• Aufgabe 1

    45 Minuten 18 Punkte

    Der Graph \(G_f\) einer in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(f:x\mapsto ax^4+bx^3\) mit \(a,b \in \mathbb R\) besitzt im Punkt \(O\ (0 \mid 0)\) einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

    a) \(W\ (1\mid -1)\) ist ein weiterer Wendepunkt von \(G_f\). Bestimmen Sie mithilfe dieser Information die Werte von \(a\) und \(b\)

    (Ergebnis: \(a=1 ,\ b=-2\))

    b) Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von \(G_f\).

    Die Gerade \(g\) schneidet \(G_f\) in den Punkten \(W\) und \((2 \mid 0)\).

    c) Zeichnen Sie unter der Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse \(G_f\) sowie die Gerade \(g\) in ein Koordinatensystem ein. Geben Sie die Gleichung der Geraden \(g\) an.

    d) \(G_f\) und die \(x\)-Achse schließen im \(IV\).Quadranten ein Flächenstück ein, das durch die Gerade \(g\) in zwei Teilflächen zerlegt wird. Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen.

  • Aufgabe 2

    18 Minuten 7 Punkte

    Gegeben ist die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f_n:x\mapsto x^4-2x^n\) mit \(n \in \mathbb N\) sowie die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f_0:x\mapsto x^4-2\)

    a) Die Abbildungen 1 bis 4 zeigen die Graphen der Funktionen \(f_0, f_1, f_2\) bzw. \( f_4\). Ordnen Sie jeder dieser Funktion den passenden Graphen zu und bgründen Sie drei Ihrer Zuordnungen durch Aussagen zur Symmetrie, zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen oder dem Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs des jeweiligen Graphen.

     


    b) Betrachtet werden nun die Funktionen \(f_n\) mit \(n>4\). Geben Sie in Abhängigkeit von \(n\) das Verhalten dieser Funktionen für \(x\rightarrow +\infty\) und für \(x\rightarrow - \infty\) an.

  • Aufgabe 3

    37 Minuten 15 Punkte

    In der Lungenfunktionsdiagnostik spielt der Begriff der Atemstromstärke eine wichtige Rolle. Im Folgenden wird die Atemstromstärke als die momentane Änderungsrate des Luftvolumens in der Lunge betrachtet, d. h. insbesondere, dass der
    Wert der Atemstromstärke beim Einatmen positiv ist. Für eine ruhende Testperson mit normalem Atemrhythmus wird die Atemstromstärke in Abhängigkeit von der Zeit modellhaft durch die Funktion \(g:t\mapsto -\frac {\pi} 8 \mathrm{sin} (\frac{\pi} 2 t)\) mit Definitionsmenge \(\mathbb {R}_0^+\) beschrieben. Dabei ist \(t\) die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und \(g(t)\) die Atemstromstärke in Litern pro Sekunde. Abbildung 5 zeigt den durch die Funktion \(g\) beschriebenen zeitlichen Verlauf der Atemstromstärke.

     


    a) Berechnen Sie \(g(1,5)\) und interpretieren Sie das Vorzeichen dieses Werts im Sachzusammenhang.

    b) Beim Atmen ändert sich das Luftvolumen in der Lunge. Geben Sie auf der Grundlage des Modells einen Zeitpunkt an, zu dem das Luftvolumen in der Lunge der Testperson minimal ist, und machen Sie Ihre Antwort mithilfe von Abbildung 5 plausibel.

    c) Berechnen Sie \(\int_2^4g(t) \mathrm d t\) und deuten Sie den Wert des Integrals im Sachzusammenhang. (Teilergebnis: Wert des Integrals:\(0,5\))

    d) Zu Beginn eines Ausatemvorgangs befinden sich \(3,5\) Liter Luft in der Lunge der Testperson. Skizzieren Sie auf der Grundlage des Modells unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus Aufgabe 3c) in einem Koordinatensystem für \(0\leq t \leq 8 \) den Graphen einer Funktion, die den zeitlichen Verlauf des Luftvolumens in der Lunge der Testperson beschreibt. 

    Die Testperson benötigt für einen vollständigen Atemzyklus \(4\) Sekunden. Die Anzahl der Atemzyklen pro Minute wird als Atemfrequenz bezeichnet.

    e) Geben Sie zunächst die Atemfrequenz der Testperson an. Die Atemstromstärke eines jüngeren Menschen, dessen Atemfrequenz um \(20\%\) höher ist als die der bisher betrachteten Testperson, soll durch eine Sinusfunktion der Form \(h: t \mapsto a\cdot \mathrm{sin}(b\cdot t)\)  beschrieben werden. Ermitteln Sie den Wert von \(b\).