\sqrt{1\ +\ \frac{v_z^2}{25}}} \\ \Rightarrow v_z=5\sqrt{\frac{1}{\mathrm{cos}^2\left(\mathrm{arctan}\ 0,02\right)}-1}=0,1\)

Also haben wir \(\vec v=\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}\) und:

\(g_E: \vec x=\begin{pmatrix}-35\\55\\-2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\-0,1\end{pmatrix}\)

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2.2

Höhe des Fallschachts

Gesucht ist zunächst der Punkt in der x-y-Ebene, auf dem sich die Projektionen der beiden Kanäle schneiden (also die Stelle, wo die beiden zueinander windschiefen Geraden direkt übereinanderliegen). Dort muss also gelten:

\(\begin{pmatrix}-35\\55\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}65\\20\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}\)

Dies führt auf das Gleichungssystem

\(\begin{array}\\ 4s &+& 2r &=& 100\\ 3s &– &4r &= &75 \end{array}\)

mit der Lösung \(s = 15,\ r = 20\).

Ergebnis

Also verbindet der Fallschacht die Punkte \(\begin{pmatrix}25\\100\\-0,5\end{pmatrix};\ \begin{pmatrix}25\\100\\-3,7\end{pmatrix}\) und der vertikale Abstand, also die Höhe des Fallschachts, beträgt \(3,20\ \mathrm{m}\).

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  • Punkte:  9

Aufgabe 3

Entwickeln Sie eine Lösungsstrategie, mit der das Volumen des Erdaushubs für die Baugrube berechnet werden kann. Erläutern die die einzelnen Schritte Ihres Lösungsweges. Eine Durchführung der entsprechenden Rechnungen ist nicht erforderlich.

(4 BE)

Lösung

Man prüft leicht nach, dass die Strecke \(EF\) parallel zu den langen Seiten der Grundfläche ist (Kreuzprodukt von \(E – F\) und \(B – A\) ist 0). Darum kann man die Baugrube in zwei Teilvolumina zerlegen:

  • Dreikantiges Prisma mit den Seiten \(CBE\) und \(DAF’\), wobei \(AF’\) parallel zu \(BE\) ist; Volumen ist Grundfläche mal Länge des Prismas.
  • Pyramide mit dreiseitiger Grundfläche \(DAF\) und Spitze \(F’\); Volumen ist \(\frac 1 3\) mal Grundfläche mal Höhe der Pyramide.

Man muss also noch die Höhe dieser Pyramide bestimmen. Dazu ermittelt man den Lotfußpunkt von \(F’\) auf der von \(DAF\) aufgespannten Ebene bzw. bestimmt den Schnittpunkt dieser Ebene mit der Geraden durch \(F’\), deren Richtungsvektor ein Normalenvektor auf dieser Ebene ist.

  • Punkte:  4
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