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Abi 2015 Analysis TeilB AG1


Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3}\) und Definitionsbereich \(D_f=\mathbb{R}\backslash \{-3;-1\}\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet.

a) Zeigen Sie, dass \(f(x)\) zu jedem der drei folgenden Terme äquivalent ist:

\(\frac{2}{(x+1)(x+3)};\ \frac{2}{x^2+4x+3};\ \frac{1}{0,5\cdot(x+2)^2-0,5}\)

(4 BE)

b) Begründen Sie, dass die \(x\) - Achse horizontale Asymptote von \(G_f\) ist, und geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von \(G_f \) an. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von \(G_f\) an. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von \(G_f \) mit der \(y\)- Achse.

(3 BE)

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(p: x\mapsto 0,5\cdot (x+2)^2-0,5\), die die Nullstellen \(x=-3\) und \(x=-1\)hat. Für \(x \in D_f\) gilt \(f(x)= \frac 1{p(x)}\).

Abi 2015 Analysis TeilB AG1 - Abbildung 1

c) Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitungen \(f'\) und \(p'\) die Beziehung \(f'(x)=-\frac{p'(x)}{(p(x))^2}\) für \(x \in D_f\).

Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von \(f'(x)\) und \(p'(x)\), dass \(x=-2\) einzige Nullstelle von \(f'\) ist und dass \(G_f\) in \(]-3;-2[\) streng monoton steigend sowie in \(]-2;-1[\) streng monoton fallend ist. Geben Sie Lage und Art des Extrempunkts von \(G_f\) an.

(5 BE)

d) Berechnen Sie \(f(-5)\) und \(f(-1,5)\) und skizzieren Sie \(G_f\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1.

(4 BE)

Lösung

a)

Bruchterme auf Äquivalenz prüfen

Es soll gezeigt werden, dass \(f(x)\) zu jedem der drei folgenden Terme äquivalent ist:

\(\frac{2}{(x+1)(x+3)};\ \frac{2}{x^2+4x+3};\ \frac{1}{0,5\cdot(x+2)^2-0,5}\)

1.) \(f(x)=\frac1{x+1}-\frac1{x+3}=\frac{x+3}{(x+1)(x+3)}-\frac{x+1}{(x+1)(x+3)}=\frac{2}{(x+1)(x+3)}=\)1.Term

2.) 1.Term \(=\frac{2}{(x+1)(x+3)}=\frac{2}{x^2+3x+x+3}=\frac{2}{x^2+4x+3}=\) 2.Term

3.) 3.Term \(=\frac{1}{0,5\cdot (x+2)^2-0,5}=\frac{2}{0,5\cdot (x^2+4x+4)-0,5}=\frac{1}{0,5x^2+2x+1,5}=\frac{2}{2\cdot (0,5x^2+2x+1,5)}=\frac{2}{x^2+4x+3}=\)2.Term

Ergebnis

Funktionsterm und alle drei weiteren Terme sind untereinander äquivalent

b)

Horizontale Asymptote begründen

Bei der gebrochen-rationalen Funktion \(f\) ist der Zählergrad kleiner als Nennergrad, also gilt \(\lim\limits_{x\mapsto\pm\infty}f(x)=0\) und somit hat \(G_f\) die waagerechte Asymptote \(y=0\).

Vertikale Asymptote begründen

Dies sind die Nullstellen des Nenners, am einfachsten zu erkennen an Term 2 in a).

 

Ergebnis

Vertikale Asymptoten sind: \(x=-1; x=-3\)

Anmerkung: Bei dieser Frage ist keine Begründung erforderlich.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Schnittpunkt mit y-Achse bestimmen

Einsetzen von \(x=0\) ergibt \(f(0)=1-\frac 1 3 = \frac 2 3\)

Ergebnis

Der \(y\)- Achsen-Schnittpunkt ist \(S(0\mid \frac 2 3)\).

Anmerkung: Ungewöhnlich für die einfache Aufgabe, aber hier ist wegen bestimmen eine sichtbare Rechnung erforderlich.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

c)

Einzige Nullstelle bestimmen

Einzige Nullstelle soll \(x=-2\) sein.

\(f'(x)=0 \Leftrightarrow-\frac{p'(x)}{\left( p(x)\right)^2}=0 \Leftrightarrow p'(x)=0\)

\(p(x)\) ist eine Parabel, deren Ableitung die einzige Nullstelle beim \(x\)-Wert des Scheitels von \(G_p\) hat. Die Funktionsgleichung von \(p(x)\) ist in Scheitelform gegeben, der Scheitel kann also abgelesen werden: \(S(-2\mid -0,5)\).

Ergebnis

Die einzige Nullstelle von \(f'(x)\) ist bei \(x_s=-2\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Monotonie in genannten Bereichen zeigen

\(f'\) hat das umgekehrte Vorzeichen wie \(p'\), denn der Nenner ist immer positiv und das Minus vor dem Bruch kehrt das Vorzeichen von \(p'(x)\) um. \(p(x)\) ist eine nach oben geöffnete Parabel, hat also links vom Scheitel negative Steigung und rechts vom Scheitel positive Steigung. Daraus folgt, dass \(f'(x)\) links von \(-2\) positive Steigung und rechts von \(-2\) negative Steigung hat. Diese Aussage gilt soweit, wie es keine Definitionslücken gibt. \(p(x)\) hat Nullstellen bei \(x=-3\) und \(x=-1\). Dort sind die einzigen Definitionslücken von \(f'(x)\), weil \(p(x)\) im Nenner von \(f(x)\) steht. Deshalb gilt die Aussage "positive Steigung links von \(-2\)" auf jeden Fall in \(]-3;-2[\) und die Aussage"negtive Steigung rechts von \(-2\)" auf jeden Fall in \(]-2;-1[\).

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Lage und Art des Extrempunktes angeben

Nullstelle von \(f'(x)\) ist \(-2\) mit Vorzeichenwechsel von plus nach minus. Also gibt es dort einen Hochpunkt. Man berechnet \(f(-2)=-2\).

Ergebnis

Der Hochpunkt ist \(H(-2\mid -2)\)

Anmerkung: Bei dieser Fragestellung muss keine Begründung angegeben werden. 

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

d)

Punkte berechnen und Graph skizzieren

\(f(-5)=\frac 1 4=0,25\)

\(f(-1,5)=-\frac 8 3 \approx-2,7\)

Abi 2015 Analysis TeilB AG1 - Abbildung 2

Anmerkung: Die weiteren bisherigen Ergebnisse, die auch in der Skizze eingetragen werden sollten, sind:
waagerechte Asymptote \(y = 0\)
senkrechte Asymptote \(x = –3\)
senkrechte Asymptote \(x = –1\)
Extrempunkt \(H(–2|–2)\)
\(y\)-Achsenschnittpunkt \(S(0\mid\frac 2 3)\)

  • Punkte:  16

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(h:x\mapsto\frac 3 {e^{x+1}-1}\) mit Definitionsbereich \(D_h=]-1;+\infty[\). Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_h\) von \(h\).

Abi 2015 Analysis TeilB AG1 - Abbildung 3

a) Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass \(\lim\limits_{x\mapsto +\infty} h(x)=0\) gilt. Zeigen Sie rechnerisch für \(x\in D_h\), dass für die Ableitung \(h'\) von \(h\) gilt: \(h'(x)<0\).

Gegeben ist ferner die in \(D_h\) definierte Integralfunktion \(H_0=x\mapsto\int_0^xh(t)\ \mathrm{d}t\).

(4 BE)

b) Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr sind:

\(\alpha\)) Der Graph von \(H_0\) ist streng monoton steigend.

\(\beta\)) Der Graph von \(H_0\) ist rechtsgekrümmt.

(4 BE)

c) Geben Sie die Nullstele von \(H_0\) an und bestimmen Sie näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 die Funktionswerte \(H_0(-0,5)\) sowie \(H_0(3)\). Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen von \(H_0\) im Bereich \(-0,5 \leq x \leq 3\).

(6 BE)

Lösung

a)

Grenzwert begründen

Der Zähler ist eine Konstante ungleich null, der Nenner geht gegen plus unendlich für \(x\) gegen plus unendlich. Folglich wird der Wert des Bruches unendlich klein, geht also gegen null.

\(\lim\limits_{x\mapsto +\infty} \frac 3{e^{x+1}-1}="\frac 3 {\infty} "=0\)

 

Anmerkung: Die Schreibweise \(\frac 3 {\infty} \) ist eine informelle Veranschaulichung, deshalb in Hochkomma.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Vorzeichen der Ableitung rechnerisch begründen

\(h'(x)\) kann man mit der Quotientenregel bestimmen:

\(u(x) = 3; \ u'(x)=0;\ v(x)=e^{x+1}-1;\ v'(x)=e^{x+1}\)

\(h'(x)=\frac{-3\cdot e^{x+1}}{(e^{x+1}-1)^2}\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Im Term von h' ist der Nenner nie negativ wegen des Quadrats.

Prüfen auf Nullstellen des Nenners:

\(\begin{array}\\ (e^{x+1}-1)^2 & = & 0 &\mid \sqrt{...} \ ;\ +1\ ; \ \mathrm{ln} (..)\\ x+1&=&\mathrm{ln}\ 1&\mid -1\\ x_N&=&-1 \end{array}\)

Die einzige Nullstelle des Nenners wäre \(x_N=-1\). Diese ist aber in der Definitionsmenge nicht enthalten. Deshalb ist der Nenner nicht nur nie negativ, sondern immer positiv.

Im Zähler von \(h'\) ist die \(-3\) immer negativ. Der 2.Faktor im Zähler is immer positiv, weil \(e^x\) stets größer als null ist.

Ergebnis

Der Gesamtbruch ist auf der ganzen Definitionsmenge negativ: \(h'(x)<0\) für alle \(x \in D_h\).

b)

Gegeben ist die in \(D_h\) definierte Integralfunktion \(H_0(x)=\int_0^xh(t)\mathrm{d} t\).

\(\alpha)\)

Monotonie von H0

\(H_0'(x)=h(x)\) ist laut 2a) auf ganz \(D_h\) fallend (\(h'(x)<0\)) mit Grenzwert \(\lim\limits_{x\mapsto +\infty} h(x)=0\), also ist \(H_0'(x)=h(x)\) überall positiv. Dann ist der Graph von \(H_0\) auf \(D_h\) streng monoton steigend.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

\(\beta)\)

Rechtskrümmung von H0 begründen

\(H_0''(x)=h'(x)<0\) laut 2a). D.h., \(H_0\) ist rechtsgekrümmt.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

c)

Nullstellen von H0 angeben

Nullstelle ist \(x=0\)

Anmerkung: \(H_0(0)=\int_0^0h(t)\mathrm dt=0\) wegen gleicher Integralgrenzen. Eine Begründung ist bei dieser Fragestellung aber nicht erforderlich.

Funktionswerte grafisch ermitteln 

\(H_0(-0,5)\) ist ungefähr gleich dem negativen Flächeninhalt des Trapezes mit den Ecken \((-0,5\mid 0), \ (0\mid 0), \ (0\mid 1,6), \ (-0,5\mid 4)\).

Also \(H_0(-0,5)\approx -\frac{1,6+4}{2}\cdot 0,5=-1,4\).

\(H_0(3)\) ist ungefähr gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks mit den Ecken \((0\mid 0), \ (2,8\mid 0), \ (0\mid 1)\).

Also \(H_0(3)\approx\frac 1 2 \cdot 2,8\cdot 1= 1,4\)

Graph skizzieren

Abi 2015 Analysis TeilB AG1 - Abbildung 4

Anmerkung: Zu einer vollständigen Skizze des Graphen von \(H_0\) gehört, dass die drei bekannten Punkte \( (0\mid 0), (–0,5\mid –1,4), (3\mid1,4)\) (Werte entsprechend den eigenen Näherungen) eingezeichnet sind und dass die in 2a) geprüften Eigenschaften streng steigendes Monotonieverhalten und Rechtskrümmung korrekt wiedergegeben sind. Auch sollte der genannte Zeichenbereich\( –0,5 < x < 3\) eingehalten und der Graph beschriftet werden.

  • Punkte:  14

Aufgabe 3

In einem Labor wird ein Verfahren zur Reinigung von mit Schadstoffen kontaminiertem Wasser getestet. Die Funktion \(h\) aus Aufgabe 2 beschreibt für modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet \(h(x)\) die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und \(x\)die seit Beginn des Reinigungsvorgangs vergangene Zeit in Minuten.

a) Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt \(x\), zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf \(0,01\) Gramm pro Minute zurückgegangen ist. 

(3 BE)

Die in \(\mathbb R\backslash\{-3;-1\} \) definierte Funktion \(k:x \mapsto3\left(\frac 1 {x+1}-\frac 1{x+3}\right)-0,2\) stellt im Bereich \(-0,5 \leq x \leq2\) eine gute Näherung für die Funktion \(h\) dar.

b) Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion \(k\) aus dem Graphen der Funktion \(f\) aus Aufgabe 1 hervorgeht. 

(2 BE)

c) Berechnen Sie einen Näherungswert für \(\int_0^1h(x) \mathrm dx \), indem Sie den Zusammenhang \(\int_0^1h(x) \mathrm dx \approx\int_0^1k(x) \mathrm dx \) verwenden. Geben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.

(5 BE)

Lösung

a)

Zeitpunkt einer bestimmten Schadstoffabbaurate bestimmen

Gesucht ist ein \(x\) mit \(h(x)=0,01\):

\(\begin{array}\\ h(x)&=&\frac{3}{e^{x+1}-1}&=& 0,01& \mid \cdot\text{Nenner}\\ 3&=&0,01\cdot \left(e^{x+1}-1\right) &&&\mid:0,01; \ +1\\ e^{x+1}&=&301 &&&\mid\mathrm{ln}(...); \ -1\\ x&=&\mathrm{ln}(301)-1 \approx4,7\ [\mathrm{min}] \end{array}\)

Ergebnis

Nach ca. \(4,7\ \mathrm{min}\) beträgt die Schadstoffabbaurate nur noch \(0,01\frac{\mathrm g}{\mathrm min}\).

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

b)

Funktionsgraph verschieben

Funktion \(k(x)=3\cdot \left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3}\right)-0,2 \) mit \(D \in \mathbb R \backslash\{-3;-1\}\) und \(-0,5\leq x\leq2\) soll aus dem Graphen der Funktion \(f\) aus Aufgabe 1 hervorgehen. Der Graph der Funktion \(f\) wird zuerst in \(y\)-Richtung um Faktor \(3\) gestreckt, dann in negative \(y\)-Richtung, also nach unten, um \(0,2\) verschoben.

c)

Näherungswert berechnen

\(I=\int_0^1h(x)\mathrm{d}x\approx\int_0^1k(x)\mathrm{d}x=\int_0^1 3\cdot\left(\frac1{x+1}-\frac1{x+3}\right)-0,2\mathrm{d}x\)

Für diese Funktion kann die Stammfunktion nicht direkt bestimmt werden. Darum muss das Integral aufgeteilt und umgeformt werden, bis es für eine Integrationsregel passt:

\(\int_0^1k(x)\mathrm{d}x=3\cdot\left(\int_0^1 \left(\frac1{x+1}\right)\mathrm{d}x-\int_0^1 \left(\frac1{x+3}\right)\mathrm{d}x \right)-\int_0^1 0,2\mathrm{d}x\\ =3\cdot\int_0^1 \left(\frac1{x+1}\right)\mathrm{d}x-3\cdot \int_0^1 \left(\frac1{x+3}\right)\mathrm{d}x -\int_0^1 0,2\mathrm{d}x\)

Für die ersten beiden Integrale kann nun die Sonder-Integrationsregel \(\int\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm d x =\mathrm {ln} \ |f(x)|\) mit \(f(x)=x+1\) bzw. \(f(x)=x+3\) und jeweils \(f'(x)=1\) angewendet werden. 

\(\int_0^1k(x)\mathrm d x=3\cdot ([\mathrm{ln}|x+1|]_0^1-[\mathrm{ln}|x+3|]_0^1)-[0,2x]_0^1\\=3\cdot(\mathrm{ln}\ 2 -\mathrm{ln}\ 1-\mathrm{ln}\ 4+\mathrm{ln}\ 3)-0,2\\=3\cdot \mathrm{ln}\ 1,5 - 0,2 \approx1,02 \ [\mathrm{g}]\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Bedeutung im Sachzusammenhang angeben

Während der ersten Minute nach Beginn des Reinigungsvorgangs werden ca. \(1,02 \ [\mathrm{g}]\) Schadstoff abgebaut.

 

  • Punkte:  10
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