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Abi 2015 Analysis TeilB AG2


Aufgabe 1

Der Graph \(G_f\) einer in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(f:x\mapsto ax^4+bx^3\) mit \(a,b \in \mathbb R\) besitzt im Punkt \(O\ (0 \mid 0)\) einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

a) \(W\ (1\mid -1)\) ist ein weiterer Wendepunkt von \(G_f\). Bestimmen Sie mithilfe dieser Information die Werte von \(a\) und \(b\)

(Ergebnis: \(a=1 ,\ b=-2\))

(4 BE)

b) Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von \(G_f\).

Die Gerade \(g\) schneidet \(G_f\) in den Punkten \(W\) und \((2 \mid 0)\).

(4 BE)

c) Zeichnen Sie unter der Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse \(G_f\) sowie die Gerade \(g\) in ein Koordinatensystem ein. Geben Sie die Gleichung der Geraden \(g\) an.

(4 BE)

d) \(G_f\) und die \(x\)-Achse schließen im \(IV\).Quadranten ein Flächenstück ein, das durch die Gerade \(g\) in zwei Teilflächen zerlegt wird. Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen.

(6 BE)

Lösung

a)

Ableitungen bilden

\(f'(x)=4ax^3+3b\cdot x^2\)

\(f''(x)=12ax^2+6bx=6x\cdot (2ax+b)\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Bedingungen für \(a,b\) aufstellen

\((\mathrm I)\) \(W(1\mid -1)\) ist Punkt auf \(G_f\), also \(f(1)=-1 \Rightarrow a+b=-1\) bzw. \(b=-1-a\)

\((\mathrm {II})\) \(W\) ist Wendepunkt, also \(f''(1)=0 \Rightarrow 6\cdot (2a+b)=0\)

Es kann nur der zweite Faktor null sein: \(2a+b=0\)

Gleichungssystem lösen

\((\mathrm I)\) in \((\mathrm {II})\) einsetzen: \(2a-1-a=0 \Rightarrow a=1\)

\(a\) in \(b\) einsetzen: \(b=-1-1=-2\)

Ergebnis

Mit den Parametern \(a=1\) und \(b=-2\) lautete die Funktionsgleichung der Funktion \(f:f(x)=x^4-2x^3\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

b)

Extrempunkt bestimmen

Laut a) ist \(f'(x)=4ax^3+3bx^2=4x^3-6x^2=2x^2 \cdot (2x-3)\)

Die Ableitung hat die Nullstellen \(x_1=0\) und \(x_2=1,5\)

Bei \(x_1=0\) ist laut Angabe ein Wendepunkt, kein Extrempunkt. Also muss der Extrempunkt bei \(x_2=1,5\) sein.

Man findet \(y_2=f(1,5)=-\frac{27}{16}=-1,6875\) und \(f''(1,5)=9>0\)

Ergebnis

Es handelt sich somit um einen Tiefpunkt (Art des Extremums) mit den Koordinaten \(T(1,5 \mid -1,6875)\) (Lage des Extremums).

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

c)

Geradengleichung bestimmen

Die Gerade \(g\) schneidet \(G_f\) in den Punkten \(W\) und \((2 \mid 0)\).

Die Gleichung der Geraden lautet: \(y=x-2\)

Graph und Gerade zeichnen:

Abi 2015 Analysis TeilB AG2 - Abbildung 1

Anmerkung zur Zeichnung: Die Graphen sollten benannt und die bekannten Punkte \(O\text{,} \ W\) und \(T\) eingetragen werden. Eine Zeichnung verlangt im Vergleich zur Skizze höhere Genauigkeit, deshalb sollte auch eine Wertetabelle erstellt werden.

d)

Fläche zwischen \(G_f\) und x-Achse bestimmen

\(\begin{array}\\ A&=&\vert \int_0^2f(x)\mathrm d x \vert\\ &=&\vert\int_0^2\left(x^4-2x^3\right)\mathrm d x \vert\\ &=&\vert\left[\frac 1 5 x^5-\frac 1 2 x^4\right]_0^2\vert\\ &=&\vert\frac {32} 5 - 8\vert=1,6[FE]\\ \end{array}\)

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Linke untere Teilfläche bestimmen

Es ist \(A_1=|\int_0^1f(x)\mathrm d x|\) und \(A_2\) ein Dreieck der Breite \(1\) und Höhe \(1\). Also:

\(A_1+A_2=|[\frac 1 5 x^5-\frac 1 2 x^4]_0^1|+\frac 1 2\cdot 1 \cdot 1=|\frac 1 5- \frac 1 2|+\frac 1 2=\frac 4 5=0,8[FE]\)

Verhältnis der beiden Teilflächen bestimmen

Die linke Teilfläche \(A_1+A_2\) hat genau den halben Flächeninhalt der Gesamtfläche. Also sind beide Teilflächen gleich groß, ihr Flächenverhältnis ist \(1:1\).

  • Punkte:  18

Aufgabe 2

Gegeben ist die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f_n:x\mapsto x^4-2x^n\) mit \(n \in \mathbb N\) sowie die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f_0:x\mapsto x^4-2\)

a) Die Abbildungen 1 bis 4 zeigen die Graphen der Funktionen \(f_0, f_1, f_2\) bzw. \( f_4\). Ordnen Sie jeder dieser Funktion den passenden Graphen zu und bgründen Sie drei Ihrer Zuordnungen durch Aussagen zur Symmetrie, zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen oder dem Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs des jeweiligen Graphen.

(4 BE)

Abi 2015 Analysis TeilB AG2 - Abbildung 2

b) Betrachtet werden nun die Funktionen \(f_n\) mit \(n>4\). Geben Sie in Abhängigkeit von \(n\) das Verhalten dieser Funktionen für \(x\rightarrow +\infty\) und für \(x\rightarrow - \infty\) an.

(3 BE)

Lösung

Gegeben ist die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f_n: x\mapsto x^4-2x^n\) mit \(n \in \mathbb N\) sowie die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f_0:x\mapsto x^4-2\).

a)

Funktionsgraphen begründet zuordnen

Die Funktion \(f_0\) gehört zum Graphen in Abbildung 4, denn sie hat wegen \(f_0(0)=-2\) den y-Achsen-Schnittpunkt \((0\mid -2)\).

\(f_1(x)=x^4-2x\) hat einen geraden und einen ungeraden Exponenten und ist somit nicht achsensymmetrisch. Dazu kann nur der Graph in Abbildung 3 gehören.

\(f_4(x)=x^4-2x^4=-x^4\) hat nur eine Nullstelle, nämlich \(x=0\). Daher muss dazu der Graph in Abbildung 2 gehören. Für \(f_2\) bleibt Abbildung 1 übrig.

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b)

Verlauf der Funktionen angeben

Für \(n>4\) ist der Exponent des zweiten Summanden der größere und fpr den Grenzwert ausschkaggebende. Zu beachten ist dessen negativer Koeffizient.

Für \(n>4\) ergeben sich folgende Grenzwerte:

\(\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}f_n(x)=-\infty\) für alle \(n>4\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}f_n(x)=-\infty\) für alle geraden \(n>4\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}f_n(x)=+\infty\) für alle ungeraden \(n>4\)

Anmerkung: Eine Begründung ist bei der Fragestellung nicht erforderlich.

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  • Punkte:  7

Aufgabe 3

In der Lungenfunktionsdiagnostik spielt der Begriff der Atemstromstärke eine wichtige Rolle. Im Folgenden wird die Atemstromstärke als die momentane Änderungsrate des Luftvolumens in der Lunge betrachtet, d. h. insbesondere, dass der
Wert der Atemstromstärke beim Einatmen positiv ist. Für eine ruhende Testperson mit normalem Atemrhythmus wird die Atemstromstärke in Abhängigkeit von der Zeit modellhaft durch die Funktion \(g:t\mapsto -\frac {\pi} 8 \mathrm{sin} (\frac{\pi} 2 t)\) mit Definitionsmenge \(\mathbb {R}_0^+\) beschrieben. Dabei ist \(t\) die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und \(g(t)\) die Atemstromstärke in Litern pro Sekunde. Abbildung 5 zeigt den durch die Funktion \(g\) beschriebenen zeitlichen Verlauf der Atemstromstärke.

Abi 2015 Analysis TeilB AG2 - Abbildung 3

a) Berechnen Sie \(g(1,5)\) und interpretieren Sie das Vorzeichen dieses Werts im Sachzusammenhang.

(2 BE)

b) Beim Atmen ändert sich das Luftvolumen in der Lunge. Geben Sie auf der Grundlage des Modells einen Zeitpunkt an, zu dem das Luftvolumen in der Lunge der Testperson minimal ist, und machen Sie Ihre Antwort mithilfe von Abbildung 5 plausibel.

(2 BE)

c) Berechnen Sie \(\int_2^4g(t) \mathrm d t\) und deuten Sie den Wert des Integrals im Sachzusammenhang. (Teilergebnis: Wert des Integrals:\(0,5\))

(4 BE)

d) Zu Beginn eines Ausatemvorgangs befinden sich \(3,5\) Liter Luft in der Lunge der Testperson. Skizzieren Sie auf der Grundlage des Modells unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus Aufgabe 3c) in einem Koordinatensystem für \(0\leq t \leq 8 \) den Graphen einer Funktion, die den zeitlichen Verlauf des Luftvolumens in der Lunge der Testperson beschreibt. 

(3 BE)

Die Testperson benötigt für einen vollständigen Atemzyklus \(4\) Sekunden. Die Anzahl der Atemzyklen pro Minute wird als Atemfrequenz bezeichnet.

e) Geben Sie zunächst die Atemfrequenz der Testperson an. Die Atemstromstärke eines jüngeren Menschen, dessen Atemfrequenz um \(20\%\) höher ist als die der bisher betrachteten Testperson, soll durch eine Sinusfunktion der Form \(h: t \mapsto a\cdot \mathrm{sin}(b\cdot t)\)  beschrieben werden. Ermitteln Sie den Wert von \(b\).

(4 BE)

Lösung

Gegeben ist die Funktion der Atemstromstärke \(g:t\mapsto -\frac {\pi} 8 \mathrm{sin} (\frac{\pi} 2 t)\) mit Definitionsmenge \(\mathbb {R}_0^+\) mit Zeit t in Sekunden und Atemstromstärke in Litern pro Sekunde.

a)

Funktionswert berechnen und Vorzeichen interpretieren 

\(g(1,5)=-\frac{\pi} 8\mathrm{sin}\left(\frac {\pi} 2\cdot 1,5\right)=-\frac{\pi} 8\mathrm{sin}\left(\frac {3\pi} 4\right)\approx-0,2777\left[\frac l s\right]\)

Das negative Vorzeichen bedeutet, dass die Testperson gerade ausatmet.

b)

Minimales Luftvolumen angeben

Das Luftvolumen in der Lunge der Testperson ist nach 2 Sekunden minimal, denn an der Nullstelle des Graphen \(G_g\) ist der Ausatemvorgang zu Ende. Die Testperson beginnt wieder einzuatmen. \(G_g\) hat dort eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von minus nach plus, also hat die Integralfunktion einen Tiefpunkt.

Anmerkung: „Machen Sie plausibel“ erfordert eine Begründung, die aber nicht sehr formal sein muss. Eines der beiden Argumente oben würde reichen.

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c)

Integralwert berechnen

\(\int_2^4g(t) \mathrm{d}t=\int_2^4 \left(-\frac{\pi}8\mathrm{sin}\left(\frac{\pi}2 t\right)\right)\mathrm{d}t= -\frac{\pi}8\cdot\int_2^4 \left(\mathrm{sin}\left(\frac{\pi}2 t\right)\right)\mathrm{d}t= -\frac{\pi}8\cdot \frac2{\pi} \cdot\left[-\mathrm {cos}\left(\frac{\pi}{2}t\right)\right]_2^4\)

unter Verwendung von \(\int \mathrm{sin}(at)\mathrm d t=\frac 1 a\mathrm{cos}(at)\)

\(=-\frac1 4 \cdot (-\mathrm{cos}(2\pi)+\mathrm{cos}(\pi))=-\frac 14\cdot (-1+(-1))=0,5\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Integralwert im Sachzusammenhang deuten

In der Zeit von \(2\) Sekunden nach Beobachtungsbeginn bis \(4\) Sekunden nach Beobachtungsbeginn, also genau während eines vollständigen Einatemvorgangs, vergrößert sich das Luftvolumen in der Lunge der Testperson um \(0,5\) Liter. Er atmet also \(0,5\) Liter Luft ein.

d)

Skizze des zeitlichen Verlaufs des Luftvolumens in der Lunge

Abi 2015 Analysis TeilB AG2 - Abbildung 4

Anmerkung: Das Luftvolumen in der Lunge wird durch die Stammfunktion dargestellt mit \(G(0) = 3,5\) und \(G(2) = G(0) – 0,5 = 3\).

Der Term der Stammfunktion wird aber nicht verlangt. Es reicht auch, durch grafische Überlegungen die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen zu erkennen und damit eine passende Kosinus-ähnliche Funktion zu skizzieren. Der gewünschte Zeichenbereich ist einzuhalten.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

e)

Atemfrequenz der Testperson angeben

Die Testperson hat eine Atemfrequenz von \(60\ s : 4\ s = 15\) Atemzyklen pro Minute.

Parameter b bestimmen

Atemfrequenz des Jüngeren: \(15\cdot 1,2=18\)Atemzyklen pro Minute.
Ein Atemzyklus dauert dann: \(60\ s : 18 = \frac {10}{3} s\) .
Somit beträgt der Faktor \(b=\frac{2\pi}{\frac{10}8}=\frac 3 5 \pi\).

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  • Punkte:  15
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