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Abi 2015 Analytische Geometrie 2.2 GK


Aufgabe 2.2: Gebirgsflüge

Ein Flugzeug fliegt geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Geraden, die durch die Punkte \(A(4|2|2,3)\) und \(B(15|8|2,5)\) verläuft. Um \(\text{12:13 Uhr}\) durchfliegt das Flugzeug \(A\) und eine Minute später \(B\).Die Erdoberfläche liegt in der x-y-Ebene. Die Einheit für die Zeit \(t\) ist \(1\ \text{min}\), \(1\ \text{LE}=1\ \text{km}\).

Abi 2015 Analytische Geometrie 2.2 GK - Abbildung 1

a) 

Geben Sie eine Parametergleichung für den Kurs des Flugzeugs an. Voraus befindet sich ein Berg mit der Bergspitze \(T(59|32|3)\). Weisen Sie nach, dass die Bergspitze nicht auf der Flugbahn liegt. Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Flugzeugs, geben Sie das Ergebnis in \(\frac{\text{km}}{\text h}\) an.

(12 BE)

b) 

Bestimmen Sie den Punkt \(P\), in dem das Flugzeug seine Reiseflughöhe von \(3,5\text{ km}\) erreicht, und ermitteln Sie die Flugzeit bis zum Erreichen von \(P\). [Kontrollergebnis: \(P(70|38|3,5)\)] Im Punkt \(P\) ändert der Flugkapitän seinen Kurs und fliegt in Richtung \(Q(81|44|3,5)\) weiter. Das Flugzeug erreicht \(Q\) nach einer Minute. Bestimmen Sie eine Geradengleichung für den neuen Kurs.

(8 BE)

c)

Ein Rettungshubschrauber startet von einem Berghang vom Punkt \(R(139|89|2,1)\) und fliegt entlang der Geraden:

\(h:\vec x=\begin{pmatrix}139\\89\\2,1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-2\\-3\\0,2\end{pmatrix}\)

Der Berghang liegt in einer Ebene \(E\) mit der Gleichung \(15x-18y+50z=588\). Bestimmen Sie die Größe des Winkels, unter dem der Hubschrauber vom Berghang abhebt.

(6 BE)

d) 

Die Gerade \(h\) schneidet die Gerade durch \(P\) und \(Q\) im Punkt \(S(125|68|3,5)\). Der Hubschrauber startet um \(\text{12:17 Uhr}\). Er legt in einer Minute genau die Strecke zurück, die dem Betrag des Richtungsvektors von \(h\) entspricht. Das Flugzeug fliegt nach der Kursänderung um \(\text{12:19 Uhr}\) (vergleiche Teil b) auf konstanter Reiseflughöhe. Entscheiden Sie begründet, ob eine Kurskorrektur erforderlich wird, damit es zwischen dem Hubschrauber und dem Flugzeug nicht zu einer Kollision kommt.

(4 BE)

Lösung

a)

Geradengleichung aufstellen

Die Flugbahn des Flugzeugs wird durch die Gerade

\(g:\vec x=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\2\\2,3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}11\\6\\0,2\end{pmatrix}\) mit \(t ∈ ℝ\)

dargestellt.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Punktprobe für T durchführen

Einsetzen der Koordinaten von \(T(59|32|3)\) in die Geradengleichung liefert:

\(\begin{pmatrix}59\\32\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\\2,3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}11\\6\\0,2\end{pmatrix}\)

Daraus resultieren drei Gleichungen für die einzelnen Koordinaten.

\(\begin{array}{lrllcl}\\ I.&59&=&4+11t&\Leftrightarrow&t=5\\ II.&32&=&2+6t&\Leftrightarrow&t=5\\ III.&3&=&2,3+0,2t&\Leftrightarrow&t=3,5\rightarrow\text{Widerspruch zu } \textit{I.} \text{ und}\textit{ II.} \end{array}\)

Ergebnis

Die Bergspitze liegt nicht auf der Flugbahn des Flugzeugs.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Geschwindigkeit berechnen

Das Flugzeug legt die Strecke \(\overline{AB}\) in einer Minute zurück.

\(\left|\ \overrightarrow{AB}\ \right|=\left|\begin{pmatrix}11\\6\\0,2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{11^2+6^2+2^2}=\sqrt{157,04}\)

Für die Geschwindigkeit \(v \) gilt dann:

\(v=\sqrt{157,04}\ \frac{\text{km}}{\text{min}}=60\cdot\sqrt{157,04}\ \frac{\text{km}}{\text{h}}\approx752\ \frac{\text{km}}{\text{h}}\)

Ergebnis

Die Geschwindigkeit des Flugzeugs beträgt etwa \(752\ \frac{\text{km}}{\text{h}}\).

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b)

Bestimmung von Punkt P

Der Punkt \(P\) hat die Koordinaten \(P(x|y|3,5)\). Einsetzen in die Geradengleichung liefert:

\(\begin{pmatrix}x\\y\\3,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\\2,3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}11\\6\\0,2\end{pmatrix}\)

Aus der Gleichung für die z-Koordinate lässt sich der Parameter \(t\) bestimmen.

\(3,5=2,3+0,2t\Leftrightarrow t=6\)

Für die fehlenden Koordinaten ergibt sich:

\(x=4+11\cdot6=70\) und \(y=2+6\cdot6=38\)

Ergebnis

Der Punkt \(P\) hat die Koordinaten \(P(70|38|3,5)\) und wird nach 6 Minuten erreicht, also um \(\text{12:19 Uhr}\).

Bestimmung des neuen Flugkurses

Die Kursänderung im Punkt \(P\) in Richtung \(Q\) wird durch folgende Geradengleichung dargestellt:

\(g_{neu}:\vec x=\overrightarrow{OP}+t\cdot \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}70\\38\\3,5\end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}11\\6\\0\end{pmatrix}\) mit \(t ∈ ℝ\)

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c)

Schnittwinkel bestimmen

Die Ebene \(E:15x-18y+50z=588\) hat einen Normalenvektor \(\vec n=\begin{pmatrix}15\\-18\\50\end{pmatrix}\). Die Flugbahn des Hubschraubers hat den Richtungsvektor \(\vec{m_h}=\begin{pmatrix}-2\\-3\\0,2\end{pmatrix}\). Für den Winkel \(α\) zwischen \(\vec n\) und dem Richtungsvektor \(\vec{m_h}\) der Geraden gilt:

\(\text{sin }\alpha=\frac{\left|\vec n\ \circ\ \vec {m_h}\right|}{\left|\vec n\right|\ \circ\ \left|\vec {m_h}\right|}= \frac{\left|\begin{pmatrix}15\\-18\\50\end{pmatrix} \circ\ \begin{pmatrix}-2\\-3\\0,2\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}15\\-18\\50\end{pmatrix}\right|\ \circ\ \left|\begin{pmatrix}-2\\-3\\0,2\end{pmatrix}\right|}\\ =\frac{\left|-30\ +\ 54\ +\ 10\right|}{\sqrt{15^2\ +\ (-18)^2\ +\ 50^2}\ \cdot\ \sqrt{(-2)}^2\ +\ (-3)^2\ +\ 0,2^2}\\ =\frac{34}{\sqrt{3049}\ \cdot\ \sqrt{13,04}}\approx0,1705\\ \alpha=\text{sin}^{-1}(0,1705)\approx9,8^° \)

Ergebnis

Die Größe des Schnittwinkels \(α\) zwischen der Ebene des Berghanges und der Flugbahn des Hubschraubers beträgt etwa \(9,8^°\).

d)

Flugdauer bis zum Erreichen von Punkt S bestimmen

Die Flugbahn des Flugzeugs nach der Kursänderung wird durch folgende Geradengleichung ausgedrückt:

\(g_{neu}:\vec x=\begin{pmatrix}70\\38\\3,5\end{pmatrix} +t_g\cdot \begin{pmatrix}11\\6\\0\end{pmatrix}\) mit \(t ∈ ℝ\)

Einsetzen der Koordinaten von \(S(125|68|3,5)\) liefert:

\(\begin{pmatrix}125\\68\\3,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}70\\38\\3,5\end{pmatrix} +t_g\cdot \begin{pmatrix}11\\6\\0\end{pmatrix}\)

Daraus resultieren drei Gleichungen für die einzelnen Koordinaten.

\(\begin{array}{lrllcl}\\ I.&125&=&70+11t_g&\Leftrightarrow&t_g=5\\ II.&68&=&38+6t_g&\Leftrightarrow&t_g=5\\ III.&3,5&=&3,5+0t_g&\Leftrightarrow&t=t_g \text{ beliebig} \end{array}\)

Es ist also \(t_g=5\).

Das Flugzeug passiert den Punkt \(Q\) um \(\text{12:19 Uhr}\) und erreicht 5 Minuten später, also um \(\text{12:24 Uhr}\), den Punkt \(S\).

Für den Hubschrauber mit der Geradengleichung \(h:\vec x=\begin{pmatrix}139\\89\\2,1\end{pmatrix}+t_h\cdot\begin{pmatrix}-2\\-3\\0,2\end{pmatrix}\)  mit \(t_h ∈ ℝ\) ergibt sich auf gleiche Weise:

\(\begin{pmatrix}125\\68\\3,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}139\\89\\2,1\end{pmatrix}+t_h\cdot\begin{pmatrix}-2\\-3\\0,2\end{pmatrix}\)

Daraus resultieren drei Gleichungen für die einzelnen Koordinaten.

\(\begin{array}{lrllcl}\\ I.&125&=&139-2t_h&\Leftrightarrow&t_h=7\\ II.&68&=&89-3t_h&\Leftrightarrow&t_h=7\\ III.&3,5&=&2,1+0,2t_h&\Leftrightarrow&t_h=7\end{array}\)

Es ist also \(t_h=7\).

Der Hubschrauber startet um \(\text{12:17 Uhr}\) und erreicht den Punkt \(S\) 7 Minuten später, also ebenfalls um \(\text{12:24 Uhr}\).

Ergebnis

Wird keine Kursänderung vorgenommen, kommt es im Punkt \(S\) um \(\text{12:24 Uhr}\) zu einer Kollision von Flugzeug und Hubschrauber.

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  • Punkte:  30
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