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Abi 2015 Analytische Geometrie 2.1 GK


Aufgabe 2.1: Methanmolekül

Ein Tetraeder ist gegeben durch seine Eckpunkte \( H_1(8 | 0 | 0)\), \(H_2 (0 | 8 | 0)\), \(H_3 (0 | 0 | 8)\) und \(H_4 (8 | 8 | 8)\).

Abi 2015 Analytische Geometrie 2.1 GK - Abbildung 1

a)

Der Tetraeder wird als Modell eines Methanmoleküls verwendet. Dabei stellen die vier Eckpunkte die vier Wasserstoffatome und der Punkt \(C(4 | 4 | 4)\) das Kohlenstoffatom dar. Zeichnen Sie das Methanmodell als Tetraeder in das beigefügte Koordinatensystem ein.

(4 BE)

b)

Zeigen Sie, dass der Punkt \(C\) der Mittelpunkt des Tetraeders ist.

(5 BE)

c)

Weisen Sie nach, dass der Vektor \(\overrightarrow{H_1H_2}\) ein Normalenvektor der Ebene \(E\) ist, in der die Punkte \(H_3\), \(H_4\) und \(C\) liegen. Stellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene \(E\) auf. [Zur Kontrolle: \(E : −x + y = 0\)]

(9 BE)

d)

Zeigen Sie, dass der Mittelpunkt der Strecke \(\overline {H_1H_2 }\) in der Ebene \(E\) (aus Teil c) liegt. Begründen Sie, dass die Ebene \(E\) Symmetrieebene des Tetraeders ist.

(4 BE)

e)

Der Winkel \(α\) zwischen den Strecken \(\overline {CH_1}\) und \(\overline {CH_2}\) wird Bindungswinkel genannt. Berechnen Sie den Bindungswinkel im Methanmolekül.

(4 BE)

f)

Methan hat die nebenstehende Strukturformel. Erklären Sie, dass diese auch aus geometrischer Sicht gerechtfertigt ist, wenn man das Methanmolekül in eine geeignete Ebene projiziert.

Abi 2015 Analytische Geometrie 2.1 GK - Abbildung 2

(4 BE)

Lösung

a)

Methanmodell im Koordinatensystem einzeichnen

Abi 2015 Analytische Geometrie 2.1 GK - Abbildung 3

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b)

Nachweis des Mittelpunktes

Beim Punkt \(C\) handelt es sich um den Mittelpunkt des Tetraeders, wenn er zu allen vier Eckpunkten den gleichen Abstand besitzt. Berechnet werden also die Längen der Vektoren \(\overrightarrow{CH_1}\)\(\overrightarrow{CH_2}\)\(\overrightarrow{CH_3}\) und \(\overrightarrow{CH_4}\).

\(\overrightarrow{CH_1}= \begin{pmatrix} 8-4\\ 0-4\\ 0-4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4\\ -4\\ -4 \end{pmatrix}\)
mit \(d(C,H_1)=\left|\begin{pmatrix}4\\-4\\-4\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(4)^2+(-4)^2+(-4)^2}=4\sqrt3\)

\(\overrightarrow{CH_2}= \begin{pmatrix} 0-4\\ 8-4\\ 0-4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -4\\ 4\\ -4 \end{pmatrix}\) 
mit \(d(C,H_2)=\left|\begin{pmatrix}-4\\4\\-4\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-4)^2+(-4)^2+(-4)^2}=4\sqrt3\)

 \(\overrightarrow{CH_3}= \begin{pmatrix} 0-4\\ 0-4\\ 8-4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -4\\ -4\\ 4 \end{pmatrix}\)
mit \(d(C,H_3)=\left|\begin{pmatrix}-4\\-4\\4\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-4)^2+(-4)^2+(4)^2}=4\sqrt3\)

\(\overrightarrow{CH_4}= \begin{pmatrix} 8-4\\ 8-4\\ 8-4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4\\ 4\\ 4 \end{pmatrix}\) 
mit \(d(C,H_1)=\left|\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(4)^2+(4)^2+(4)^2}=4\sqrt3\) 

Ergebnis

Alle vier Eckpunkte sind vom Punkt \(C\) \(4\sqrt3\ \text{LE}\) entfernt. Somit ist \(C\) der Mittelpunkt des Tetraeders.

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c)

Ebenengleichung aufstellen

Die Ebene \(E\), in der die Punkte \(H_3\), \(H_4\) und \(C\) liegen, hat folgende Darstellung:

\(E:\vec x=\overrightarrow{OC}+r\cdot \overrightarrow{CH_3}+s\cdot \overrightarrow{CH_4}= \begin{pmatrix} 4\\4\\4 \end{pmatrix} +r\cdot\begin{pmatrix} 0-4\\0-4\\8-4 \end{pmatrix} +s\cdot\begin{pmatrix} 8-4\\8-4\\8-4 \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} 4\\4\\4 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -4\\-4\\4 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 4\\4\\4 \end{pmatrix}\ \text{mit}\ r, s ∈ ℝ\)

Nachweis des Normalenvektors

Es ist:

\(\overrightarrow{H_1H_2}=\begin{pmatrix}0-8\\8-0\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\\8\\0\end{pmatrix}\)

Der Vektor \(\overrightarrow{H_1H_2}\) ist Normalenvektor zu \(E\), wenn er auf beiden Richtungsvektoren senkrecht steht, also das Skalarprodukt mit jedem Richtungsvektor 0 beträgt.

\(\begin{pmatrix}-8\\8\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-4\\-4\\4\end{pmatrix}=32-32+0=0\)

\(\begin{pmatrix}-8\\8\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}=-32+32+0=0\)

Ergebnis

Es handelt sich bei \(\overrightarrow{H_1H_2}\) um einen Normalenvektor der Ebene \(E\).

Ebene in Koordinatendarstellung

Die Koordinatendarstellung von \(E\) lautet:

\(E:=\vec x\cdot\begin{pmatrix}-8\\8\\8\end{pmatrix}=-8x+8y=d\)

Einsetzen der Koordinaten von \(C\) liefert:

\(\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-8\\8\\0\end{pmatrix}=-32+32+0=0\)

Somit ist \(d=0\).

Ergebnis

Die Koordinatendarstellung von \(E\) lautet:

\(E:=-8x+8y=0\)

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d)

Mittelpunkt bestimmen

Für den Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(\overline{H_1H_2}\) gilt:

\(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OH_1}+\frac 1 2\cdot \overrightarrow{H_1H_2}=\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}+\frac 1 2 \cdot \begin{pmatrix}-8\\8\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\4\\0\end{pmatrix}\)

Der Punkt \(M\) hat somit die Koordinaten \(M(4|4|0)\).

Nachweis der Symmetrie

Da der Vektor \(\overrightarrow{H_1H_2}=\begin{pmatrix}-8\\8\\0\end{pmatrix}\) ein Normalenvektor der Ebene \(E\) ist und somit senkrecht auf \(E\) steht, liegen \(H_1\) und \(H_2\) symmetrisch zu \(E\), wenn der Mittelpunkt \(M(4|4|0)\) der Strecke \(\overline{H_1H_2}\) in \(E\) liegt. Einsetzen der Koordinaten von \(M\) in die Ebenengleichung von \(E\) liefert:

\(-8\cdot4+8\cdot 4=0\)

Ergebnis

Der Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(\overline{H_1H_2}\) liegt in der Ebene \(E\). Daher liegen \(H_1\) und \(H_2\) symmetrisch zu \(E\), die damit eine Symmetrieebene des Tetraeders bildet.

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e)

Berechnung des Winkels α

Es sind \(\overrightarrow{CH_1}=\begin{pmatrix}4\\-4\\-4\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{CH_2}=\begin{pmatrix}-4\\4\\-4\end{pmatrix}\).

Für den gesuchten Winkel \(α\) gilt:

\(\mathrm{cos} \alpha=\frac{\overrightarrow{CH_1}\ \circ\ \overrightarrow{CH_2}} {\left|\overrightarrow{CH_1}\right|\ \cdot\ \left|\overrightarrow{CH_2}\right|}=\frac{4\ \cdot\ (-4)\ +\ (-4)\ \cdot\ 4\ +\ (-4)\ \cdot\ (-4)}{\sqrt{4^2\ +\ (-4)^2\ +\ (-4)^2}\ \cdot\ \sqrt{(-4)^2\ +\ 4^2\ +\ (-4)^2}}\\=\frac{-16}{4\sqrt{3}\ \cdot\ 4\sqrt{3}}=\frac{-16}{48}=-\frac 1 3 \)

\(\alpha=\text{cos}^{-1}\approx 109.5^°\)

Ergebnis

Die Größe des Winkels \(α\) beträgt etwa \(109,5^°\).

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f)

Projektion des Tetraeders in eine Ebene

Projiziert man die Eckpunkte des Tetraeders in die x-y-Ebene, so ist bei allen Punkten die z-Koordinate 0. Die neuen Punkte haben dann folgende Koordinaten:

\(H_1'\left<8|0|0\right>,\ H_2'\left<0|8|0\right>,\ H_3'\left<0|0|0\right>,\ H_4'\left<8|8|0\right>\) und \(C'\left<4|4|0\right>\).

Ergebnis

Die Punkte \(H_1',\ H_2',\ H_3'\) und \(H_4'\) bilden die Eckpunkte eines Quadrats der Seitenlänge \(8\ \text{LE}\)\(C'\) ist der Diagonalenschnittpunkt. Somit ist die Darstellung aus geometrischer Sicht gerechtfertigt.

  • Punkte:  30
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